高精度壓力機連桿機構的誤差分析及精度綜合

騫華楠， 陶 璟， 于隨然

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

近凈成形技術可以使生產(chǎn)的零件接近或者達到最終所需的形狀和尺寸[1]，是一種高效、節(jié)能的先進制造技術[2].相比發(fā)達國家，我國近凈成形技術發(fā)展水平仍處于起步探索階段，在整個成形制造生產(chǎn)中所占比重還比較低，其關鍵困難之一在于我國還缺少近凈成形配套的高精度設備.多連桿伺服壓力機兼有伺服運動柔性可控和現(xiàn)代并聯(lián)機構的精度高、承載能力強的優(yōu)點[3]，因此是高精度壓力機發(fā)展的主要趨勢.Guo[4]、He[5]、Huang[6]等人基于冗余驅動方式對新型并聯(lián)驅動壓力機的構型進行了研究，促進了我國多連桿壓力機的開發(fā).精度設計是保障壓力機精度的重要環(huán)節(jié)，然而傳統(tǒng)壓力機的精度設計中各零部件精度參數(shù)的確定大多依賴于設計人員的經(jīng)驗，難以兼顧成本需求，因此開展壓力機連桿機構誤差分析和精度綜合的研究對高精度壓力機的設計開發(fā)至關重要.

為研究機構各誤差源與整體輸出精度間的關系，相關學者提出了多種誤差建模方法[7].莫志翔等[8]基于直接線性化的方法構建了手術機器人運動中心的誤差模型，通過分析各誤差因素敏感度確定了影響其定位精度的關鍵因素.Chaker等[9]以5種不同的非過約束球面并聯(lián)機構(SPM)為研究對象，分析了連桿制造誤差對其輸出末端平臺位姿的影響，結果表明不同類型的SPM具有不同的位姿精度.白勇軍[10]對壓力機的典型多連桿機構進行了誤差分析，研究了原動件輸入誤差、桿件長度誤差以及安裝位置誤差等對運動輸出的影響，但對于機構對稱性假設過于簡單，未能充分考慮結構誤差存在的多種情況，因此不能準確地反映誤差對運動輸出的影響.

機構的精度綜合是誤差分析的逆問題，是指在預定整體精度的要求下優(yōu)化分配其各組成部件的公差，因而更具有工程實際意義.余治民等[11]基于響應面法建立了大型龍門導軌磨床的加工精度可靠性近似模型，以可靠度的均值和最小值為目標，按照精度均衡原則對磨床主要部件的精度進行了優(yōu)化.Li等[12]為提高空間并聯(lián)機構位姿精度，基于實驗設計的方法對其進行了公差綜合，降低了制造和裝配的難度.從現(xiàn)有相關研究來看，由于相對缺乏伺服壓力機多連桿精度綜合的研究，難以兼顧制造成本等因素的影響.

1 并聯(lián)多連桿壓力機誤差建模

1.1 研究對象

圖1 簡化后的并聯(lián)多連桿壓力機的機構簡圖Fig.1 Schematic of simplified parallel driven multi-linkage press mechanism

1.1.2機構構型簡化 根據(jù)機構構型的特點，做以下簡化：① 假設傳動系統(tǒng)主動支鏈中的結構誤差不影響滑塊傾角，而僅僅影響滑塊位置誤差；② 假設整個傳動系統(tǒng)前后部分對應的誤差相同，僅考慮y軸和z軸方向的誤差，從而將空間機構簡化為平面機構進行分析.

1.2 并聯(lián)多連桿壓力機精度影響因素

滑塊的運動精度集中反映了壓力機的精度水平，是評價壓力機精度主要的性能指標.綜合柳喬[13]、牛瑞霞[14]等人的研究，本文中滑塊運動精度是指當主動件的位置一致時，滑塊輸出位置、角度的實際值與理論值間的符合程度，并采用滑塊運動輸出位置誤差ΔS和輸出角度誤差Δθ兩個指標進行表征.

影響機構運動輸出誤差的因素包括連桿機構本身固有的結構、有限的制造精度、安裝的誤差、運動副間隙、構件承受載荷后的彈性變形、摩擦磨損、振動以及溫度等[7].根據(jù)研究對象的特點，并參考相關的研究[10,15]，本文主要分析原動件輸入、桿件長度以及各構件安裝位置的誤差對滑塊運動輸出誤差的影響.

1.3 基于環(huán)路增量法的并聯(lián)多連桿壓力機誤差建模

如圖1所示，將傳動系統(tǒng)分為6個環(huán)路，即環(huán)路I—OO1E1B1A1O、環(huán)路 II—OO1B5G1M1O、環(huán)路 III—OO2H1G1M1O、環(huán)路 IV—OO2H2G2M2O、環(huán)路 V—OO1B5G2M2O以及環(huán)路 VI—OO1E2B2A2O.已知壓力機的結構參數(shù)以及相應的誤差項如表1和2所示.

表1壓力機傳動連桿參數(shù)及相應的誤差項

Tab.1Transmissionlinkparametersandcorrespondingerrorsofservopress

構件桿長與y軸夾角桿長誤差A1B1,A2B2a1,a2θ11,θ12δa1,δa1B1E1,B2E2kR1,kR2θ21,θ22δkR1,δkR2O1B5kπ/2δkB5G1,B5G2lg1,lg2θ17,θ27δlg1,δlg2M1G1,M2G2lm1,lm2θ19,θ29δlm1,δlm2G1H1,G2H2lh1,lh2θ18,θ28δlh1,δlh2

表2壓力機安裝位置參數(shù)及相應的誤差項

Tab.2Installationlocationparametersandcorrespondingerrorsofservopress

安裝位置長度與y軸夾角長度誤差角度誤差A1rA1α11δrA1δα11A2rA2α12δrA2δα121E1e1β11δe1δβ111E2e2β12δe2δβ12M1rM1α21δrM1δα21M2rM2α22δrM2δα222H1l1β21δl1δβ212H2l2β22δl2δβ22

由圖1可得環(huán)路 I、II、III、IV、V、VI 的閉環(huán)矢量方程為

(1)

以環(huán)路Ⅰ為例說明，由閉環(huán)矢量方程可得復數(shù)形式的運動方程為

z1ej90+e1ejβ11=rA1ejα11+a1ejθ11+kR1ejθ21

(2)

式中：z1為動平臺輸出位置.

對式(2)求一次導數(shù)，將微分形式寫為增量形式，并將等式兩邊同乘以e-jθ，可得單回路機構的位置誤差增量方程為

Δz1ej(90-θ)+δe1ej(β11-θ)+δβ11e1ej(β11-θ)j=

δα11rA1ej(α11-θ)j+δrA1ej(α11-θ)+δa1ej(θ11-θ)+

δθ11a1ej(θ11-θ)j+δkR1ej(θ21-θ)+δθ21kR1ej(θ21-θ)j

(3)

令θ=θ21以消去變量δθ11，并對等式兩端取實部可得動平臺輸出誤差Δz1為

Δz1=[-δe1cos(β11-θ21)+δβ11e1sin(β11-θ21)+

δrA1cos(α11-θ21)-δα11rA1sin(α11-θ21)+

δa1cos(θ11-θ21)-δθ11a1sin(θ11-θ21)+

(4)

對環(huán)路 II、III、IV、V、VI 進行同樣的分析，通過令θ為不同的值來消去變量，從而得到各桿件的輸出角度誤差Δθ17、Δθ27、Δθ18、Δθ19、Δθ28、Δθ29，進而得到滑塊運動輸出誤差ΔzH1、ΔzH2分別為

ΔzH1=δrM1sinα21+rM1δα21cosα21+

δlm1sinθ19+Δθ19lm1cosθ19+δlh1sinθ18+

Δθ18lh1cosθ18+l1δβ21

(5)

ΔzH2=δrM2sinα22+rM2δα22cosα22+

δlm2sinθ29+Δθ29lm2cosθ29+δlh2sinθ28+

Δθ28lh2cosθ28+l2δβ22

(6)

由誤差獨立作用原理可知，壓力機傳動系統(tǒng)各誤差因素對機構輸出的影響相互獨立，所以傳動連桿與滑塊的連點輸出誤差等于各誤差引起的局部輸出誤差之和.對于對稱機構而言，由于各構件原始誤差的積累，使得連桿與滑塊連點的輸出誤差存在以下3種情況：

(1) 當ΔzH1=ΔzH2≠0時，只對運動輸出位置誤差ΔS有影響，對運動輸出角度誤差Δθ無影響;

(2) 當ΔzH1=-ΔzH2時，只對運動輸出的角度誤差Δθ有影響，對輸出的位置誤差ΔS無影響;

(3) 當|ΔzH1|≠|(zhì)ΔzH2|時，對輸出的位置誤差ΔS和角度誤差Δθ都有影響.

為全面考慮實際誤差存在的情況，由誤差ΔzH1、ΔzH2可得滑塊輸出位置誤差、角度誤差表達式分別為

2 基于靈敏度分析的關鍵結構誤差識別

2.1 各誤差因素的靈敏度和顯著度

采用誤差靈敏度來反映各個誤差因素的微小變化對總輸出誤差的影響情況.誤差靈敏度為滑塊運動輸出誤差對各個誤差因素偏導數(shù)的絕對值.若第m項誤差Δm的靈敏度為ξm，則有

(9)

m=1,2,…,n

式中，Eout為滑塊輸出誤差；n為誤差因素的個數(shù).

為確定影響機構運動輸出的顯著誤差因素，采用顯著度指標來表征滑塊在不同位置時受各項誤差因素的影響程度.顯著度數(shù)值越大表明其所對應的誤差項對機構末端輸出誤差的影響越顯著.當滑塊處于某一位置時，第m項誤差的顯著度Dm為

(10)

2.2 MATLAB仿真和結果

給定壓力機的結構參數(shù)如下：a1=a2=0.36 m，kR1=kR2=1.304 m，k=0.6 m，l1=l2=1.6 m，lm1=lm2=1.7 m，lg1=lg2=0.868 m，lh1=lh2=1.6 m，rA1=rA2=1.2 m，e1=e2=0.3 m，rM1=rM2=1.393 m；α11=0，α12=π rad，β11=0，β12=π rad，α21=0.117 rad，α22=3.023 rad，β21=0，β22=π rad[10].借助MATLAB仿真軟件可計算出各誤差因素對滑塊輸出誤差影響的靈敏度，進而求取各個誤差因素的顯著度.滑塊下死點位置處的輸出精度是影響壓力機成形質(zhì)量的關鍵因素，故本文分析在該位置時各誤差因素的影響情況.

2.2.1各參數(shù)對滑塊輸出位置誤差的影響 圖2所示為傳動系統(tǒng)主動支鏈和被動支鏈的各結構參數(shù)誤差對滑塊輸出位置誤差影響的顯著度.由圖2可知，在下死點位置時，對滑塊輸出位置誤差影響較大的關鍵誤差源有12項，即點H、M的安裝位置誤差δl1(2)(δl1(2)表示δl1(δl2)，下同)、δβ21(22)、δα11(12)及桿件MG、B5G、GH的制造誤差δlm1(2)、δlg1(2)、δlh1(2).這12項誤差的顯著度之和為 0.876 6，在壓力機制造和安裝時，要注意限定其誤差值.

圖2 關鍵結構參數(shù)誤差對滑塊輸出位置誤差影響的顯著度Fig.2 The salience of key errors to output position of the slider

2.2.2各參數(shù)對滑塊輸出角度誤差的影響 圖3所示為傳動系統(tǒng)被動支鏈的各結構參數(shù)誤差對滑塊輸出角度誤差影響的顯著度.由圖3可知，在下死點位置時，對滑塊輸出角度誤差影響的關鍵誤差源有10項，即點H、M的安裝位置誤差δβ21(22)、δα11(12)及桿件MG、B5G、GH的制造誤差δlm1(2)、δlg1(2)、δlh1(2).這10項誤差的顯著度之和為 0.900 6，是影響滑塊輸出角度誤差的主要因素.

圖3 關鍵結構參數(shù)誤差對滑塊輸出角度誤差影響的顯著度Fig.3 The salience of key errors to output angle of the slider

3 關鍵部件精度綜合

對壓力機而言，滑塊下死點位置處的精度是影響工件成形質(zhì)量的主要因素，因此本文將在滑塊處于下死點位置時對機構進行精度綜合.以提高滑塊輸出可靠度為目標，綜合考慮各誤差的靈敏度以及誤差控制成本的影響，提出了適用于并聯(lián)壓力機連桿系的精度綜合方法，其流程如圖4所示.

圖4 并聯(lián)多連桿壓力機精度綜合流程圖Fig.4 Flow chart of accuracy synthesis for parallel driven multi-linkage press

3.1 基于經(jīng)驗初步確定各部件的公差值

在公差調(diào)整前，對壓力機傳動機構的安裝位置誤差按照經(jīng)驗進行取值，結果如表3所示.對各桿件的公差，考慮到各加工方法的經(jīng)濟加工精度，初步選擇其公差等級為7級，相應的公差值見表3.

表3壓力機傳動系統(tǒng)安裝位置及桿件公差

Tab.3Installationlocationandtransmissionlinkparameterstolerancesofservopress

安裝位置公差/mm桿件公差/mmyA1(2)±0.1lm1(2)0.150zA1(2)±0.1a1(2)0.057yE1(2)±0.05lg1(2)0.0902zH1(2)±0.05kR1(2)0.125yM1(2)±0.05lh1(2)0.125zM1(2)±0.05k0.070yH1(2)±0.051zE1(2)±0.05

3.2 滑塊輸出精度可靠性分析

現(xiàn)代機械精度設計理論表明，零部件的制造誤差為隨機量，當大批量生產(chǎn)時，其滿足正態(tài)分布.基于誤差獨立作用原理以及隨機變量方差的計算規(guī)則，可知滑塊輸出位置誤差、角度誤差的均方差為

(11)

(12)

式中:ξi、ξj分別為影響滑塊輸出位置誤差、角度誤差的各因素靈敏度；σi、σj分別為影響滑塊輸出位置誤差、角度誤差的各因素均方差.

滑塊輸出誤差的可靠度是指其運動輸出落在壓力機允許最大誤差范圍內(nèi)的概率.為滿足精密級壓力機的設計要求，本文設定滑塊輸出位置誤差ΔS小于 0.02 mm的可靠度不低于88%，而角度誤差Δθ小于 0.001 3 rad的可靠度不低于95%.基于概率統(tǒng)計原理，并運用MATLAB軟件編寫計算程序，可求得初始公差方案下的可靠度為

由上述滑塊輸出誤差的可靠度可知，初始公差方案不滿足設計要求，需要對其進行調(diào)整.

3.3 公差調(diào)整時各個因素順序的確定

在對影響機構輸出精度的各因素公差進行調(diào)整時，往往僅考慮了靈敏度分析的結果，而忽略了加工成本的影響，為此在綜合考慮以上兩方面影響因素的基礎上確定各桿件的調(diào)整順序.

(13)

(14)

(15)

考慮滑塊輸出精度和構件制造成本同等重要，故取權重系數(shù)P1=P2=1，則各構件的綜合系數(shù)如表4所示，較小的ri所對應的因素要優(yōu)先進行調(diào)整.

表4考慮加工成本和靈敏度的各構件綜合系數(shù)

Tab.4Eachcomponent’scoefficientconsideringprocessingcostsandsensitivity

構件綜合系數(shù)構件綜合系數(shù)lg1(2)1.426kR1(2)4.281a1(2)4.876lh1(2)1lm1(2)1.040k5.389

3.4 基于精度均衡原則的關鍵部件精度綜合

由上述分析可知各因素調(diào)整順序為lh1(2)、lm1(2)、lg1(2)、kR1(2)、a1(2)、k，在對壓力機各部件的公差進行調(diào)整時遵循精度均衡原則，優(yōu)先調(diào)整沒有調(diào)整過的因素.每次調(diào)整的因素、調(diào)整量以及調(diào)整后的可靠度如表5所示.

表5 調(diào)整因素和調(diào)整后的可靠度Tab.5 Adjustment factors and adjusted reliability

3.5 基于Monte Carlo法的可靠度分析

基于零部件制造誤差滿足正態(tài)分布的假設，按照3σ原則取公差帶寬的1/6為標準差來進行抽樣[12].將抽樣產(chǎn)生的隨機數(shù)代入式(7)和(8)，通過Monte Carlo仿真104次可得到其均方差，進而能夠計算出相應的可靠度，如表6所示.由表6可知，采用Monte Carlo法計算得到的滑塊位置誤差可靠度、角度誤差可靠度與理論計算的結果一致，驗證了本文所提出方法的有效性.

表6 滑塊輸出誤差的可靠度Tab.6 Reliability of slider output error

經(jīng)過9次調(diào)整后，滑塊輸出位置誤差的可靠度由 56.74% 升至 88.70%，滑塊輸出角度誤差的可靠度由 85.70% 升至 99.73%，均滿足了設計要求，從而最終確定了壓力機關鍵部件的合理公差.

4 結論

(1) 針對并聯(lián)多連桿伺服壓力機連桿機構結構特性，分析了機構誤差類型，提出了基于環(huán)路增量法的滑塊輸出位置誤差和角度誤差解析模型.通過靈敏度分析，量化了各誤差項對滑塊關鍵位置精度的影響程度.以提高滑塊輸出精度可靠度為目標，綜合考慮各誤差靈敏度及誤差控制成本，提出了適用于并聯(lián)壓力機傳動連桿的精度綜合方法.