用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問題

李志勤 張鳳國

三角函數(shù)題可以利用的圖形一般有兩類，即函數(shù)的圖像和三角函數(shù)線.利用數(shù)形結(jié)合思想解題，有利于分析題目中的數(shù)量之間的關系，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

一、比較大小

例1 已知A∈（O，π），則a，sin a，tan a的大小關系是

A.sin a

B.a

C.tan a

D.tan a

分析 由題意作出三角函數(shù)線，通過三角形的面積以及扇形面積的大小比較，可得三者的大小關系.

解在平面直角坐標系中，結(jié)合單位圓作出銳角a的正弦線和正切線，如圖1所示.設AP=

小結(jié) 本題考查了三角函數(shù)線，也考查了數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用，解題的關鍵是先表示出三部分的面積，利用面積的大小關系，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)線和弧的長短問題進行求解.

二、解不等式

例2若a∈（0，2π），則符合不等式sin a>cos a的“的取值范圍是____.

分析 設“的終邊與單位圓交于點P（x，y），則y=sin a，x=cos a，進而可將sin a>cos a轉(zhuǎn)化為y-x>0，利用三角函數(shù)線知識及a∈（0，2π），可得a的取值范圍.

解設a的終邊與單位圓交于點P（x，y），則y=sin a，x=cos a.由題設可得sin a-cos a>0，即y-x>0，滿足條件的a的終邊落在圖2的陰影部分.又a∈（0，2π），所以a∈（ ）.

小結(jié) 本題考查的知識點是三角函數(shù)線，熟練掌握三角函數(shù)的定義是順利解答本題的關鍵.

三、求函數(shù)的定義域

例3利用三角函數(shù)線求下列函數(shù)的定義域.

分析 分別由根式和對數(shù)有意義的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)線進行求解.