偏對(duì)稱正態(tài)分布的若干性質(zhì)

□陳超 田芫 宗序平

統(tǒng)計(jì)分布的性質(zhì)是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外有許多學(xué)者研究過(guò)偏正態(tài)分布，并應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)實(shí)踐。在此基礎(chǔ)上，定義了偏對(duì)稱正態(tài)分布，并研究了其性質(zhì)。此類分布包括偏均勻正態(tài)分布，偏t 正態(tài)分布，偏拉普拉斯正態(tài)分布，偏Logistics 正態(tài)分布和偏三角正態(tài)分布等，并探討了它們的一些性質(zhì)。

引言

國(guó)內(nèi)外有許多學(xué)者研究了偏正態(tài)分布，如Azzalini[1](1985）定義了偏正態(tài)分布的概念；Henze[2](1986)研究了偏正態(tài)分布的一些性質(zhì)；Xie[3](2010)等研究了偏正態(tài)非線性回歸模型方差參數(shù)的齊性檢驗(yàn)。這類分布已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，為工程領(lǐng)域中一些分布不對(duì)稱的數(shù)據(jù)，提供了更加合理的擬合模型。除此之外，它們還有助于研究模型的魯棒性，以及作為貝葉斯分布的先驗(yàn)分布。這種模型的構(gòu)建可參見(jiàn)Azzalini(1985）。對(duì)偏正態(tài)分布的擴(kuò)展也已經(jīng)有了很多研究，如Gupta[4](2002)等構(gòu)造了偏對(duì)稱模型；Ferreira[5](2010)等研究了偏尺度混合正態(tài)分布的一些性質(zhì)，以及Labra[6](2012)等研究了混合尺度偏正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)和模型診斷，都得到一些很好的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，定義了偏對(duì)稱正態(tài)分布，并舉出了一些例子，探討了它們的一些性質(zhì)。

定義1.1 設(shè)隨機(jī)變量Y 的概率密度函數(shù)為f (y)，f (y)為偶函數(shù)，Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 為偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位置參 數(shù)，σ 是 尺 度參數(shù)，則稱X 服從偏對(duì)稱正態(tài)分布。

（i）μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏對(duì)稱正態(tài)分布；

（ii） μ=0,σ=1,λ →+∞ 時(shí) ，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)趨向于 ||Y 的概率密度函數(shù)；

（iii）μ=0,σ=1,λ →-∞ 時(shí) ，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx) 趨 向 于-|Y|的概率密度函數(shù)；

（iv） μ=0,σ=1,λ=0 時(shí) ，g(x;λ)=f (x) 是Y 的 概 率 密 度函數(shù)。

性質(zhì)1.1 設(shè)X，Y 是上述定義中的隨機(jī)變量，則

（i）X 的偶階距和Y 的偶階距相同，且于λ 無(wú)關(guān)。

（ii）X2與Y2有 相 同 的 分 布函數(shù)。

證明： 令φX(t)是X 的特征函數(shù)，φY(t)是Y 的特征函數(shù)，則

令x=-x，則

因此，就得到了

設(shè)n 為任意的正整數(shù)，(2)式兩邊對(duì)t 求2n 階導(dǎo)數(shù)，有

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，上式與λ 無(wú)關(guān)所以，第（i）條結(jié)論得證。

由(3)式可知，X2與Y2的n 階距是相同的，所以X2與Y2有相同的分布函數(shù)，即性質(zhì)（ii）成立。

本文將討論f 取不同的對(duì)稱概率分布函數(shù)的情況。首先取f 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，得到了偏正態(tài)分布的密度函數(shù)，并總結(jié)了偏正態(tài)分布的若干性質(zhì)，然后分別取f 為均勻分布，t 分布，Laplace 分布，Logistics 分布，推導(dǎo)出了偏均勻正態(tài)分布，偏t 正態(tài)分布，偏Laplace 正態(tài)分布，偏Logistics 正態(tài)分布，并研究了它們的一些性質(zhì)，最后列舉了若干類似的分布，有待進(jìn)一步的討論。

若干偏對(duì)稱正態(tài)分布

(1) 偏正態(tài)分布

定義2.1 設(shè)φ(x)和Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位 置參數(shù)，σ 是尺 度參數(shù)，則稱X 服從偏正態(tài)分布。特別的 ， μ=0,σ=1 時(shí) ， g(x;λ)=2φ(x)Φ(λx)，則稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏正態(tài)對(duì)稱分布。圖1 給出了λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏正態(tài)對(duì)稱分布的概率密度函數(shù)圖像。

性質(zhì)2.1 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏正態(tài)對(duì)稱分布，則X2服從自由度為1 的卡方分布。

性質(zhì)2.2 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏正態(tài)分布，M(t)是X 的距母函數(shù)[4]，則

由上述性質(zhì)，可以求出

進(jìn)一步，可以求出

其中，γ1和γ2分別是X 的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。

圖1 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏正態(tài)對(duì)稱分布的概率密度函數(shù)圖

（2）偏均勻正態(tài)分布

定義2.2 設(shè)均勻分布的密度函數(shù)

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是 位置參數(shù)，σ 是 尺度參數(shù)，則稱X 服從偏均勻正態(tài)分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=Φ(λx)I(-1≤x ≤1)，則稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏均勻正態(tài)分布。圖2 給出了λ取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏均勻正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像。

性質(zhì)2.3 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏均勻正態(tài)分布，M(t)是X 的距母函數(shù)，則

圖2 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏均勻正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖

證明：

由上述性質(zhì)，可以求出

（3）偏t 正態(tài)分布

定義2.3 設(shè)t 分布的密度函數(shù)

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，n 是自由度，μ 是位置參數(shù)，σ 是尺度參數(shù)，則稱X 服從偏t 正態(tài)分 布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ,n)=2f (x;n)Φ(λx)，則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)偏t 正態(tài)分布。圖3 給出了n=1 時(shí)，λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏t正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像。

性質(zhì)2.4 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏t 正態(tài)分布，M(t)是X 的距母函數(shù)，則

由(11)式可以求出

（4）偏Laplace 正態(tài)分布

定義2.4 設(shè)Laplace 分布的密度函數(shù)

圖3 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏t 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是 位置參數(shù)，σ 是尺度 參數(shù)，則稱X 服從偏Laplace 正態(tài)分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g ( x;λ)=e-|x|Φ(λx)時(shí)，稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏Laplace 正態(tài)分布。圖4 給出了λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏Laplace 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像。

性質(zhì)2.5 若隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏Laplace 正態(tài)分布，且偏度系數(shù)λ ＞0，M(t)是X 的距母函數(shù)，則當(dāng)-1＜t ＜1 時(shí)，

圖4 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏Laplace正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖

由上述性質(zhì)，可以求出

（5）偏Logistic 正態(tài)分布

定義2.5 設(shè)Logistic 分布的密度函數(shù)

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位置參數(shù)，σ 是尺度 參數(shù)，則稱X 服從偏Logistic 正態(tài)分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏Logistic 正態(tài)分布。圖5 給出了λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏Logistic正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像。

性質(zhì)2.6 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏Logistic 正態(tài)分布，X2概率密度函數(shù)為fX2(t) 則

由(19)式可以求出

圖5 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏Logistic正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖

（6）偏三角正態(tài)分布

定義2.6 設(shè)三角(Triangular)分布的密度函數(shù)

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位置參 數(shù)，σ 是 尺 度參數(shù)，則稱X 服從偏三角正態(tài)分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏三角正態(tài)分布。圖6 給出了λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏三角正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像。

圖6 λ 取不同值的標(biāo)準(zhǔn)偏三角正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖

性質(zhì)2.7 如果隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏三角正態(tài)分布，E(X) 和Var(X)是X 的數(shù)學(xué)期望和方差，則

其他相關(guān)分布

Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位置參 數(shù)，σ 是 尺 度參數(shù)，則稱X 服從偏Cauchy 正態(tài)分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標(biāo)準(zhǔn)偏Cauchy 正態(tài)分布。

定義3.2 設(shè)Slash分布的密度函數(shù)

φ(x)和Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為

其中λ 是偏度系數(shù)(可取任意實(shí)數(shù))，μ 是位置參 數(shù)，σ 是 尺 度參數(shù)，則稱X 服從偏Slash 正態(tài)分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時(shí)，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則 稱X 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 偏Slash 正態(tài)分布。

本文在偏正態(tài)分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行了擴(kuò)展，研究了一類帶有偏度系數(shù)的概率密度函數(shù)，定義了偏對(duì)稱正態(tài)分布，并舉出了一些例子，為分布不對(duì)稱的數(shù)據(jù)提供了一種新型的擬合模型。這對(duì)于回歸分析方面的應(yīng)用是有意義的。進(jìn)一步，可以通過(guò)EM，ECM[7]，ECME[8]等算法研究偏對(duì)稱正態(tài)分布模型參數(shù)估計(jì)方面的問(wèn)題，也可以通過(guò)Score 檢驗(yàn)、Ward 檢驗(yàn)對(duì)模型參數(shù)的齊性進(jìn)行診斷，也可以對(duì)模型參數(shù)的顯著性進(jìn)行研究，這方面的工作會(huì)在以后的研究中繼續(xù)進(jìn)行。