射程的系統(tǒng)誤差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾分析

梁秉中

(中國(guó)兵器工業(yè)試驗(yàn)測(cè)試研究院,陜西 渭南 714200)

在應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行火炮射程檢驗(yàn)的實(shí)踐中,往往會(huì)因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果出乎意料而引發(fā)產(chǎn)品方與檢驗(yàn)方的爭(zhēng)議,甚至常常懷疑假設(shè)檢驗(yàn)方法的科學(xué)性。在樣本量較小時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果數(shù)值小,能通過檢驗(yàn);當(dāng)樣本量較大時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量數(shù)值大,不能通過檢驗(yàn)。

對(duì)數(shù)學(xué)期望的檢驗(yàn)方法,在已知母體均方差時(shí),有如下描述[1-2]:正態(tài)母體X,其均方差σ已知。根據(jù)子樣(Xi,i=1,…,n)檢驗(yàn)假設(shè)H0:ξ=ξ0,其中,ξ是總體X的數(shù)學(xué)期望,ξ0是已知常數(shù)。作統(tǒng)計(jì)量U:

(1)

在假設(shè)H0成立的情況下,統(tǒng)計(jì)量U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即U～N(0,1),也就是說U的數(shù)值通常處于-1.645～+1.645數(shù)值區(qū)間(主分布區(qū)的事件概率為0.90)。

1 子樣數(shù)據(jù)誤差

從母體X進(jìn)行抽樣,抽樣結(jié)果是以數(shù)值表述的,而數(shù)值總是以某種測(cè)量過程獲取的。以測(cè)量器具對(duì)樣本進(jìn)行測(cè)量并記錄,形成抽樣結(jié)果。

測(cè)量總是有誤差的。在射程試驗(yàn)中,測(cè)量誤差是客觀存在的,無法消除。誤差的來源有多種途徑,包括刻度分辨率、計(jì)量能力、測(cè)試條件偏差、操作人員業(yè)務(wù)素養(yǎng)等環(huán)節(jié),都會(huì)引起相應(yīng)的誤差。

在測(cè)量中,一方面存在系統(tǒng)誤差Δ,另一方面還存在隨機(jī)誤差ε。

對(duì)抽樣得到的多個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量,獲得了抽樣結(jié)果Hi(i=1,…,n),其中不僅包含了各個(gè)樣本的真值Xi(i=1,…,n),還包含了測(cè)量的系統(tǒng)誤差Δ、各次測(cè)量的隨機(jī)誤差εi(i=1,…,n)。因此測(cè)量結(jié)果與真值之間存在如下關(guān)系:

Hi=Xi+Δ+εi,i=1,…,n。

2 誤差在統(tǒng)計(jì)量中的作用

抽樣結(jié)果是包含誤差的抽樣數(shù)據(jù)Hi,i=1,…,n。

在檢驗(yàn)計(jì)算過程中,實(shí)際上通常無法感知誤差的存在,也無法分辨系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。因此會(huì)直接對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行如式(1)的檢驗(yàn)計(jì)算。這樣,誤差會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果形成干擾。有些情況下,已知抽樣數(shù)據(jù)中包含有誤差,為了操作簡(jiǎn)便,仍以式(1)進(jìn)行檢驗(yàn)。

通常以測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,而測(cè)量數(shù)據(jù)中包含誤差。在沒有獲得真值的情況下,誤差是無法感知的,通常都習(xí)慣性地認(rèn)為測(cè)量值就是真值。因此,以測(cè)量值按式(1)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,這樣的做法從來都沒有受到過質(zhì)疑。

在包含系統(tǒng)誤差Δ和隨機(jī)誤差εi(i=1,…,n)的情況下,對(duì)Hi(i=1,…,n)以式(1)進(jìn)行計(jì)算,可以得到系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差對(duì)統(tǒng)計(jì)量的干擾規(guī)律。

延用統(tǒng)計(jì)量的思路,計(jì)算Hi(i=1,…,n)的統(tǒng)計(jì)量,分析其是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對(duì)抽樣測(cè)量結(jié)果求均值:

(2)

記以Hi(i=1,…,n)求得的統(tǒng)計(jì)量為K。統(tǒng)計(jì)量的演算過程如下。

系統(tǒng)誤差Δ在每一個(gè)抽樣數(shù)據(jù)中都發(fā)揮作用,因此可以提取到均值算式之外。隨機(jī)誤差εi(i=1,…,n)在各個(gè)抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)大小在變,有正值也有負(fù)值,在n值很大時(shí),隨機(jī)誤差幾乎可以相互抵消,即

(3)

在n值不是很大的情況下,εi(i=1,…,n)求得的平均值通常不能為0,是一個(gè)較小的值,接近于0。為了表現(xiàn)其在統(tǒng)計(jì)量中發(fā)揮的作用,將其記為εe,即隨機(jī)誤差的殘差。

(4)

3 誤差的干擾強(qiáng)度與樣本量的關(guān)系

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,以式(1)的方式進(jìn)行對(duì)總體抽樣的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算,并得到U～N(0,1)[3-4]。但是在實(shí)際的檢驗(yàn)操作中,抽樣的結(jié)果一定包含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差,則實(shí)際得到式(4)的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算。

3.1 系統(tǒng)誤差Δ的影響規(guī)律

在式(4)中,在假設(shè)H0成立的情況下有統(tǒng)計(jì)量U～N(0,1)。均方差σ已知,通過針對(duì)性的檢查可以獲得系統(tǒng)誤差Δ的實(shí)際值。記SΔ為系統(tǒng)誤差干擾檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度:

(5)

則系統(tǒng)誤差的干擾強(qiáng)度SΔ與樣本量n的平方根成正比。

在假設(shè)檢驗(yàn)的應(yīng)用中,需要特別關(guān)注系統(tǒng)誤差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度,并做相應(yīng)的計(jì)算分析。

3.2 隨機(jī)誤差的殘差εe的影響規(guī)律

在式(4)中,記Sε為隨機(jī)誤差的殘差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度:

(6)

當(dāng)樣本量n較小時(shí),殘差εe的數(shù)值可能比較可觀,其作用機(jī)理與系統(tǒng)誤差的作用機(jī)理相同,采用式(6)計(jì)算隨機(jī)誤差的殘差對(duì)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度。

隨著樣本量n的增加,殘差εe的絕對(duì)值趨向于0。一般來說,n>6即可認(rèn)為殘差εe趨向于0,這時(shí)式(4)中的εe項(xiàng)可以取消以便簡(jiǎn)化算式。

4 系統(tǒng)誤差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾規(guī)律示例

某型火炮在某狀態(tài)的射程是正態(tài)總體X,X～N(15.0,0.12)。通常射程抽樣試驗(yàn)結(jié)果有0.4%左右的系統(tǒng)誤差[5]。本型炮在此狀態(tài)的射程抽樣的系統(tǒng)誤差可以達(dá)到0.06 km。具體的一次射程試驗(yàn)情況下,不能得出本次試驗(yàn)射程的系統(tǒng)誤差值,但是根據(jù)射程試驗(yàn)的技術(shù)分析,本射程試驗(yàn)的系統(tǒng)誤差基本上不會(huì)超出0.06 km。

下面以多種樣本量的射程抽樣試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量計(jì)算,觀察統(tǒng)計(jì)量K的規(guī)律。

取抽樣試驗(yàn)系統(tǒng)誤差分別為20 km,40 km,60 km,樣本量分別為7,15,25,50,100,900,10 000,分別進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果見表1。本例中有ξ0=15.0 km,σ=0.1 km。

表1 系統(tǒng)誤差對(duì)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度計(jì)算表

根據(jù)表1,統(tǒng)計(jì)量U的值在-0.938～+0.585的范圍內(nèi),這樣的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)變量的正常分布區(qū)域,符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的規(guī)律。利用表1的數(shù)據(jù)繪制檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U結(jié)果分布圖,并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行對(duì)比,見圖1。

圖1 統(tǒng)計(jì)量U與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)比

表1中K為存在系統(tǒng)誤差時(shí)實(shí)際計(jì)算的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)存在20 m系統(tǒng)誤差時(shí),樣本量為7的統(tǒng)計(jì)量K=0.358,尚在N(0,1)的變量分布范圍內(nèi);當(dāng)樣本量為100時(shí),受干擾的統(tǒng)計(jì)量K=2.479,這已經(jīng)超出了N(0,1)的正常分布范圍;樣本量更大的情況下,受干擾的統(tǒng)計(jì)量都是在N(0,1)的正常分布范圍之外。將Δ=20 m,40 m時(shí)不同樣本量下求得的統(tǒng)計(jì)量K繪圖,并與標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)進(jìn)行對(duì)比,如圖2所示。

(a)Δ=20 m

(b)Δ=40 m圖2 統(tǒng)計(jì)量K與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)比

表1中對(duì)于存在60 m的系統(tǒng)誤差情況,當(dāng)樣本量為15時(shí),受干擾的統(tǒng)計(jì)量K的值已經(jīng)達(dá)到2.843,這已經(jīng)超出了N(0,1)的正常分布范圍;樣本量更大時(shí),計(jì)算的受干擾的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值都是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了N(0,1)的正常分布范圍。

因此,在利用假設(shè)檢驗(yàn)理論進(jìn)行產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),系統(tǒng)誤差對(duì)統(tǒng)計(jì)量有嚴(yán)重的干擾。

5 假設(shè)檢驗(yàn)理論在應(yīng)用中的困擾與分析

射程試驗(yàn)抽樣的誤差來源比較多,如射角誤差、初速誤差、彈形誤差、彈徑誤差、彈質(zhì)量誤差、測(cè)距誤差、空氣密度誤差、風(fēng)速誤差、空氣溫度誤差、測(cè)時(shí)誤差、彈道計(jì)算誤差等,這些誤差最終形成了彈道試驗(yàn)抽樣的系統(tǒng)誤差。射程抽樣試驗(yàn)形成的系統(tǒng)誤差幅值是比較可觀的,專業(yè)論著總結(jié)了歷史數(shù)據(jù)并進(jìn)行誤差分析,形成的結(jié)論是系統(tǒng)誤差到達(dá)射程的千分之四左右[5]。射程抽樣的系統(tǒng)誤差比較大,使用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)期望檢驗(yàn)正好揭示了系統(tǒng)誤差對(duì)統(tǒng)計(jì)量的干擾效果。較大的系統(tǒng)誤差形成了對(duì)射程檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)重干擾,促使研究者對(duì)檢驗(yàn)方法做深入研究,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差所產(chǎn)生的強(qiáng)烈干擾。

射程抽樣的系統(tǒng)誤差大,對(duì)射程檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量形成了很強(qiáng)的干擾,這在靶場(chǎng)試驗(yàn)中形成了彈道一致性檢驗(yàn)的老問題, 即認(rèn)為彈道一致性檢驗(yàn)的方法

不合理,實(shí)際上其根源在于射程抽樣的系統(tǒng)誤差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量形成了太強(qiáng)的干擾。

6 結(jié)論

在抽樣試驗(yàn)中,測(cè)量的數(shù)據(jù)都含有系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的干擾強(qiáng)度應(yīng)該在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)一并計(jì)算,并注意其對(duì)檢驗(yàn)結(jié)論的影響。在假設(shè)檢驗(yàn)理論的教學(xué)中,統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算也應(yīng)該引入系統(tǒng)誤差所產(chǎn)生的干擾的相關(guān)內(nèi)容。

在有些情況下,系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的干擾嚴(yán)重地影響了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果,使其超出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正常分布范圍。在這樣的情況下,應(yīng)該研究改進(jìn)假設(shè)檢驗(yàn)的判據(jù),使之能適當(dāng)消除系統(tǒng)誤差項(xiàng)的干擾。