求雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率的新方法

吳 曉

（湖南文理學院?機械工程學院，湖南?常德?415000）

連續(xù)梁在土木、機械等實際工程中得到了廣泛的運用。文獻[1]利用臨界載荷特征方程研究了任意線彈性支承的雙跨壓桿穩(wěn)定性，文獻[2]利用梁函數(shù)及能量法求得了兩等跨剛度不同連續(xù)梁的固有頻率，文獻[3]采用文獻[2]的計算方法求得了不等跨兩跨連續(xù)彈性支座梁的固有振動頻率，文獻[4]采用固有頻率特征方程研究了失諧連續(xù)雙跨梁結構的振動特性。采用以上方法計算雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率的工作量都比較大，但是，采用文獻[5，6]的計算方法研究雙跨連續(xù)梁的彈性穩(wěn)定及固有振動，可以克服文獻[1-4]計算方法的不足。

1??臨界載荷計算公式

圖1 雙跨連續(xù)梁

對于圖1所示雙跨連續(xù)梁，假設其在外載荷作用下的撓度函數(shù)可用組合三角函數(shù)表示為：

式（1）中：a1，a2，a3為待定常數(shù)。

參閱文獻[7，8]可知，圖1所示雙跨連續(xù)梁的屈曲勢能表達式為：

式（2）中：E為彈性模量；I為慣性矩；P為軸向壓力。

由于中間支撐位移為：

式（3）中：

利用式（2）、式（3）可構造拉格朗日函數(shù)：

式（4）中：η為拉格朗日系數(shù)。

3.項目設計的數(shù)量要合理且可以量化評分。高職院校的思想政治理論課主要開設思想道德修養(yǎng)與法律基礎、毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論兩門課程，兩門課程的實踐教學時數(shù)一般為16節(jié)。如果每一章都設計一個實踐教學項目明顯是不合理的，也是不現(xiàn)實的，因此每門課程的實踐教學項目的數(shù)量應與教學時數(shù)相吻合，每門課程四到五個項目即可。實踐教學項目的開展雖然尊重學生的主觀能動性和自主創(chuàng)新能力，且在項目實現(xiàn)過程中注重分工與合作，但活動開展的效果最終還是要納入課程的考核體系計算總評成績的。因此項目的設計要科學合理，對學生在項目實施過程中的表現(xiàn)有比較客觀的評價指標體系，能夠量化評分。

把式（1）代入式（4）中可得：

2??固有頻率計算公式

圖1 所示雙跨連續(xù)梁固有振動時，可設其動位移為：

式（9）中：ω為固有頻率，θ為相位，t為時間。

參閱文獻[7，8]可知圖1所示雙跨連續(xù)梁固有振動勢能為：

式（10）中：m為梁單位質(zhì)量。

利用式（3）、式（10）可構造拉格朗日函數(shù)為：

把振型函數(shù)Y（x）代入式（11）中可得：

式（12）中：

利用式（12）可得：

利用式（3）、（13）可得：

式（14）中：

利用式（14）可得：

由式（15）可知圖1所示雙跨連續(xù)梁的一階固有頻率、二階固有頻率計算公式分別為：

3??計算分析

為了分析本文的計算精度，把式（8）的計算結果與文獻[7]的計算結果列在表1中，把式（16）的計算結果列在表2中。

表1 臨界載荷 P

表2 固有頻率

由表1可知，μ=0.5時，本文式（8）的計算結果就是精確解，μ=0.4、0.3、0.2時，本文式（8）的計算結果與文獻[7]的精確解誤差非常小。即使μ=0.1時，本文式（8）的計算結果與文獻[7]的精確解誤差也僅為3.69%，沒有超過實際工程所允許的誤差5%。

由文獻[8]可知，最左端與最右端皆為簡支撐的連續(xù)梁固有振動頻率公式為：

式（17）中：i=1，2，…，n；n1=1，n2=1.25；N為連續(xù)梁中間支撐個數(shù)。

由式（17）可知圖1所示雙跨連續(xù)梁的一階固有頻率、二階固有頻率分別為：

從以上分析可知，本文方法研究圖1所示雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率，不但計算精度高且計算簡便，更易于工程設計人員實際工程中掌握應用。

4??結束語

為了研究圖1所示雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率，引入拉格朗日系數(shù)構造拉格朗日函數(shù)，把拉格朗日函數(shù)對撓度函數(shù)中待定系數(shù)求極值，即可求得雙跨連續(xù)梁的臨界載荷及固有頻率。此方法不但計算精度高且計算簡便，更易于工程設計人員實際工程中掌握應用。