控制變量法探索“SSA”

呂娟

北師大版七年級(jí)下冊(cè)第四章第三節(jié)“探索三角形全等的條件”課中，學(xué)生通過探索、作圖、比較、推理得出SSS，ASA，AAS，SAS可以判斷兩三角形全等。但是對(duì)“SSA”到底能否判定三角形全等，在什么情況下可以證明三角形全等，存在較深的疑惑。教材的處理方法是給出條件“兩條邊分別為2.5cm，3.5cm，長(zhǎng)度為2.5cm的邊所對(duì)的角為40°”，畫出兩個(gè)不一樣的三角形舉出反例進(jìn)行否定。

北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章第二節(jié)“直角三角形”第二課時(shí)探索直角三角形特殊的全等條件HL，其實(shí)質(zhì)也是對(duì)SSA探索中的一種特殊情況。如果能借助這節(jié)課對(duì)SSA的探究進(jìn)行深度挖掘，學(xué)生的收益將會(huì)更多。下面給出筆者的設(shè)計(jì)供讀者參考。

探究1：兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等（簡(jiǎn)稱“SSA”）的兩三角形全等嗎？

請(qǐng)同學(xué)們看PPT，給定條件：BC=3.5，BA=2.5，∠C=40°，能作出兩個(gè)不一樣的三角形：△ABC和△A′BC，如圖1，它們不全等。

結(jié)論：兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等（簡(jiǎn)稱“SSA”）的兩三角形不一定全等。

探究2：兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等（簡(jiǎn)稱“SSA”）的兩三角形一定不全等嗎？

請(qǐng)同學(xué)們作△ABC，其中BC=2.5，BA=3.5，∠C=90°。

發(fā)現(xiàn)：如圖2，作出的滿足條件的三角形只有一個(gè)。當(dāng)“∠A”是90°時(shí)可以判斷兩三角形全等。

這個(gè)結(jié)論就是我們即將要學(xué)的定理：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。

此定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”（此定理證明PPT展示，此處略）

結(jié)論：兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等（簡(jiǎn)稱“SSA”）的兩三角形不一定不全等。

探究3：根據(jù)探究1、2，改變一些條件，滿足“SSA”條件的兩三角形全等。從作圖過程來看，如果作出唯一的點(diǎn)A，就能得到唯一的三角形，此時(shí)的兩三角形全等。請(qǐng)問，改變哪些條件使得作圖過程中只能出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)A？

猜想：∠C的大小，BA和BC的相對(duì)長(zhǎng)短都能影響作圖時(shí)點(diǎn)A的個(gè)數(shù)。當(dāng)多個(gè)變量對(duì)結(jié)果都有影響時(shí)，我們用控制變量法來探索單一變量與結(jié)果的關(guān)系。

（1）當(dāng)∠C<90°時(shí)，分三種情況：

當(dāng)a>c時(shí)，如圖3，出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)A，（僅當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，只出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)A，為HL定理）

當(dāng)a=c時(shí)，如圖4，出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)A。

當(dāng)a

（2）當(dāng)∠C=90°時(shí)，根據(jù)“大角對(duì)大邊”，只有c>a時(shí)，構(gòu)成直角三角形，此時(shí)為定理“HL”；a≤c時(shí)不構(gòu)成三角形。

（3）當(dāng)∠C>90°時(shí)，根據(jù)“大角對(duì)大邊”，只有c>a時(shí)，構(gòu)成三角形，此時(shí)只有一個(gè)點(diǎn)A。

結(jié)論：兩邊分別相等且其中一組較大邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等。

證明過程如下：

分兩種情況。

（1）已知：如圖6，當(dāng)∠BCA>90°時(shí)，△ABC與△DEF中，BC=EF，AB=DE（AB>BC），∠ACB=∠DFE，

求證：△ABC≌△DEF

證明：分別過點(diǎn)B，E作邊AC，DF上的垂線，垂足分別為G，H。先證明△BCG≌△EFH（AAS），得BG=EH；再證△ABG≌△DEH（HL），得∠A=∠D，最后證明△ABC≌△DEF（AAS）

（2）圖7的證明過程和圖6的一樣。

自此，我們得到一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論：兩邊分別相等且其中一組較大邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等。

本節(jié)課我們討論了兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等。而當(dāng)一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理。同時(shí)借助控制變量法系統(tǒng)地探索研究SSA條件，不僅讓學(xué)生對(duì)滿足SSA條件能否判斷兩三角形全等有了完整認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，還發(fā)展了學(xué)生演繹推理的能力和鉆研的精神。

編輯 謝尾合