解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的三個(gè)途徑

文／張紅紅

解析幾何的實(shí)質(zhì)是通過(guò)建立坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合正是解決解析幾何問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要分為兩條思維可逆的主線：第一，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，即以形助數(shù)，運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題：第二，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，運(yùn)用代數(shù)特征進(jìn)行運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，即以數(shù)助形.當(dāng)然，數(shù)與形并不是孤立的，常常在一道題中既有數(shù)向形轉(zhuǎn)化，也有形向數(shù)轉(zhuǎn)化，兩者相得益彰.

一、形向數(shù)轉(zhuǎn)化——重在代數(shù)運(yùn)算

以數(shù)助形，突出問(wèn)題的代數(shù)特征，通過(guò)合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，思維量不大，但是對(duì)代數(shù)運(yùn)算能力要求較高.這類題型體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究解析幾何問(wèn)題，是最基本的題型.

小結(jié) 線段的長(zhǎng)度和三角形的高是“形”，由兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到的代數(shù)式是“數(shù)”，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)后，就可以將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，利用基本不等式得到定值，

二、形與形互化——重組幾何量

突出問(wèn)題的幾何特征，通過(guò)幾何量的重新組合，思維量較大，常常需要融入等量代換等化歸思想.這類題型的理解層次較高.

例2已知A（1，1）為橢圓 內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)，為橢網(wǎng)的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求PF1+PA的最大值和最小值.

分析 解這道題常有三種思路.思路1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由F1（-2，0），A（1，1），將幾何量PF1+PA表示成接下來(lái)求該式的最值時(shí)考生往往會(huì)陷入困境.思路2：由PF1+PA≥AF1，即三角形的兩邊之和大于第三邊，當(dāng)點(diǎn)P落在線段AF1上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)PF1+PA取得最小值.可是P為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，無(wú)法落在線段AF1上，所以常規(guī)思路受挫.思路3：PF1為焦半徑，不妨通過(guò)橢圓的定義將其轉(zhuǎn)化成2a-PF7，即6-PF2，則原式轉(zhuǎn)化為PFi+PA =6+PA-PF2，再通過(guò)三角形的兩邊之差小于第三邊來(lái)求解.

解 由題設(shè)可得a=3，6=5，c=2，左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-2，0），右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（2，0）.