基于雙層梁模型的電磁軌道發(fā)射身管動力學(xué)研究

蔡喜元，魯軍勇，譚 賽，張永勝，李 白，姜遠(yuǎn)志

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430033)

0 引 言

電磁發(fā)射技術(shù)是機(jī)械能發(fā)射、化學(xué)能發(fā)射之后的一次發(fā)射方式的革命，利用電磁力（能）推進(jìn)物體到高速或超高速的發(fā)射技術(shù)[1 – 2]。電磁軌道發(fā)射武器電樞以超高速運(yùn)動，身管所受載荷隨電樞運(yùn)動高速變化，已經(jīng)超出靜力學(xué)研究的范疇。而且從本質(zhì)上講，力學(xué)中靜力學(xué)問題實(shí)際上都是動力學(xué)問題的近似[3]，與靜力學(xué)相比，動力學(xué)分析需要考慮系統(tǒng)慣性和阻尼作用。電磁軌道發(fā)射身管的動態(tài)響應(yīng)影響系統(tǒng)性能，導(dǎo)軌振動影響電樞與導(dǎo)軌接觸狀態(tài)，當(dāng)電樞與導(dǎo)軌失去有效接觸時(shí)，就會發(fā)生轉(zhuǎn)捩[4 – 5]。此外，身管的振動勢必影響電樞與彈丸內(nèi)彈道和出口姿態(tài)，進(jìn)而對射擊精度也有影響。

電磁軌道發(fā)射原理模型如圖1所示，電流從平行導(dǎo)軌一端流入，經(jīng)過電樞從導(dǎo)軌另一端流出，導(dǎo)軌周圍產(chǎn)生的電磁場推動有電流通過的電樞向前運(yùn)動。由于電磁場的存在，平行導(dǎo)軌之間會受到電磁斥力；由于樞軌之間的過盈配合，電樞對導(dǎo)軌也會有過盈力。Tzeng首次提出將復(fù)合型電磁軌道發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上的單層梁模型，利用應(yīng)變能方法計(jì)算彈性基礎(chǔ)的剛度系數(shù)[6 – 7]。Lewis 和 Nechitailo 將內(nèi)徑 與壁厚比在1.6左右的復(fù)合型電磁軌道發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上的Timoshenko梁[8]。Stonkus和Rackauskas等將一種螺栓預(yù)緊型電磁軌道發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上的單層梁模型[4]。Johnson和Moon為了解釋電磁發(fā)射過程中的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象，同樣采用彈性基礎(chǔ)上的單層梁模型計(jì)算軌道受電磁壓力下的應(yīng)力波傳播特性以及軌道變形，但是模型并不符合實(shí)際工況[5]。何威將電磁軌道發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上的雙層梁模型，但是并未引入阻尼[9]。

圖 1 發(fā)射裝置模型圖Fig. 1 Electromagnetic launcher model

本文將一種螺栓預(yù)緊型電磁軌道發(fā)射身管簡化為Winkler彈性基礎(chǔ)上的雙層Euler-Bernoulli梁，考慮阻尼，建立雙層梁的振動微分方程，推導(dǎo)出齊次方程通解并得到在電磁軌道發(fā)射工況下導(dǎo)軌振動位移的解析解。建立模型在有限元軟件中仿真計(jì)算并分析電磁軌道發(fā)射身管動力學(xué)特性。

1 身管動力學(xué)雙層梁模型的建立

1.1 身管動力學(xué)模型簡化

本文建模分析的螺栓預(yù)緊型電磁軌道發(fā)射模型為上下對稱結(jié)構(gòu)，截面如圖2所示。上下導(dǎo)軌之間和上下導(dǎo)軌與外封裝板之間由絕緣壓板分開，外封裝板由螺栓預(yù)緊。將電磁軌道發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上雙層簡支梁模型，導(dǎo)軌簡化為第1層梁，外封裝板為第2層梁，導(dǎo)軌與外封裝板之間絕緣壓板簡化為第1層彈性支撐，螺栓起到第2層彈性支撐的作用。身管動力學(xué)分析模型如圖3所示。

圖 2 身管截面Fig. 2 Cross section of electromagnetic launcher tube

圖 3 身管動力學(xué)分析模型Fig. 3 Structural analysis model of electromagnetic launcher tube

1.2 身管動力學(xué)微分方程的建立

彈性基礎(chǔ)上雙層Euler-Bernoulli梁的動力學(xué)微分方程為：

根據(jù)剛度定義，第1層Winkler彈性基礎(chǔ)的彈性常數(shù)為：

2 身管動力學(xué)雙層梁模型的理論求解

2.1 雙層梁動力學(xué)振動微分方程的求解

身管不受外加載荷情況下，式（2）和式（3）齊次方程形式為：

聯(lián)立式（7）和式（8）得到：

根據(jù)振動理論[9 – 10]，通解形式為：

另外，考慮振型函數(shù)正交性，身管不受外加載荷條件下雙層梁振動微分方程的解為：

2.2 身管動態(tài)響應(yīng)

實(shí)際發(fā)射工況下，身管動態(tài)響應(yīng)，即雙層梁模型受外加載荷情況下，聯(lián)立式（2）、式（13）、式（15）～式（18），對式（2）等號左右兩邊同時(shí)乘以并在上積分，并結(jié)合：

得到：

其中：

對于式（21），其解為：

于是，雙層梁模型振動方程的解，即導(dǎo)軌和外封裝板振動解析解為：

從圖4可以看出，導(dǎo)軌和外封裝板的撓度變形在整個(gè)時(shí)空分布情況基本一致，導(dǎo)軌和外封裝板主要向

圖 4 導(dǎo)軌和外封裝板撓度隨位置和時(shí)間的變化Fig. 4 Deflection of the rail and containment with time and location

3 身管動力學(xué)仿真分析

從身管振動角度來講，身管結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料選取主要考慮以下方面：1）導(dǎo)軌振動盡量?。?）導(dǎo)軌與外封裝板之間的相對位移要小。

由第2節(jié)可知電磁軌道發(fā)射時(shí)身管振動與身管各部分幾何尺寸以及材料性能都有關(guān)系。為了更加直觀地研究電磁軌道發(fā)射身管動力學(xué)特性，本文應(yīng)用有限元分析軟件建立電磁軌道發(fā)射身管Winkler彈性基礎(chǔ)上的雙層Euler-Bernoulli梁模型，并進(jìn)行動力學(xué)仿真分析。模型參數(shù)使用導(dǎo)軌尺寸為長3m，寬30 mm，高15 mm，材料為銅合金，密度 8 900 kg/m3，彈性模量120 GPa；上封裝板長 3 m，寬 160 mm，高 40 mm，材料為合金鋼，密度7850kg/m3，彈性模量210 GPa；絕緣壓板長 3 m，寬 160 mm，高 40 mm，材料為 GRP，彈性模量18 GPa[4]；預(yù)緊螺栓數(shù)量為80個(gè)，有效作用長度0.205 m，半徑9 mm，材料為合金鋼，彈性模量210 GPa。發(fā)射初始位置=0.2 m，發(fā)射距離 2.8 m，電樞移動速度設(shè)為1 000 m/s，導(dǎo)軌所受均布載荷=31.2 MPa，電樞對導(dǎo)軌等效集中載荷=400 kN，根據(jù)第1節(jié)和第2節(jié)分析，仿真計(jì)算結(jié)果如圖4～圖6所示。外側(cè)變形，向內(nèi)彎曲無論是從幅度還是時(shí)間分布都相對較小，因此預(yù)緊螺栓必須有足夠的強(qiáng)度足以支撐和約束身管的外向變形。

圖 5 發(fā)射過程中身管撓度最大值Fig. 5 The maximum deflection of railgun during the launching process

從圖5（a）可以看出，隨著電樞的前進(jìn)，導(dǎo)軌和外封裝板撓度變化趨勢基本一致，在初始階段撓度大小成直線增大趨勢，達(dá)到一定值后在接下來大部分時(shí)間撓度大小基本保持穩(wěn)定，在發(fā)射后期撓度稍有波動并在最后時(shí)刻達(dá)到最大值。從圖5（b）可以看出，沿著導(dǎo)軌長度方向，導(dǎo)軌和外封裝板撓度大小先增大然后保持基本不變，最后在出口段撓度最大。在電磁軌道發(fā)射初始時(shí)刻，身管振動變形在短時(shí)間內(nèi)迅速加大，在達(dá)到一定值后導(dǎo)軌和外封裝板撓度大小雖然保持基本不變，但是最大變形位置在隨著電樞位置的變化也在不斷變化；從時(shí)間上看，在發(fā)射出膛前導(dǎo)軌和外封裝板撓度存在一個(gè)不穩(wěn)定狀態(tài)，撓度大小出現(xiàn)波動，并在出膛時(shí)刻達(dá)到最大值；從空間位置上看，在出口段導(dǎo)軌和外封裝板撓度存在不穩(wěn)定狀態(tài)，撓度大小出現(xiàn)波動，在出口段撓度達(dá)到最大值。初步判斷身管振動不穩(wěn)定狀態(tài)和最大撓度時(shí)間和空間的對應(yīng)。

圖 6 為從發(fā)射開始后 0.10～2.60 ms間隔 0.50 ms分別截取此時(shí)導(dǎo)軌和外封裝板振動狀態(tài)?？梢钥闯?，發(fā)射初始階段，電樞運(yùn)動距離較短，導(dǎo)軌間受電磁斥力作用區(qū)域較短身管的振動還不大。隨著電樞前進(jìn)，撓度最大點(diǎn)也在向前推進(jìn)，證實(shí)前文中對身管振動不穩(wěn)定狀態(tài)和最大撓度的對應(yīng)關(guān)系，即在發(fā)射出膛前一段時(shí)間在出口段撓度不穩(wěn)定，在出膛時(shí)刻出口位置處撓度達(dá)到最大值。并且還可以知道，在整個(gè)發(fā)射過程任何時(shí)刻，導(dǎo)軌與外封裝板間隙的最大值位置發(fā)生在導(dǎo)軌和身管處于最大撓度處。圖6中電樞到達(dá)位置和該時(shí)刻導(dǎo)軌撓度最大位置如表1所示。

可以看出，最大撓度位置落后于電樞位置，這是身管受到集中載荷和分布載荷共同作用的結(jié)果。最大撓度位置落后電樞位置的距離隨著發(fā)射的進(jìn)行慢慢拉大，這是由于在初始階段均布載荷作用區(qū)域較小，集中載荷對身管變形的作用較大，隨著發(fā)射的進(jìn)行，均布載荷作用區(qū)域增加，集中載荷的影響相對減小。

圖7分別截取1.30 m和1.80 m導(dǎo)軌在整個(gè)發(fā)射過程中振動狀態(tài)，結(jié)合圖6分析可知電磁軌道發(fā)射過程中，受應(yīng)力波的作用，在電樞還未行進(jìn)到導(dǎo)軌距起始端位置處時(shí)，該位置處已經(jīng)開始振動，并且振幅逐漸加大，在電樞離開該位置后，導(dǎo)軌該位置才達(dá)到最大撓度，之后振幅不斷衰減，導(dǎo)軌變形過程如圖8所示。

為了考察預(yù)緊螺栓對身管動力學(xué)特性的影響，改變螺栓半徑為4 mm，對比分析導(dǎo)軌與外封裝板間隙和導(dǎo)軌不同位置撓度最大值變化情況，結(jié)果如圖9所示。

圖 6 發(fā)射時(shí)間歷程中身管振動狀態(tài)Fig. 6 Vibration of railgun during the launching process

表 1 發(fā)射過程中電樞位置和最大撓度位置Tab. 1 Location of armature and maximum deflection during the launching process

圖 7 導(dǎo)軌距起始端 1.30 m 和 1.80 m 處振動狀態(tài)Fig. 7 Vibration of the rail at 1.30 m and 1.80 m location

圖 8 導(dǎo)軌變形過程Fig. 8 The deformation process of rail

可以看出，導(dǎo)軌與外封裝板間隙受預(yù)緊螺栓半徑影響較小，但是減小螺栓半徑，導(dǎo)軌撓度隨之增大。結(jié)合第1節(jié)和第2節(jié)內(nèi)容分析可知：螺栓半徑的改變主要影響第2層彈性層等效剛度，螺栓半徑的減小等效剛度隨之減小。因此可以推論：增大第2層彈性層等效剛度，如增加預(yù)緊螺栓半徑和數(shù)量可以有效減小身管振動。

為了考察絕緣壓板和外封裝板對身管動力學(xué)特性的影響，分別改變絕緣壓板厚度為80 mm，外封裝板厚度為8 mm，對比分析導(dǎo)軌不同位置撓度最大值變化情況，結(jié)果如圖10所示。

圖 9 預(yù)緊螺栓對身管振動的影響Fig. 9 The influence of the bolt on the vibration of railgun

圖 10 絕緣壓板和外封裝板對身管振動的影響Fig. 10 The influence of the insulation clamping and containment on the vibration of railgun

可以看出，增加絕緣壓板厚度導(dǎo)軌撓度會隨之增大，而增加外封裝板厚度導(dǎo)軌撓度則隨之減小。結(jié)合第1節(jié)和第2節(jié)內(nèi)容分析可知：絕緣壓板的改變主要影響第1層彈性基礎(chǔ)等效剛度，絕緣壓板厚度增加，第1層彈性層等效剛度減小，導(dǎo)軌撓度增大。外封裝板對身管振動的影響主要是靠影響下梁的慣性矩進(jìn)而影響下梁抗彎剛度作用的，下梁抗彎剛度越大，身管振動越小，但是外封裝板厚度的增加會使得身管尺寸增加，預(yù)緊螺栓有效作用長度增加，進(jìn)而減小第2層彈性基礎(chǔ)剛度。因此，在一定范圍內(nèi)，綜合增加第1層彈性層等效剛度，提高外封裝板的抗彎剛度，如減小絕緣壓板厚度并選用高模量材料做絕緣壓板，增加外封裝板厚度并選用高模量材料做外封裝板能減小身管振動。

4 結(jié) 語

對螺栓預(yù)緊型電磁軌道發(fā)射身管建立了基于Winkler彈性基礎(chǔ)上的雙層Euler-Bernoulli梁模型，考慮實(shí)際工況，推導(dǎo)身管振動微分方程解析解。建立身管動力學(xué)有限元模型，仿真分析了發(fā)射過程中電磁軌道發(fā)射身管不同位置處變形隨時(shí)間的變化情況，并改變參數(shù)對比分析了不同電磁軌道發(fā)射身管結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料性能對身管動力學(xué)特性的影響。得到結(jié)論如下：

1）發(fā)射過程中導(dǎo)軌和外封裝板的撓度變形在整個(gè)時(shí)空分布情況基本一致，導(dǎo)軌和外封裝板主要向外側(cè)變形；

2）發(fā)射初始階段，電樞運(yùn)動距離較短，身管振動隨著電樞前進(jìn)迅速增大。隨著電樞前進(jìn)，外加載荷作用區(qū)域增大，撓度最大點(diǎn)也在向前推進(jìn)，最大變形值基本不變，在出口階段出現(xiàn)波動。任何一個(gè)時(shí)刻，導(dǎo)軌與外封裝板間隙的最大值位置發(fā)生在導(dǎo)軌處于最大撓度處；

3）集中載荷和分布載荷共同作用和應(yīng)力波傳播的影響，對于導(dǎo)軌上任何位置處，在電樞行進(jìn)到該位置處之前，導(dǎo)軌該位置處已經(jīng)開始振動，振幅逐漸增大，并在電樞駛過該位置一段時(shí)間后，該位置振動才達(dá)到最大值，之后振動不斷衰減；

4）綜合增加第1層和第2層彈性層等效剛度，提高外封裝板的抗彎剛度，如減小絕緣壓板厚度并選用高模量材料做絕緣壓板，增加預(yù)緊螺栓半徑和數(shù)量，增加外封裝板厚度并選用高模量材料做外封裝板都可以有效減小電磁軌道發(fā)射身管振動。