高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題方法探析

摘 要：高中數(shù)學(xué)知識點較為抽象、復(fù)雜，很多學(xué)生對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識存在較為嚴重的抵觸、厭學(xué)心理，針對以上問題教師需要在教學(xué)實踐中不斷地總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，引導(dǎo)學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的趣味性，能夠全身心地投入到數(shù)學(xué)課堂中去。本文針對高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題方法展開分析，望具備一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：高中;數(shù)學(xué);解題;方法

高中數(shù)列屬于一種較為特殊的函數(shù)，能夠反映自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)學(xué)生良好的分析能力、思維能力、歸納總結(jié)能力的基本途徑，所以，高中數(shù)學(xué)教師要加強對數(shù)列教學(xué)的重視度，在教學(xué)過程中設(shè)定符合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方案，讓每一個學(xué)生都能夠跟上教學(xué)進度，對所學(xué)知識有更為透徹的理解和認知，掌握數(shù)列的解題方法與規(guī)律。

一、 利用數(shù)列中的函數(shù)思想解答問題

數(shù)列本身就屬于一種較為特殊的函數(shù)，所以高中數(shù)學(xué)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)列中的函數(shù)思想來解答問題，以此來簡化解題步驟，擁有較為清晰的解題思路。對一些題意不明確、難以直接求得解題方法的函數(shù)問題，學(xué)生要善于以整體的角度去看待數(shù)學(xué)問題，很多學(xué)生都是由于過度注重數(shù)學(xué)知識細節(jié)問題，導(dǎo)致在運用數(shù)學(xué)原理、公式的時候缺乏相應(yīng)的靈活性。例如，等差數(shù)列中的求和公式Sn=na1+n（n-1）/2=An2+Bn，這個數(shù)列式子就比較符合二次函數(shù)的形式，所以這道數(shù)列問題學(xué)生就可以運用二次函數(shù)思想展開分析。比如，在等差數(shù)列中，前n項和是Sn=m，其中前m項和是Sm=n，（m與n并不是相等），在此基礎(chǔ)上求得Sm+n，在解答這道數(shù)列問題過程中通過求和公式能夠得出Sm+n=a1+（m+n）+（m+n-1）（m+n）d/2=（m+n）（a1+（m+n-1）d/2），通過這個式子可以看得出想要求得Sm+n只需要去解答a1+（m+n-1）d/2，結(jié)合數(shù)學(xué)題意把Sn與Sm構(gòu)造為a1+（m+n-1）d/2，然后學(xué)生要在當(dāng)前的基礎(chǔ)上利用函數(shù)思想和整體思想，通過公式能夠了解圖像需要經(jīng)過（0，0）點，以此作為解答數(shù)學(xué)問題的突破點，這樣就能夠設(shè)定多種解題方法，學(xué)生可以結(jié)合自身學(xué)習(xí)情況選擇最佳的解決方案，以此來提高解題效率與正確率，如可以把數(shù)列的公差設(shè)為d，根據(jù)題意能夠得出Sn=na1+n（n-1）d/2=m與Sm=ma1+m（m-1）d/2=n，把兩個式子相減：Sm-Sn=ma1+m（m-1）d/2-na1+n（n-1）d/2=（m-n）a1+（m+n）a1+（m+n-1）（m+n）d/2，因為m和n不相等，所以Sm+n=a1（m+n）+（m+n-1）（m+n）d/2=-（m+n）。

二、 利用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)列問題

很多數(shù)列問題較為抽象、復(fù)雜，學(xué)生往往在解題過程中經(jīng)常會難以確定突破口，這時候就可以利用轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，把抽象、復(fù)雜的實際數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)列問題，這樣學(xué)生更容易理解和接受。比如，某一個地區(qū)突然出現(xiàn)了流感現(xiàn)象，在1號的時候被傳染的人數(shù)是20人，如果以后的每天都會感染50人，這時候醫(yī)療機構(gòu)就需要采取方法來控制感染的人數(shù)，從本月的某一天起每一天的感染人數(shù)都要比之前少30人，到了30號感染的人數(shù)是8670人，求得本月感染人數(shù)最多的是哪一天，并且求得具體的數(shù)值。通過分析這道和實際生活相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以看得出這是與等差數(shù)列知識點相關(guān)的問題，1號到了n號所感染的人數(shù)能夠用等差數(shù)列表示，但是以n+1天之后到最后一天，又構(gòu)成了不同公差的數(shù)列，那么第1個數(shù)列是{an}，第2個數(shù)列是{bn}，結(jié)合上述題意能夠得知a1=20，d2=-30，b1=50n-60，bn=（n-1）（50n-60）（-30）=570-20n，通過題目中總感染人數(shù)能夠總結(jié)出：（20+50n-30）n/2+[50n-60+（570-20n）]（30-n）/2=8670，最后得出結(jié)果為本月的13號受感染的人數(shù)是最多的，實際人數(shù)是570人。通過這個問題學(xué)生就能夠把一些復(fù)雜的實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕c數(shù)列相關(guān)的知識點進行解答，其中不僅僅用到了轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，也是把數(shù)列理論知識與實際應(yīng)用相互結(jié)合的重要體現(xiàn)，利用科學(xué)的思想與方法解決數(shù)學(xué)問題。

三、 利用遞推思想解決數(shù)列問題

很多高中數(shù)列問題較為復(fù)雜，學(xué)生可以利用遞推思想來解決復(fù)雜的數(shù)列通項問題。在遞推數(shù)學(xué)思想方法中包括了累積法與累加法，其中累積法與累積法思想較為相似，只要學(xué)會一種思想方法就能夠靈活運用另一種數(shù)學(xué)思想方法。累加法就是把數(shù)列問題中的每一項作出累積求和，并且在此過程中找到解答數(shù)學(xué)問題的最佳突破口，這樣既能夠讓學(xué)生擁有清晰的解題思路，也能夠簡化數(shù)列解題步驟。在高中數(shù)列知識點中，如果數(shù)列通項符合an-an-1=f（n）就能夠用累積法來解答問題。比如在{an}這個數(shù)列中，第一項a1=1，如果n≥2，那么an=an-1+1/n（n+1），求得此數(shù)列最后的通項公式。累積法和累加法數(shù)學(xué)思想方法是相同的，是利用an=an/an+1×an-1/an-2...a3/a2×a2/a1×a1來求得an。

四、 注重對“通解通法”的運用

在高中數(shù)列解題過程中需要用到的數(shù)學(xué)思想方法有很多，其中包括化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想等，這些都體現(xiàn)出了在數(shù)列解題過程中解題思想的重要性，除此之后學(xué)生要注重對“通解通法”的運用，例如，存在等差數(shù)列中的第6項為5，第3項和第8項之和為5，最后求得前9項的和。這道題學(xué)生可以把首項設(shè)成a1，公差是d，根據(jù)題意能夠得出a1+5d=5，2a1+9d=5，從這兩個式子中可以得出等差數(shù)列中的首項和公差，最終求出前9項之和，雖然這種解題方法較為復(fù)雜，但是卻運用了方程思想這種通解通法，具備比較強的技巧性。

總之，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要不斷地總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，在解題過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律與技巧，以此來提高解題效率。

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作者簡介：

章俊，浙江省杭州市，杭州市富陽區(qū)第二中學(xué)。