巧用隱形圓解決線段的最值問題

◆張潔彬

(唐山市第十二中學)

求線段長的最值問題是近年來中考常見題型，解決此類問題，學生可以在教師的引導下抽象或提煉出相應的解題基本模型，從而達到提升學生的解題能力。筆者現(xiàn)對題目中蘊含隱形圓的基本模型做以下三點分析。

利用隱形圓求線段最值問題，要清楚解題的基本模型，利用“三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊?！钡男再|求線段的最大和最小值。如圖1，當點P為⊙O外一點時，點P到圓上各點的最大距離是直線PO上點P與遠交點B之間的線段PB的長，最小距離是直線PO上點P與近交點A之間的線段PA的長；當點P為⊙O內一點時，點P到圓上各點的最大距離也是直線PO上點P與遠交點B之間的線段PB的長，最小距離也是直線PO上點P與近交點A之間的線段PA的長。明確模型后，就可以將“兩點間線段的長”轉化為“定點到圓上各點的距離”，從而通過找到動點運動軌跡是圓(弧)，利用隱形圓與遠近交點的關系即“圓內(外)一點到圓上各點的連線中，點與過圓心的直線與圓近交點距離最短，遠交點距離最長”來求線段長的最大和最小值。

一、“一中同長”發(fā)現(xiàn)隱形圓求最值

例1.如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A’EF，則A’C的長的最小值是___.

變式：如圖5，在矩形紙片ABCD 中，AB=2，AD=3，點E是AB的中點，點F是AD、DC或BC邊上的一個動點，將四邊形ADFE或五邊形ADCFE沿EF所在直線翻折，得到四邊形A′EFD’或五邊形A′EFC’D’，則A’C的長的最大值是___.

二、利用旋轉軌跡發(fā)現(xiàn)隱形圓求最值

例2.如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求線段PM的最小值與最大值。

三、定弦對定角”發(fā)現(xiàn)隱形圓(弧)求最值

1.角為直角

例3.如圖10，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為多少？

2.角為非直角

例4.如圖12，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為___.

分析：

通過以上問題的探究，我們發(fā)現(xiàn)基礎知識是學生解決數(shù)學問題的最基本要素。在教學中，教師要善于引導學生發(fā)現(xiàn)動點題目中不變的量，不變的性質和不變關系。對于求解一條線段長的最值問題學生常常會發(fā)現(xiàn)點的運動軌跡是一個隱形的圓。教師要引導學生抓住圖形的這一幾何特征，依據(jù)“圓內(外)一點到圓上各點的連線中，點與過圓心的直線與圓近交點距離最短，遠交點距離最長”這一基本解題模型，通過以靜制動，多解歸一的方法來求得線段長的最大或最小值。