一題四大招 妙解離心率

☉江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) 張 麗

著名科學(xué)家錢學(xué)森先生說過：“模型就是通過對(duì)問題現(xiàn)象的分解，利用我們思考得來的原理去吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創(chuàng)造出來的一幅圖畫.”圓錐曲線中的離心率問題一直是考試的熱點(diǎn)問題，也是歷年高考、自主招生、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中比較常見的一類問題.通過不同方式的設(shè)置，求解相應(yīng)離心率的值、最值、取值范圍等，充分考查了圓錐曲線中橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì).下面結(jié)合一道設(shè)置背景新穎的橢圓問題，通過多角度思維的切入解決橢圓的離心率問題，且知識(shí)板塊融合巧妙，方法多樣，是創(chuàng)新與素養(yǎng)培養(yǎng)的好場(chǎng)所.

例 （2019屆江蘇省某市高三上學(xué)期期中考試·13）橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)A（a，0），B（0，b），過A，B分別作AB的垂線交橢圓T于D，C（不同于頂點(diǎn)），若BC=3AD，則橢圓T的離心率是______.

本題以橢圓為問題背景，綜合平面幾何、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)，以求解橢圓的離心率為目的來設(shè)置題目.問題的創(chuàng)新亮點(diǎn)在于過不確定的兩頂點(diǎn)A（a，0），B（0，b）分別作AB的垂線交橢圓T于D，C（不同于頂點(diǎn)），結(jié)合兩線段關(guān)系BC=3AD的明確性來切入，為轉(zhuǎn)化與求解提供條件.同時(shí)，本題的求解較為繁雜，計(jì)算量也大，很好地考查了數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力等，從而提升素養(yǎng)，拓展品質(zhì).

當(dāng)我們閱讀并理解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，從多角度切入并進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點(diǎn)有不同的解法，多點(diǎn)思維，多向開花.

由題目條件確定直線AB的斜率，結(jié)合AB⊥AD得到直線AD的方程，利用直線AD與橢圓T的方程的聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系的轉(zhuǎn)化確定點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，同理可以確定點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再通過題目條件利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立關(guān)系式得到a2=3b2，最后結(jié)合橢圓的離心率公式加以轉(zhuǎn)化與求解即可.

由題目條件確定直線AB的斜率，結(jié)合AB⊥AD得到直線AD的方程，利用直線AD與橢圓T的方程的聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得AD長(zhǎng)度的表達(dá)式，同理可以求得BC長(zhǎng)度的表達(dá)式，再通過題目條件BC=3AD加以轉(zhuǎn)化，可以化簡(jiǎn)得到a2=3b2，最后結(jié)合橢圓的離心率公式加以轉(zhuǎn)化與求解即可.

設(shè)出點(diǎn)D（x1，y1），C（x2，y2），結(jié)合條件的轉(zhuǎn)化得到，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定x2，y2的表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)D，C都在橢圓T上，聯(lián)立方程，并通過化簡(jiǎn)得到3bx1-ay1-3ab=0，再結(jié)合條件求解直線AD的方程，利用點(diǎn)D在直線AD上，確定相應(yīng)的直線斜率相等，化簡(jiǎn)得到a2=3b2，最后結(jié)合橢圓的離心率公式加以轉(zhuǎn)化與求解即可.

解法3：設(shè)點(diǎn)D（x1，y1），C（x2，y2）.

由于AB⊥BC，AB⊥AD，則有BC∥AD.

設(shè)出點(diǎn)D（x0，y0），進(jìn)而確定的坐標(biāo)，根據(jù)題目條件的轉(zhuǎn)化得到從而得以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用AB⊥AD，由建立相應(yīng)的關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)D，C都在橢圓T上，聯(lián)立方程，并通過化簡(jiǎn)得到3bx0-ay0-3ab=0，通過兩方程的對(duì)比確定相應(yīng)的關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到a2=3b2，最后結(jié)合橢圓的離心率公式加以轉(zhuǎn)化與求解即可.

其實(shí)，圓錐曲線的離心率作為一個(gè)重要的概念，是描述圓錐曲線形狀特征的一個(gè)主要要素，特別是圓錐曲線中離心率的求解與應(yīng)用，內(nèi)涵豐富且綜合性強(qiáng).解決此類問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住題目條件與關(guān)鍵點(diǎn)，掌握一些比較常見的解題思維與相應(yīng)方法是求解圓錐曲線離心率的主要策略之一.W