淺析極限思想及其應(yīng)用

趙瑩然

摘 要：本文首先總結(jié)了極限思想的形成與發(fā)展，然后闡述了極限的數(shù)學(xué)概念，并給出了求解極限的幾種常見方法，尤其是洛必達(dá)法則，最后論述了極限思想的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：極限思想;極限概念;極限計算方法;極限思想應(yīng)用

中圖分類號：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）03-0185-02

極限思想在整個數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位。極限思想就是通過極限概念分析和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程中，極限思想不斷被完善。隨著近代嚴(yán)格極限理論的確立，極限思想成為了微積分理論的基礎(chǔ)。隨后，在各個學(xué)科領(lǐng)域的分析中，也開始借助于極限來定義。極限思想使得有限和無限、連續(xù)與不連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化成為現(xiàn)實。

1 極限思想的形成與發(fā)展

極限思想的由來可以追溯到古代。例如戰(zhàn)國時期莊周所著的《莊子·天下篇》中記載了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”;魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在“割圓術(shù)”中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓和體而無所失矣”;古希臘數(shù)學(xué)家芝諾的“二分法”和阿基里斯悖論等[1]，這些都是早期極限思想的生動體現(xiàn)。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯提出了關(guān)于計算面積和體積的窮竭法，證明了“圓的面積與直徑的平方成正比”等結(jié)論。阿基米德通過嚴(yán)密的計算，解決了求幾何圖形長度、面積、體積等性質(zhì)的一系列問題，并提出了無窮小量的概念，這一概念成為了17世紀(jì)牛頓創(chuàng)建微積分的基礎(chǔ)。但貝克萊指出，牛頓在微分的推導(dǎo)過程中先是認(rèn)為無窮小量不是零，最后又讓它等于零，無窮小量是“已死的幽靈”，即著名的貝克萊悖論。這一悖論引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機。后來隨著嚴(yán)格極限理論的建立，尤其是魏爾斯特拉斯創(chuàng)立的ε-δ語言，用靜態(tài)的方法描述了動態(tài)的極限和連續(xù)的概念，才消除了無窮小量引起的混亂，從而使得第二次數(shù)學(xué)危機得以解決。自此之后，極限理論以充實和嚴(yán)密的自身體系成為微積分的理論基礎(chǔ)，使微積分?jǐn)[脫了幾何上的直觀和運動上的不確切描述，進(jìn)入了全新的發(fā)展時期。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，極限概念也在進(jìn)行著深層次的拓展，比如n維歐式空間中的函數(shù)極限、距離空間中的點列極限以及拓?fù)淇臻g中的半序點列極限等[2]。

2 極限的數(shù)學(xué)概念

2.1 數(shù)列極限

考慮數(shù)列，隨著n的增大，該數(shù)列的值與1的差值會越來越小。這樣，給定一個趨于0的正數(shù)ε，當(dāng)n大于某個值時，1+與1的差值總會小于ε。類似的，可以給出數(shù)列極限的定義：給定數(shù)列{an}，a為實常數(shù)，如果對于任意給定的ε>0，無論它多么小，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，滿足|an-a|<ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，并且a為數(shù)列{an}的極限，記作an=a或an→a（n→∞）。若不滿足上述條件，則數(shù)列{an}的極限不存在，即數(shù)列{an}不收斂，或稱數(shù)列{an}發(fā)散。

2.2 函數(shù)極限

對于函數(shù)極限，也有類似的定義。設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在實數(shù)A，對于任意給定的ε>0，無論它多么小，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，都有|f（x）-A|<ε成立，則稱A是函數(shù)f（x）在x→x0時的極限，記作f（x）=A或f（x）→A（x→x0）。若不存在這樣的A，則稱函數(shù)f（x）在點x0處的極限不存在[3]。

求數(shù)列和函數(shù)極限時，關(guān)鍵是找出與ε有關(guān)的N或δ。比如求函數(shù)極限時，一般可先限定x的變化范圍，然后從|f（x）-A|<ε入手，通過對|f（x）-A|進(jìn)行適當(dāng)放縮得出δ的值。

例1：證明（x2-5x+8）=2。

證：當(dāng)x≠2時，由0<|x-2|<1可得0<|x-3|<2。根據(jù)函數(shù)極限定義，要證上式成立，即滿足對任意的ε>0，有|（x2-5x+8）-2|=|（x-2）（x-3）|<2|x-2|<ε，解得|x-2|<。取δ=min{1，}，則當(dāng)0<|x-2|<δ時，可滿足|（x2-5x+8）-2|<ε，從而證得（x2-5x+8）=2。

2.3 與極限思想有關(guān)的一些概念

（1）函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)，即f（x）在x0處的極限值等于在該點處的函數(shù)值f（x0）。（2）函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)值改變量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）與自變量x的改變量Δx之比在Δx→0時的極限。（3）函數(shù)f（x）在[a，b]上的定積分，是[a，b]上的任意劃分P：a=x0<x1<x2<…<xn=b，ξi∈[xi-1，xi]，當(dāng)λ=（Δxi）→0時，和式Sn=f（ξi）Δxi的極限。（4）數(shù)值級數(shù)un的斂散性由部分和數(shù)列Sn是否存在極限來定義。

3 極限的幾種計算方法

3.1 函數(shù)極限運算法則

設(shè)：limf（x）=A，limg（x）=B，則：

（1）lim[f（x）±g（x）]=A±B;（2）lim[f（x）·g（x）]=A·B;（3）lim =（B≠0）。

對于數(shù)列極限，類似法則仍然成立。

3.2 夾逼準(zhǔn)則

直接求出極限在很多時候是比較困難的，此時可以考慮對原變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，從而得到兩個易于求極限且極限值相同的新變量，則原變量的極限等于新變量的極限。

例2：求的極限。

解：對任意正整數(shù)n，顯然有<≤=，易知→0，→0。

由夾逼準(zhǔn)則可得=0。

3.3 兩個重要的極限

利用以下兩個重要極限時，要注意函數(shù)具有或可化為該形式。

（1）=1。

例3：求。

解：=·）=· =1·1=1。

（2）=e或=e。

例 4：求的極限。

解：==e2。

3.4 洛必達(dá)法則

在計算分式極限時，通常會遇到分子分母都趨于零或無窮大的情況。實際上，就屬于該種形式?？梢钥紤]借助導(dǎo)數(shù)來計算這種類型的極限，即洛必達(dá)法則。若函數(shù)f（x）和g（x）滿足以下條件：

（1）f（x）和g（x）的極限都是0或都是無窮大;（2）f（x）和g（x）都可導(dǎo)，且g（x）的導(dǎo)數(shù)不為0;（3）lim存在（可以是有限數(shù)或∞）。

則極限lim也一定存在且等于lim，即lim=lim。

例5：求。

解：該極限形式是待定型，根據(jù)洛必達(dá)法則可得==。

在運用洛比達(dá)法則時，需要注意以下幾點：

（1）使用時要注意條件，首先觀察是否屬于或待定型。（2）要注意分子分母在限定區(qū)域內(nèi)是否可導(dǎo)，然后分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)。（3）對于0·∞、∞±∞、∞0、1∞、00等類型的極限都可以轉(zhuǎn)化成或型。就屬于1∞型，==== =e1=e。（4）若條件符合，可以連續(xù)使用洛必達(dá)法則直至求出極限。但有時即使符合條件，使用洛必達(dá)法則也不一定能求出極限，此時應(yīng)停止使用該法則，尋求其他解法[4]。

4 極限思想的應(yīng)用

極限思想本質(zhì)上是一種數(shù)量關(guān)系或空間形式，它反映了客觀事物在運動變化過程中由量變轉(zhuǎn)化為質(zhì)變的過程。極限理論是微積分的理論基礎(chǔ)，同時也是研究微積分的基本工具。它不僅在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中起到了很大的作用，還能廣泛應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)分支和自然科學(xué)中，比如微分幾何、計算數(shù)學(xué)以及物理學(xué)等領(lǐng)域。極限思想在概率論中也有著重要作用。概率的定義即為事件發(fā)生頻率的極限，但現(xiàn)實生活中實驗的次數(shù)是有限的，因此研究概率時往往要用到求極限的方法。概率論中的許多定理，比如大數(shù)定律與中心極限定理等，都是通過極限的語言來描述的。極限的思想方法體現(xiàn)了有限與無限、變量與常量、近似與精確、量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一。它作為人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并嘗試解決數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科問題的一種重要手段，在數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展過程中起到了巨大的作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭承民.極限思想的演變及其應(yīng)用[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011（4）：89-94.

[2] 吳振英，陳湛本.論極限的思想方法[J].廣州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003（5）：410-413.

[3] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[4] 藺守臣.求極限的方法[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，24（s1）：40-41.