解題，從認(rèn)真審題開始
2019-03-28 01:03:28江蘇省新沂市高級中學(xué)晁普旗
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年5期
☉江蘇省新沂市高級中學(xué) 晁普旗
審題是解題的“前奏”，也是解題的“終曲”，只有認(rèn)真審題，正確理解題意，才能正確解題，真可謂“磨刀不誤砍柴工”.因此作為教師，應(yīng)該教會學(xué)生如何審題.下文舉例說明，供大家參考.
一、咬文嚼字細(xì)品味
“仔細(xì)”是審題的重要策略.數(shù)學(xué)語言的表述往往是十分準(zhǔn)確并具有特定意義的，因此審題時，就應(yīng)該認(rèn)真仔細(xì)地看清每一個字母、符號及每一句話，看清圖形中線段、角之間的確切聯(lián)系，要咬文嚼字地弄清楚條件、結(jié)論和全部題意，以便正確解題.在數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些容易被忽視的或容易被理解錯的字、詞，而不少學(xué)生就是因為審題太快，粗心大意而導(dǎo)致失誤.
例1若函數(shù)y=log（ax2+mx-m）（a＞0且a≠1）的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍為______.
評析：有些學(xué)生是這樣解的：從真數(shù)必須為正數(shù)的條件，得u=x2+mx-m＞0.
由Δ=m2+4m＜0，得-4＜m＜0，所以m∈（-4，0）.
這種解法對嗎？對數(shù)函數(shù)y=logau，當(dāng)u∈R+時，y∈R，然而在本題中，真數(shù)u=x2+mx-m恒為正值，能否使得y取遍一切實數(shù)呢？不見得，因為u=x2+mx-m=，表明u為正值，但并非表明u取一切正實數(shù)，所以函數(shù)y的值域不可能為R.可見，審題不清，容易導(dǎo)致解法有誤.
這道題，我們有如下兩種思路：
思路1：利用函數(shù)y的值域為R的充要條件是u=x2+mx-m的最小值不大于0，即≤0，解得m∈（-∞，-4］∪［0，+∞）.
思路2：利用方程觀點，對于任意實數(shù)y，關(guān)于x的方程x2+mx-m=ay恒有解的條件：Δ=m2+4（m+a）y≥0恒成立.即m2+4m≥0（因為4·ay≥0恒成立），所以m≤-4或m≥0.
點評：學(xué)生解答本題之所以出現(xiàn)失誤，就是因為沒有抓住“值域為R”這個關(guān)鍵詞.
二、抓住關(guān)鍵不放松
一道數(shù)學(xué)試題，往往存在關(guān)鍵性的詞或字，若沒有抓住這些關(guān)鍵性的詞或字，就抓不住事物的本質(zhì)，找不到解題的突破口.因此，審題時，要特別注意抓住“關(guān)鍵詞”展開思維.
例2 菱形ABCD的邊AB所在直線的方程為x-y+4=0，A（-2，2），C（4，4），求菱形另一邊BC的直線方程.
評析：本題的關(guān)鍵是求出B點坐標(biāo)，而如何求出B點的坐標(biāo)呢？我們可以展開思維，考慮AC的中點E（1，3），利用與垂直可迅速求出B點的坐標(biāo).設(shè)點B（x0，x0+4）.易知AC的中點E（1，3），得6-6x-2x-2=0，即x=000則易求直線BC的方程為x+7y-32=0.
點評：本題的常規(guī)處理方法是利用直線BD與AC垂直，用點斜式表示出直線BD，再與直線AB的方程聯(lián)立求出點B的坐標(biāo)，這未嘗不可.但抓住問題的本質(zhì)利用向量處理，“技高一籌”.
三、善于轉(zhuǎn)換找門路
審題時，我們的思維不應(yīng)只停留在原問題上，而應(yīng)積極地將問題轉(zhuǎn)換成為另一個我們比較熟悉、比較容易理解與解決的問題來考慮.
例3 對于（0，3）上的一切實數(shù)x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
評析：一般的思路是求出x的表達(dá)式，并利用條件求出m的取值范圍.但求x的表達(dá)式時，兩邊必須除以有關(guān)m的式子，涉及對m的討論，顯得比較麻煩.若設(shè)（fx）=（x-2）m-（2x-1）=（m-2）x+（1-2m），把它看成關(guān)于x的直線，由題意知直線恒在x軸的下方.所以有解得≤m≤5.
點評：將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，解法簡潔明快！通過審題可以快速找到解題方法.這也是解數(shù)學(xué)題必備的一種審題能力.
四、挖掘“隱含”覓“捷徑”
有的數(shù)學(xué)題的條件比較明顯，通常容易被利用，而有的數(shù)學(xué)題的條件并非顯而易見，或寓于某概念中，或存在于某性質(zhì)中，或隱含于某圖形中，因此在審題時，要注意挖掘這些隱含條件.發(fā)現(xiàn)了隱含條件，也就找到了解決問題的“捷徑”.
評析：這是一個應(yīng)用基本不等式求最小值問題，但給出的式子不能直接應(yīng)用基本不等式，思路受阻.于是應(yīng)該注意挖掘題中的隱含條件.經(jīng)過仔細(xì)觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，題中的兩個分母之和正好為1，即（2-a）+（a-1）=1，這便是我們求解本題的“突破口”，于是就有了以下快捷的解法：
點評：隱含條件往往是題目的“題眼”，也是解題的“切入口”.
五、鎖定目標(biāo)探“緣由”
一個有經(jīng)驗的解題者，總是先從目標(biāo)分析思考，以獲取有用信息、指導(dǎo)解題.因為抓住了目標(biāo)，思維變得具體，推理也就有了目的性和針對性，所以重視目標(biāo)，從目標(biāo)出發(fā)，也是審題時應(yīng)重視的一個策略.
圖1
六、審視答案?！捌桨病?/h2>
數(shù)學(xué)題解答完以后，并非意味著大功告成，我們還須審題，還得看答案是否需要驗證，看答案是否合情合理.否則，很有可能答案“對而不全”或保留“增根”.
例6 求過點P（2，-1）且與點A（-3，-1）和點B（7，-3）距離相等的直線方程.
評析：先看下面解法：
把點P（2，-1）看作直線x=2與y=-1的交點，所以設(shè)所求直線方程為y+1+λ（x-2）=0，整理得λx+y-2λ+1=0，又點A（-3，-1）和點B（7，-3）到此直線的距離相等，所以由點到直線的距離公式得，所以要求的直線方程為x+5y+3=0.
上述解法似乎有理有據(jù)，順理成章，但答案只有一解，不符合實際情況，上述解法顯然出現(xiàn)“漏解”，這時我們應(yīng)該對答案進(jìn)行“修正”，此題中用兩條已知直線交點的直線系方程解題時就遇到了λ不存在的情況，因此我們需要對直線x=2進(jìn)行畫圖檢驗，以判斷是否符合要求.所以本題的最終結(jié)果是所求直線方程為x+5y+3=0或x=2.
點評：審答案往往被學(xué)生忽視，于是經(jīng)常會出現(xiàn)答案對而不全的錯誤.這是教師培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的好素材.
總之，審題應(yīng)貫穿解題的全過程，它需要學(xué)生有冷靜、嚴(yán)肅、認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.只有通過認(rèn)真、仔細(xì)審題，正確、全面理解題意，才能準(zhǔn)確解題，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.因此，審題教學(xué)是數(shù)學(xué)解題教學(xué)不可或缺的重要組成部分.W
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