三等級(jí)運(yùn)算水平在2018年高考試題中的體現(xiàn)

王蓬蓯 胡典順

1 引言

著名數(shù)學(xué)奧林匹克專(zhuān)家裘宗滬指出“如果你想學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要會(huì)算，而且要算的好.它是思維能力、邏輯能力、空間想象能力以及創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ).”數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，運(yùn)算過(guò)程中追求通性通法以及簡(jiǎn)潔算法有助于使個(gè)體的思維變得更加靈活，運(yùn)算更加優(yōu)化[1].在學(xué)生孩童時(shí)期就學(xué)習(xí)“1+1=2”的代數(shù)運(yùn)算，隨著年級(jí)的升高，數(shù)學(xué)運(yùn)算涉及的范圍越來(lái)越廣，已由基本的代數(shù)運(yùn)算延伸到向量運(yùn)算，甚至在大學(xué)階段學(xué)習(xí)群的運(yùn)算.由此可見(jiàn)，中學(xué)階段對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)該更加重視.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“17年課程標(biāo)準(zhǔn)”）對(duì)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的界定為：數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果[2].17年課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的界定為教師研究教材、出題者命制試題提供了方向.

當(dāng)前學(xué)生的運(yùn)算水平急需提高，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不優(yōu)的現(xiàn)象.具體表現(xiàn)在對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、法則的掌握、思路的探索和程序的設(shè)計(jì)[3].喻平教授從知識(shí)的角度切入，參照布魯姆的學(xué)習(xí)目標(biāo)分類(lèi)、PISA模型和SOLO模型對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力在三級(jí)水平上的具體表現(xiàn)給出操作性定義[4]：

2 數(shù)學(xué)運(yùn)算各級(jí)水平的分布

在2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷（理）試題中，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力各級(jí)水平統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

第一級(jí)水平在歷年來(lái)的全國(guó)卷中主要通過(guò)集合與虛數(shù)的計(jì)算體現(xiàn)，選擇題中的前五個(gè)問(wèn)題中基本有兩個(gè)問(wèn)題都是集合的運(yùn)算與虛數(shù)的計(jì)算，主要考查學(xué)生對(duì)于集合的元素與集合交并補(bǔ)關(guān)系，以及虛數(shù)共軛或模的計(jì)算公式的掌握程度，學(xué)生只要掌握了集合的基本知識(shí)以及虛數(shù)的計(jì)算公式法則，便可以進(jìn)行應(yīng)對(duì).

第二級(jí)水平則是基本整套試卷的.例如，數(shù)列的計(jì)算常常需要綜合使用多個(gè)計(jì)算公式進(jìn)行解決，如求和公式、等差（比）中項(xiàng)計(jì)算公式，利用題中給出的遞推公式，甚至是利用基本不等式求解;又如，圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題需要使用多個(gè)計(jì)算公式，如點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、圓與圓位置關(guān)系的公式、斜率的計(jì)算公式等.解決第二級(jí)水平問(wèn)題時(shí)，學(xué)生首先要牢固掌握相關(guān)計(jì)算公式的形式以及使用條件和范圍，其次要對(duì)各個(gè)公式可以進(jìn)行靈活的變形，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵公式所在，以及各個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行變形與計(jì)算.

第三級(jí)水平主要是針對(duì)問(wèn)題的程序設(shè)計(jì)以及解決復(fù)雜的問(wèn)題而言的.高考試卷最后幾個(gè)解答題是學(xué)生最頭疼的問(wèn)題，2018年解答題的問(wèn)題設(shè)置與歷年試卷的問(wèn)題設(shè)置難度基本相同，尤其是第二小問(wèn)，這些問(wèn)題通常比較復(fù)雜，需要學(xué)生有一個(gè)清晰的解決問(wèn)題思路，例如在求解圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中，既需要求兩個(gè)曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，還需要學(xué)會(huì)用未知數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，找到未知數(shù)之間的關(guān)系建立等式進(jìn)行求解等.圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題在歷年高考試題中是比較難的，一方面是因?yàn)閳A錐曲線(xiàn)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生直觀(guān)想象能力要求比較高，同時(shí)對(duì)于學(xué)生的計(jì)算化簡(jiǎn)等數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求也比較高，除此之外，學(xué)生還要具備較高的邏輯推理能力，能夠?qū)τ趩?wèn)題進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，找到一種最佳的解決辦法.對(duì)于函數(shù)的求導(dǎo)、數(shù)列的求和或求通項(xiàng)等問(wèn)題，需要學(xué)生有一個(gè)更加縝密的思路，找到題干中給出的隱含信息，設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題解決程序，條理清晰地解答問(wèn)題.

3 數(shù)學(xué)運(yùn)算的典型試題評(píng)析

在對(duì)運(yùn)算水平試題分布進(jìn)行整體分析以后，接下來(lái)將以如下三個(gè)試題為例，體會(huì)整套試卷對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求.

3.1 一級(jí)水平

分析 該題有多種解決辦法，最常規(guī)的辦法就是套用公式：將S2、S3和S4分別用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行表示，得到一個(gè)關(guān)于a1與d的等式.將題目中給出的a1值帶入，即可求得d的數(shù)值，再根據(jù)等差數(shù)列的公式求出a5.在法1中，學(xué)生需要儲(chǔ)備的知識(shí)點(diǎn)有：等差數(shù)列求和公式;等差數(shù)列通項(xiàng)公式.法2中，學(xué)生需要儲(chǔ)備的知識(shí)點(diǎn)為：等差數(shù)列和式之間的關(guān)系;等差中項(xiàng);等差數(shù)列通項(xiàng)公式.法1利用等差數(shù)列求和公式求解a1與d時(shí)，比法2更容易出錯(cuò)，因此，選擇第二種方法更能降低計(jì)算難度.除此之外，本題還有多種解決辦法，都是大同小異的.總的來(lái)說(shuō)，該題的求解要求也是理解基本的計(jì)算公式體系，學(xué)生完成該題時(shí)只考慮數(shù)列計(jì)算公式的簡(jiǎn)單疊加便可，計(jì)算并不復(fù)雜，同時(shí)耗時(shí)比較短，不用與其他內(nèi)容知識(shí)相結(jié)合，屬于第一水平能力.

分析 本題的關(guān)鍵在于學(xué)生需要對(duì)直線(xiàn)存在斜率問(wèn)題進(jìn)行討論.學(xué)生在解決該問(wèn)題之前熟練掌握有關(guān)平面解析幾何的定理、公式及常用變形等，以及對(duì)于韋達(dá)定理在圓錐曲線(xiàn)上的應(yīng)用非常熟悉，在此基礎(chǔ)上根據(jù)題干挖掘信息，同時(shí)要考慮到題目的隱含信息所在，在該題中傾斜角互補(bǔ)，斜率之和為0為突破口.學(xué)生解決該問(wèn)題時(shí)應(yīng)該能夠做到清晰地分析思路，設(shè)計(jì)一套運(yùn)算程序，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)與方法解決非常規(guī)性問(wèn)題.本題最耗時(shí)的部分在于計(jì)算與化簡(jiǎn)兩個(gè)斜率和的過(guò)程，但是學(xué)生只要掌握常規(guī)做法，本題也可以順利完成.

4 啟示與建議

4.1 試題命制的建議

在命題的設(shè)置上，有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算的試題不能過(guò)于簡(jiǎn)單也不能太難，同時(shí)要注重常規(guī)數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，但是又不能過(guò)于死板，讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生“可以用常規(guī)方法解決但是又必須要經(jīng)過(guò)一定變形才可以解決”的感受.并且，命題人應(yīng)該合理把控運(yùn)算時(shí)間[5]，總時(shí)間是有限的，運(yùn)算量不宜過(guò)大，因此，要注意第三級(jí)水平運(yùn)算的難度.另外，數(shù)學(xué)運(yùn)算是不能脫離其他知識(shí)單獨(dú)存在的，在試題的命制過(guò)程中要更加注重多方面的數(shù)學(xué)運(yùn)算，例如可以嘗試將解決立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求最值的問(wèn)題，多方面考查學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度.同時(shí)，還要命制幾道需要學(xué)生綜合分析，設(shè)計(jì)解決問(wèn)題程序的題目，讓學(xué)生從更高的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.

4.2 教師教學(xué)的建議

對(duì)于一級(jí)運(yùn)算水平的數(shù)學(xué)試題，學(xué)生只需要掌握概念與運(yùn)算法則的新授課階段講解的內(nèi)容便可順利解決.教師在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生對(duì)此類(lèi)型題目多加練習(xí)，牢固掌握數(shù)學(xué)的基元：數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、命題、定理等，要讓學(xué)生從多角度進(jìn)行認(rèn)識(shí)，能夠?qū)τ谝患?jí)水平的題目條件反射性解決問(wèn)題.學(xué)生只有擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，才能夠進(jìn)行靈活運(yùn)用.心理學(xué)關(guān)于“專(zhuān)家系統(tǒng)”的研究表明：一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)善于解決問(wèn)題的專(zhuān)家必須具有5—20萬(wàn)個(gè)知識(shí)組塊.沒(méi)有這些專(zhuān)門(mén)知識(shí)，專(zhuān)家就不能解決該學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題[6].

在整套試卷中，二級(jí)運(yùn)算水平的試題最多，因此，教師應(yīng)該針對(duì)二級(jí)運(yùn)算水平加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí).在教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生接觸更多類(lèi)型的綜合性題目，使得學(xué)生的思維不只是限制在當(dāng)前的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，例如很多學(xué)生在講解函數(shù)時(shí)他們學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，但是在某些不等式求解問(wèn)題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常只是在數(shù)的角度進(jìn)行運(yùn)算，忽略圖形與數(shù)的結(jié)合，殊不知利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要比單純的數(shù)學(xué)計(jì)算更為便捷.同時(shí)，教師還要注意對(duì)公式的變形進(jìn)行教學(xué)，注重通過(guò)對(duì)于公式形式的分析進(jìn)而“湊”的教學(xué).

第三級(jí)運(yùn)算水平既需要學(xué)生有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又需要學(xué)生能夠靈活的處理各種綜合類(lèi)型的問(wèn)題，同時(shí)還要根據(jù)問(wèn)題情形的改變找到合適的解決策略.教師在教學(xué)過(guò)程中，遇到新的問(wèn)題時(shí)要帶領(lǐng)學(xué)生深入挖掘題干中給出的信息，將自己的解題思路暴露給學(xué)生，在挖掘信息的過(guò)程中要注意思路的自然性與連貫性，不能生拉硬拽地將整個(gè)問(wèn)題的計(jì)算步驟拼湊出來(lái).在解題完成之后經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生反思運(yùn)算過(guò)程，即這個(gè)解題的過(guò)程是什么，哪些地方是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，我們是如何處理這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的，為什么可以這么處理，在解決其他問(wèn)題時(shí)有什么用，如何在解題中進(jìn)行應(yīng)用.除此之外，還要注重學(xué)生一題多解能力的培養(yǎng)，在課堂上對(duì)多種辦法進(jìn)行比較，選出一個(gè)最優(yōu)的解決辦法，然后總結(jié)何時(shí)應(yīng)用這種方法，何時(shí)應(yīng)用其他方法會(huì)更方便.

4.3 學(xué)生學(xué)習(xí)的建議

學(xué)生在學(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)要多對(duì)新的定理、法則公式等進(jìn)行練習(xí)，見(jiàn)識(shí)更多新題型與新定理的變式，讓其爛熟于心，這樣可以在解決問(wèn)題時(shí)游刃有余.同時(shí)，在審題過(guò)程要仿照教師的做法充分挖掘每道題目中蘊(yùn)含的關(guān)鍵信息，解題過(guò)程不能偷懶，對(duì)于技巧性較強(qiáng)的問(wèn)題要善于總結(jié)其應(yīng)用的條件，同時(shí)多加練習(xí)，對(duì)于每一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，進(jìn)而養(yǎng)成對(duì)于解決問(wèn)題的條件反射.

參考文獻(xiàn)

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[5] 崔志榮.關(guān)于高考數(shù)學(xué)運(yùn)算考查要求的幾點(diǎn)建議——以2017年全國(guó)高考江蘇卷為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（02）：37-40.

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