從統(tǒng)計概率的命題趨勢看“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”的考查

☉浙江省慈溪市滸山中學 王成維

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中強調(diào)：突出數(shù)學素養(yǎng)，在數(shù)學課程逐漸展開的過程中，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.教育部考試中心發(fā)布的2018年高考數(shù)學考試大綱中也明確指出：數(shù)學學科的命題，要“努力實現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學素養(yǎng)的要求”.

因此，在對高考命題趨勢進行分析時，不能忽視對核心素養(yǎng)的考查.關(guān)注了核心素養(yǎng)考查的變化趨勢，也就是關(guān)注了高考的命題趨勢.近幾年高考的命題趨勢表現(xiàn)在對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查越來越多、越來越明顯，如對概率統(tǒng)計的綜合考查，每年一道解答題，2016年以前的高考概率統(tǒng)計問題的題干較簡潔、條件較直白，主要考查學生對知識的掌握程度；而從2016年開始，概率統(tǒng)計高考題則更注重情景設置，更貼近生活，使學生在解題的過程中認識到概率統(tǒng)計知識在生產(chǎn)、生活中所起的作用.這個過程充分體現(xiàn)了數(shù)學學科核心素養(yǎng)在考題中的滲透，如2018年高考全國卷Ⅰ的理科試卷將概率統(tǒng)計試題移至第20題的位置，增加了學生的閱讀量.

在復習備考時，關(guān)注試題對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，也能為復習備考提供一定的思路.概率統(tǒng)計模塊在2018年高考全國卷中對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查如表1：

表1

全國卷Ⅲ 18直觀想象，數(shù)學運算，數(shù)據(jù)分析題目提供莖葉圖和列聯(lián)表，以此為背景，首先通過對莖葉圖中的數(shù)據(jù)進行分析，對兩種不同生產(chǎn)方式的效率作出比較、判斷，進而依據(jù)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并利用獨立性檢驗對兩種生產(chǎn)方式的效率是否有差異作出判斷，這個過程充分體現(xiàn)了學生的直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，需要很強的數(shù)據(jù)處理能力.

由表1可以看出，雖然數(shù)學學科核心素養(yǎng)在考題中的考查得到強化，但不同知識點的核心素養(yǎng)還是有規(guī)律可循的，如對離散型隨機變量的分布列、獨立性檢驗等的考查，往往考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；對線性回歸方程的考查，主要考查數(shù)學建模素養(yǎng)，只有建立正確的模型，問題才能迎刃而解；而對數(shù)學運算的考查，則滲透在整個問題解決的過程中.

例1（2018年高考全國卷Ⅰ理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為（fp），求（fp）的最大值點p0.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

解析：（1）由獨立重復事件的概率計算得20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率（考查數(shù)學建模）

令f′（p）=0，得p=0.1.當p∈（0，0.1）時，f′（p）＞0，f（p）單調(diào)遞增；當p∈（0.1，1）時，f′（p）＜0，f（p）單調(diào)遞減.所以f（p）的最大值點為p0=0.1.（考查數(shù)學運算）（2）由第（1）問可知p=0.1.

（i）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)，根據(jù)題目條件可知Y～B（180，0.1）.（考查數(shù)學建模）

X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.（考查數(shù)學運算）（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為200×2=400（元）.

由于EX＞400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.（考查數(shù)據(jù)分析）

評注：本題是概率統(tǒng)計知識的實際應用問題，數(shù)學味道正，生活氣息濃，將知識、能力、思想、方法融為一體，突破的關(guān)鍵在于讀懂題意，運用所學的數(shù)學知識，合理地選擇有效的運算策略.本題將獨立重復試驗的概率與函數(shù)、導數(shù)知識有效結(jié)合，主要考查了概率統(tǒng)計中的重要概率分布模型：二項分布.綜合考查了數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng).問題解答中要求考生對基本模型、基本原理和基本思想有較深入的理解.

例2（2018年全國卷Ⅲ理第18題）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第1組工人用第一種生產(chǎn)方式，第2組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了莖葉圖（如圖1所示）：

圖1

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

表2

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

表3

解析：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.可通過如下方式進行判斷：

①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，而用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間關(guān)于莖7大致呈對稱分布，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

（考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)）

列聯(lián)表如下：

表4

評注：本題以莖葉圖為載體，對兩種不同生產(chǎn)方式的工作效率進行比較、分析、判斷，這一過程考查考生邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，通過利用獨立性檢驗判斷兩種生產(chǎn)方式的效率差異程度，考查考生數(shù)學運算這一核心素養(yǎng)，培養(yǎng)考生的數(shù)學應用意識，提升考生的數(shù)據(jù)處理能力.

促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是數(shù)學教學和高考深化改革的要求.它不應成為我們追求“時尚”的代名詞，也不應是一句空洞的口號，而應該扎扎實實地落實在數(shù)學教學中.因此我們要充分利用“概率、統(tǒng)計”這樣一個良好的載體，在通過分析高考真題命題規(guī)律和趨勢的同時，特別關(guān)注數(shù)學學科核心素養(yǎng)在真題中的滲透，以此來促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.W