船型優(yōu)化敏感度分析方法研究綜述

徐 青，陳佳寶，田斌斌

(中國艦船研究設(shè)計中心，湖北 武漢 430064)

0 引 言

現(xiàn)如今，船舶行業(yè)能源成本日益增加，且能效設(shè)計指標（EEDI）對CO2排放嚴格控制，經(jīng)濟性以及節(jié)能環(huán)保在船舶設(shè)計領(lǐng)域的重要性日益增加。造船工業(yè)迫切需要在滿足最小工藝和運營成本的前提下，找出制造更加節(jié)能環(huán)保船舶的技術(shù)和方法，比如船型優(yōu)化技術(shù)、使用節(jié)能設(shè)備和可再生能源[1]。其中，船型優(yōu)化技術(shù)通過集成船舶幾何自動重構(gòu)、CFD以及最優(yōu)化技術(shù)，設(shè)計出一定條件下阻力性能及其他性能最佳的船型，對于船舶的節(jié)能降耗具有重要意義[2]。對于水面艦船，船型優(yōu)化不僅能降低燃油消耗，而且能夠提高艦船快速性，為水面艦船的戰(zhàn)斗力提供重要保證。

隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展以及數(shù)值計算理論的不斷完善，計算流體力學(xué)（CFD）得到了蓬勃發(fā)展。得益于此，基于CFD技術(shù)的船型優(yōu)化在船舶設(shè)計領(lǐng)域的應(yīng)用也日益廣泛和深入?；贑FD的船型優(yōu)化利用CFD對設(shè)定的優(yōu)化目標（船舶水動力性能）進行數(shù)值計算，同時利用優(yōu)化算法和船體幾何自動重構(gòu)技術(shù)對船型設(shè)計空間進行探索，最終獲得給定約束條件下性能最優(yōu)的船體外形。雖然CFD技術(shù)的發(fā)展為船型優(yōu)化研究帶來了很大進展，然而船型參數(shù)數(shù)目過多的問題限制了其進一步的發(fā)展。在使用參數(shù)化方法時，為了精確表達船體的幾何外形，需要用到大量的船型參數(shù)，這無疑大大增加了計算成本和時間成本。因此，需要在滿足設(shè)計精度的前提下，找到篩除船型參數(shù)，降低設(shè)計空間維度的方法。而敏感度分析為多維設(shè)計空間的降維提供了有效的解決方法。

敏感度分析主要用于定性或定量地考察輸入變量變化對模型輸出影響程度的大小[3]。它可通過對影響輸出變化較大輸入?yún)?shù)的分析，從最終模型中去除不重要的參數(shù)，簡化模型。這一點應(yīng)用于船型優(yōu)化過程中，就可通過對基于船型參數(shù)和船舶性能建立的模型進行敏感度分析，分析各參數(shù)對船舶阻力及耐波等性能的敏感度，從而在保證精度的前提下在模型中去除敏感度值較小的參數(shù)，降低船型優(yōu)化設(shè)計空間的維度，進而降低船型優(yōu)化的計算成本及時間成本。

1 敏感度分析方法

敏感度分析主要研究各個輸入?yún)?shù)對輸出的影響以及輸入信息變化對模型本身的影響程度。各個研究領(lǐng)域研究對象、研究目的以及研究環(huán)境有所不同，因此所采用的敏感度分析方法也會有所區(qū)別。為了準確選取最合適的敏感度分析方法進行相應(yīng)科學(xué)研究，需要對敏感度分析方法進行必要了解[4]。

敏感度分析方法有很多分類標準：按照其執(zhí)行形式，可分為局部敏感度和全局敏感度分析方法；按照其分析手段，可分為數(shù)學(xué)、統(tǒng)計和圖形法；按照其分析原則，可分為定性篩選方法和定量排序方法等[5]。表1展示了敏感度分析的各種分類方法，以及各種方法的描述和特點。

而在這些分類方法中，最常用的還要屬局部分析法和全局分析法。本文將以此分類對敏感度分析方法進行簡要介紹和分析。

1.1 局部敏感度分析方法

局部敏感度分析方法是指在分析的過程中，每次只有被研究的輸入變量發(fā)生變化，而其余輸入變量保持在經(jīng)驗值的敏感度分析方法。這一類方法的敏感性指標為輸出變量對輸入變量的微分或者輸入變量的變化對輸出變量的影響。相比于全局敏感度分析，局部敏感度分析計算速度要快得多。但它也有一些局限性，比如要求輸入變量在中間值處的變化不能過大；要求輸入變量和輸出變量的關(guān)系需要假設(shè)為線性關(guān)系；要求所有輸入變量具有相同的變化范圍。本文主要介紹3種常見的局部敏感度分析方法。

1.1.1 有限差分法

有限差分法是最簡單的局部敏感度分析方法，它的基本原理為通過輸入變量的微小攝動Δxi，利用差分計算輸出變量對輸入的近似微分。較為簡單的方法是采用向前差分格式：

有限差分法原理較為簡單，便于應(yīng)用，但其計算量較大。

1.1.2 直接微分法

已知模型的微分方程為：

表 1 敏感度分析方法分類Tab. 1 Classification of sensitivity analysis methods

或通過矩陣形式表示為：

式（4）的求解需已知J和F的值，而矩陣的值由變量的值決定，因此需要已知或求得式（3）的解。

直接法最適合應(yīng)用于結(jié)構(gòu)簡單、變量較少、敏感度方程不難求得的模型，可快速簡便地求出其敏感度。

1.1.3 格林函數(shù)法

式（3）關(guān)于初值y0的方程為：

式（4）為非齊次線性微分方程，可先求式（6）的齊次解，再求特解：

式中，X為格林函數(shù)，基于式（7）解的敏感度分析方法稱為格林函數(shù)法。

隨著設(shè)計變量的增加，直接微分法的計算量線性增加，而格林函數(shù)法的計算量與設(shè)計變量數(shù)成一定比例關(guān)系。

1.2 全局敏感度分析方法

全局敏感度分析方法是指在分析的過程中，每次不僅被研究的變量會發(fā)生變化，其余變量也會發(fā)生相應(yīng)變化，不僅分析多個輸入變量的變化對輸出的影響，并且分析多個輸入變量的交互作用對輸出的影響。它被稱為全局分析法的主要原因為：1）該方法考慮了所有輸入變量的概率分布影響；2）該方法考慮了所有變量同時變化的影響。相比于局部敏感度分析法，全局法輸入變量的變化范圍可延伸至整個定義域，所有輸入變量可具有不同的變化區(qū)間且能同時發(fā)生變化，而且該方法對系統(tǒng)模型沒有要求，非線性、非疊加以及非單調(diào)模型都可進行分析，具有更大的探索空間以及更準確的敏感度值預(yù)報能力。本文主要介紹幾種常見的全局敏感度分析法。

1.2.1 篩選法

篩選方法的目的是確定哪些輸入變量對高維模型的輸出不確定性有重大貢獻，而不是精確地量化敏感度。篩選法中最簡單的是OAT法（one-at-a-time）[6]，而最常用的OAT篩選方法之一是Morris篩選方法或由Morris（1991年）提出并由Campolongo等（2007年）改進的基本效應(yīng)方法。參數(shù)取值為離散數(shù)值，這與其他參數(shù)值直接來自分布的全局敏感度分析方法不同。對于給定的，第i個參數(shù)的基本效應(yīng)定義為：

式中：Δ 為{1/（p-1），...，1-1/（p-1）}中的值；p 為等級數(shù)目；y（X）是參數(shù)X的目標函數(shù)值。2個敏感性度量均值μ和標準差σ可通過式（9）和式（10）求得：

式中：di（j）為使用第j個基本采樣點輸入i的基本效應(yīng)，j=1，2，...，r（r是參數(shù)空間中采樣點的重復(fù)采樣設(shè)計的數(shù)量）。當模型非單調(diào)時，一些具有相反符號的基本效應(yīng)可能被抵消。因此，Campolongo等（2007年）提出了一項改進措施μ*[7]：

μ用來評估每個參數(shù)對輸出的總體影響，σ用來估計高階效應(yīng)，如非線性和輸入之間的交互作用。如果與0相差很多，則表明參數(shù)i對輸出具有較大的整體影響。σi的值大意味著參數(shù)i對輸出具有非線性效應(yīng)，或者參數(shù)i和其他參數(shù)之間存在交互作用。

1.2.2 回歸分析法

回歸分析法是采用數(shù)理統(tǒng)計分析輸入輸出的非確定關(guān)系的方法。它可通過仿真得到的數(shù)據(jù)對輸入輸出關(guān)系進行擬合，然后根據(jù)擬合結(jié)果以及擬合過程進行敏感度分析。該方法適用于分析具有線性關(guān)系的系統(tǒng)的敏感度。

線性模型可通過以下方程表示：

其中：

利用SRCs確定敏感度時，需對模型系數(shù)加以確定，而且需要對判定系數(shù)R2進行分析，以保證模型擬合的合理性。

1.2.3 基于方差的方法

基于方差的方法使用方差比來估計方差分解基礎(chǔ)上參數(shù)的重要性[9]。通常，模型輸入?yún)?shù)及其交互作用對總輸出方差的影響，可通過以下公式表示[10 – 11]：

式中：V為模型輸出的總方差；Vi表示每個因子xi（Vi=V[E（Y|xi）]）的 1 階方差和 Vij（Vij=V[E（Y|xi，xj）]-Vi-Vj）到V1...k表示因子之間相互作用產(chǎn)生的方差。條件期望的方差V[E（Y|xi）]有時被稱為主效應(yīng)，用于表示xi對Y方差的顯著性?；诜讲畹姆椒ㄔ试S計算2個指標，即對應(yīng)于參數(shù)xi的1階敏感度指數(shù)：

以及單個參數(shù)（指數(shù)i）的全階敏感度指數(shù)以及涉及指數(shù)i和至少一個指數(shù)j≠i（從1到k）的更多參數(shù)的相互作用：

1階和全階敏感指數(shù)之間的差異可以看作是單個參數(shù)與其他參數(shù)之間相互作用的一個度量[12]。因為相互作用隨著考慮的參數(shù)數(shù)量以及變化范圍而增加，所以方差分解方法非常適合于具有許多參數(shù)的模型。有許多方法進行方差分解，如Sobol方法，傅里葉振幅敏感度測試（FAST）和擴展的FAST方法。

1.2.4 代理模型法

代理模型方法的基本思想是通過各種統(tǒng)計或?qū)嶒炘O(shè)計方法，模擬輸入?yún)?shù)與模型輸出之間的響應(yīng)函數(shù)，取代原有的、復(fù)雜的物理或概念模型，然后分析參數(shù)敏感性指標或影響模型輸出的參數(shù)變化?；诖砟Ｐ头椒ǖ暮诵氖沁x擇合適的采樣設(shè)計和響應(yīng)擬合方法。當選擇響應(yīng)擬合方法時，代理模型方法可以準確地模擬真實現(xiàn)象在影響參數(shù)范圍內(nèi)的行為，即代理模型可以通過數(shù)學(xué)近似代替原始模型。

基于代理模型的方法是一個兩步的方法：1）基于原始模型和數(shù)據(jù)建立一個代理模型；2）基于經(jīng)典的敏感度分析方法計算敏感性度量，其中最常用的方法是基于方差的方法[13]。該方法的直接優(yōu)勢是可以簡化計算密集型模型，從而使模型運行速度更快，特別是對于成千上百模型運行的高計算成本模型。

1.2.5 基于熵的方法

熵可以被看作是信息含量的一個指標，或作為隨機變量不確定性的度量[14]。 它也提供了相對較多的信息，因為沒有互信息的2個變量在統(tǒng)計上獨立，而2個不相關(guān)的變量不一定獨立。不同的熵指標已經(jīng)被描述在一些研究中，如邊際、聯(lián)合、條件和互信息等評估一個非獨立變量和一個獨立變量之間的關(guān)系?；バ畔⒈挥米髟S多領(lǐng)域中變量重要性的指標。Mishra和Knowlton（2003年）描述了一種將互信息概念與應(yīng)急表分析相結(jié)合的全局敏感度分析方法[15]。

表 2 全局敏感度分析方法比較Tab. 2 Comparison of global sensitivity analysis methods

基于熵的方法主要優(yōu)點是通過研究輸入變量對概率分布的影響，而不是基于方差的方法對性能方差等低階矩的影響，可以獲得更完整的概率敏感信息。但是，值得注意的是，基于熵的方法只能給出隨機變量的相對重要性排序，而且度量的絕對值難以解釋，這是基于熵的方法的主要局限性。

2 敏感度分析在船型優(yōu)化領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀及發(fā)展方向

敏感度分析雖然興起時間較早，在許多科研領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但其在船舶領(lǐng)域的應(yīng)用時間較晚，而且主要集中在船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計、耐波性和操縱性領(lǐng)域，真正用于船型優(yōu)化領(lǐng)域的研究較少。因此，本文將首先介紹敏感度分析在船舶領(lǐng)域的應(yīng)用，然后著重對其在船型優(yōu)化方面的應(yīng)用進行分析。

2.1 國外研究現(xiàn)狀

由于敏感性分析的有效性近幾年顯著增加，敏感性分析在船舶與海洋工程領(lǐng)域的研究和應(yīng)用也得到飛速發(fā)展。尤其國外的應(yīng)用起步時間更早，且研究更加成熟，涉及船舶領(lǐng)域的許多方向。

在操縱性方向，2009年，Toxopeus SL等[16]通過敏感度分析評估了操縱性導(dǎo)數(shù)的變化對IMO標準操縱的影響；2014年，DH Kim等[17]通過2階響應(yīng)面敏感度分析方法分析船體附體對船舶操縱性的影響，分別建立了操縱性能與穩(wěn)定性指標、穩(wěn)定性指標與船體附體的關(guān)系；2015年，Padilla等[18]通過敏感性分析評估了連續(xù)時間轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型參數(shù)的準確性。

在結(jié)構(gòu)方向，2004年，Downes等[19]基于可靠性分析評估了與船體梁極限強度預(yù)測有關(guān)的隨機變量的敏感因子；2009年，SC Kim等[20]對散貨船典型結(jié)構(gòu)構(gòu)件進行了疲勞可靠性和檢驗的敏感性分析；2015年，Obisesan等[21]基于Sobol′s一階指數(shù)的敏感性分析方法研究了輸入變量對船舶碰撞損傷分析中船體板位移值的影響。

在耐波性方向，2002年，N Fonseca等[22]分析了表示船舶運行時間百分比的可操作性指數(shù)對不同耐波性標準的敏感性；2005年，SCS Yim等[23]分析了關(guān)于次諧波和超諧波共振這2個關(guān)鍵非線性系統(tǒng)參數(shù)的敏感度的結(jié)果響應(yīng)。

在其他方向，1999年，TC Spicer[24]通過敏感性分析評估了動態(tài)效應(yīng)對船上累進洪水的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性的影響；2001年，YH Kim等[25]對船舶推進軸系耦合的軸向和扭轉(zhuǎn)無阻尼自由振動進行了靈敏度分析，并通過對2艘大型商船的推進軸系進行敏感度分析，驗證了該方法的有效性。

然而，與船舶阻力及船型優(yōu)化相關(guān)的敏感度分析研究，在國外公開發(fā)表的文獻中出現(xiàn)較少，比如2003年，Valorani等[26]根據(jù)敏感度公式和伴隨方法估算了成本函數(shù)梯度，可降低基于阻力最小的船型優(yōu)化的計算成本；2005年，Justus Heimann[27]通過攝動法利用轉(zhuǎn)換矩陣對船型優(yōu)化變量對波形、自由波譜以及波形阻力的影響進行敏感度分析；2011年，Stück A等[28]應(yīng)用基于RANS的伴隨敏感性分析方法來提高通用集裝箱船體設(shè)計中尾流場的質(zhì)量。

2.2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀

近幾年，國內(nèi)船舶領(lǐng)域的敏感性分析也得到很大的發(fā)展，在船舶領(lǐng)域的應(yīng)用也較為廣泛。

在操縱性方面，2006年，孫建剛等[29]基于三自由度的常系數(shù)船舶操縱運動方程，通過仿真Z形操舵試驗和船舶回轉(zhuǎn)試驗進行敏感性分析，考察了水動力系數(shù)、舵的整流系數(shù)以及螺旋槳伴流系數(shù)對船舶操縱性的影響；2013年，徐峰等[30]通過Z形仿真試驗，對Abkowitz模型中粘性類水動力導(dǎo)數(shù)進行了敏感度分析，驗證了所提出的水動力導(dǎo)數(shù)敏感度分析方法的有效性。

在結(jié)構(gòu)方面，2006年，鄒春平[31]利用導(dǎo)出的敏感度方程計算外表面振動速度響應(yīng)對雙層隔振系統(tǒng)設(shè)計變量的敏感度，考察了設(shè)計參數(shù)的微小變化對其振動速度的影響；2007年，劉俊梅[32]通過利用中心差分法計算敏感度指數(shù)，對破損船體剩余極限強度的影響參數(shù)進行了敏感性分析。

在耐波性方面，2009年，周佳等[33]利用Matlab平臺分析氣墊船重心位置、初始縱橫傾角和前后氣墊分割圍裙位置4個參數(shù)對氣墊船耐波性的敏感性；2013年，周耀華等[34]通過對3艘集裝箱船的參數(shù)橫搖敏感性分析，討論了橫搖慣性矩的不同計算方法對運動響應(yīng)預(yù)報的影響；2015年，張曉等[35]采用動力學(xué)龐加萊圖，針對規(guī)則波和不規(guī)則波分析了船舶橫搖幅值對設(shè)計變量的敏感度。

在其他方面，有很多相關(guān)研究，比如2006年，唐文勇等[36]通過建立艦船綜合性能評估框架，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析了艦船幾個參數(shù)的敏感性；2015年，喻曦[37]通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用Skeletonization敏感度剪枝方法計算輸入節(jié)點和隱節(jié)點的敏感度，分析了艦船的抗沉性、最大航速、適航性、載重量4個參數(shù)對艦船總體性能的影響等。

關(guān)于敏感度分析在船型優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用，近兩年，武漢理工大學(xué)張恒等組成的團隊，在這方面取得了較大的進展。2015年，他們基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用回歸分析法研究船型主尺度參數(shù)對阻力性能的敏感度，得到了主尺度參數(shù)的敏感度排序[38]；2016年，他們基于徑向基和偏最小二乘回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過樣本均勻設(shè)計分析了局部特征參數(shù)對系列集裝箱船的阻力性能的影響，減少了船型優(yōu)化中設(shè)計空間的維度[39]。2017年，他們將基于Kriging模型的TPBF方法和改進的Sobol′s方法用于船型優(yōu)化，確定了降維的無影響變量，且驗證了基于Kriging模型的TPBF方法具有較高的精確性，改進的Sobol方法具有較好的魯棒性[40]。

雖然武漢理工大學(xué)的團隊在敏感度分析應(yīng)用于船型優(yōu)化這方面取得了一定成就，但總體來講，國內(nèi)的敏感度分析在船舶領(lǐng)域的研究相比于國外還有一定的差距，主要表現(xiàn)在以下方面：1）國內(nèi)的敏感度分析在船舶領(lǐng)域的研究絕大部分還處在應(yīng)用層面；2）國內(nèi)的敏感度分析在船舶領(lǐng)域主要采用局部分析方法或者是簡單篩選法，而國外更側(cè)重于全局分析法；3）國內(nèi)在船舶領(lǐng)域的敏感度分析，大多數(shù)只能做出定性分析，對敏感度做出排序，而國外傾向于對敏感度做出定量計算。

2.3 敏感度分析在船型優(yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展方向

目前，敏感度分析在船型優(yōu)化的降維方面已做出一定貢獻，但其在船型優(yōu)化中的應(yīng)用仍然較少，還有很大的發(fā)展空間。而且在發(fā)展的過程中也存在一些問題，也相應(yīng)帶來了以下這些要求：1）隨著CFD技術(shù)的發(fā)展，CFD仿真及計算能力不斷增強，CFD仿真結(jié)果逐漸接近于真實試驗結(jié)果，對于通過敏感度分析降維的需求降低，而是趨向于對重要參數(shù)的敏感度分析；2）不同船型特征參數(shù)的選取，會帶來不同的敏感度分析及優(yōu)化結(jié)果。參數(shù)選擇過多，會造成計算資源的浪費，參數(shù)選擇過少，則很難得到可靠的分析結(jié)果，因此，特征參數(shù)的合理選取顯得尤為重要；3）目前在船型優(yōu)化過程中，約束條件普遍僅局限于主尺度、排水量和濕表面積等。然而在實際應(yīng)用中，一些船舶比如軍船由于總布置等方面的要求，則需要對船型進一步約束；4）不同船型及處于不同的航速段，也會造成不同的優(yōu)化及分析結(jié)果。多種船型及多航速情況下的敏感度分析，可帶來較為準確的分析結(jié)果，并能驗證方法的可靠性。

敏感度分析在船型優(yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展方向主要包括以下幾個方面：1）將更多先進的全局敏感度分析方法，比如Sobol's、Fast等方法，或?qū)⑵涓倪M后應(yīng)用于船型優(yōu)化；2）由于船型優(yōu)化設(shè)計的參數(shù)很多，所以可以先通過篩選法對參數(shù)進行初選，然后對剩余參數(shù)進行全局敏感度分析；3）雖然現(xiàn)在有很多全局敏感度分析方法適用于船型優(yōu)化，但各方法具有各自的特點，敏感度分析結(jié)果也會有所差異，因此可應(yīng)用多種分析方法，分析結(jié)果可互為驗證。

3 結(jié) 語

由于船型優(yōu)化涉及的船型特征參數(shù)數(shù)目較多，而且隨著船體精確化表達的進一步發(fā)展，這個數(shù)目會日漸龐大，而且各參數(shù)之間會存在交互作用，互相影響。因此，將全局敏感度分析方法應(yīng)用于船型優(yōu)化，已成為解決限制基于CFD船型優(yōu)化進一步發(fā)展問題的重要法寶。在這方面國外走在了前列，國內(nèi)的發(fā)展和國外還有一定差距。不過可喜的是，國內(nèi)的一些團隊也取得了不錯的成果，初步建立了船型優(yōu)化敏感度分析基本框架。應(yīng)該繼續(xù)推進敏感度分析在船型優(yōu)化中的應(yīng)用，并努力發(fā)展出更加適合船型優(yōu)化的新型敏感度分析方法，從而進一步降低基于CFD的船型優(yōu)化的計算成本和時間成本，促進船型優(yōu)化技術(shù)的進一步發(fā)展，推動新型船型優(yōu)化技術(shù)快速應(yīng)用于實際船舶設(shè)計工程，提升我國船型創(chuàng)新設(shè)計的能力[41]。