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    淺析極坐標(biāo)系中極徑的幾何意義在解題中的應(yīng)用

    2019-03-23 09:04:42嚴(yán)建平
    考試周刊 2019年28期
    關(guān)鍵詞:解題

    摘 要:極坐標(biāo)系是構(gòu)建坐標(biāo)系的一種方法,然而很多學(xué)生由于對(duì)直角坐標(biāo)系比較熟悉,看到題目就馬上轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系下進(jìn)行解題,造成有些題目的運(yùn)算太過(guò)繁瑣。因此,教會(huì)學(xué)生恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系進(jìn)行解題,就變得非常重要。

    關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)系;極徑的幾何意義;解題

    在學(xué)習(xí)完直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的互化之后,有同學(xué)就問(wèn):既然極坐標(biāo)都可以化成直角坐標(biāo),那不就是所有的極坐標(biāo)問(wèn)題都得化成直角坐標(biāo)才能解決?我們看看下面的例子:

    (1)在極坐標(biāo)系中,已知A2,π6,B3,π6,則|AB|= 。

    (2)在極坐標(biāo)系中,已知A2,π6,B′3,-5π6,則|AB′|= 。

    結(jié)合極坐標(biāo)系畫(huà)圖,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用ρ的幾何意義,可以較快地算出線段AB的長(zhǎng)度,由此:過(guò)極點(diǎn)的直線上兩點(diǎn)A,B之間的距離可以優(yōu)先利用ρ的幾何意義解題。|AB|=|ρA-ρB|。

    下面,通過(guò)一個(gè)例題及兩個(gè)拓展的選取及解析談?wù)勗跇O坐標(biāo)系中利用極徑的幾何意義解題的優(yōu)越性。

    【例1】 在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=2sinθ,C2:ρ=23cosθ,曲線C3:θ=α(ρ∈R)。C3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B。

    (1)若α=π6,求|AB|的值;

    (2)若0≤α<π,求|AB|的最大值。

    解:(1)法一:極坐標(biāo)中曲線C1:ρ=2sinθ,C2:ρ=23cosθ,直線θ=π6與C1、C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)A、B的極徑分別為ρ1=2sinπ6=1,ρ2=23cosπ6=3,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=2。

    法二:在直角坐標(biāo)C1:ρ=2sinθx2+(y-1)2=1,C2:ρ=23cosθ(x-3)2+y2=3,直線C3:α=π6y=33x,聯(lián)立x2+(y-1)2=1y=33x43x2-233x=0,得A32,12,同理可求B332,32,所以|AB|=32-3322+12-322=2。

    (2)極坐標(biāo)系中,曲線C3:θ=α(ρ∈R),其中0≤α<π,∴A(2sinα,α),B(23cosα,α),所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα-π3。由于0≤α<π,所以-π3≤α-π3<2π3,∴當(dāng)α-π3=π2即α=5π6時(shí),|AB|max=4。

    解析:第(1)問(wèn),通過(guò)不同坐標(biāo)系下,兩種方法的對(duì)比,體現(xiàn)極坐標(biāo)系下解題的優(yōu)勢(shì),

    第(2)問(wèn)在極坐標(biāo)系下更容易解決問(wèn)題,進(jìn)而體現(xiàn)學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系的意義。

    解析幾何中涉及過(guò)原點(diǎn)的兩點(diǎn)的距離問(wèn)題,仍可以考慮利用極徑ρ的幾何意義解題。

    【拓展1:2018年龍巖市5月份質(zhì)檢·文科20】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,點(diǎn)P1,-32在橢圓上,不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且OA·OB=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)試判斷橢圓1|OA|2+1|OB|2是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    略解:(1)橢圓C:x24+y2=1

    (2)C:x24+y2=11ρ2=1+3sin2θ4,由已知得:OA⊥OB,不妨設(shè)A(ρA,θ),BρB,θ+π2,分別代入橢圓得:1ρ2A=1+3sin2θ4,1ρ2B=1+3sin2θ+π24=1+3cos2θ4;所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ2A+1ρ2B=1+1+3sin2θ+3cos2θ4=54為定值。

    【拓展2:2017年新課標(biāo)1·理科10】已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為( )

    A. 16B. 14C. 12D. 10

    略解:

    將拋物線C:y2=4x往左平移一個(gè)單位得:C′:y2=4(x+1)

    C′:y2=4(x+1)ρ=21-cosθ

    不妨設(shè)A(ρA,θ),DρD,θ+π2,B(ρB,θ+π),EρE,θ+3π2,分別代入拋物線C′得:ρA=21-cosθ,ρD=21-cosθ+π2=21+sinθ,ρB=21-cos(θ+π)=21+cosθ,ρE=21-cosθ+3π2=21-sinθ,所以:|AB|+|DE|=ρA+ρB+ρC+ρD=4sin2θ+4cos2θ=16sin22θ≥16,當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí),取到最小值。

    利用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意利用極坐標(biāo)方程中ρ的幾何意義解題時(shí),一定要數(shù)形結(jié)合,解決線段距離問(wèn)題要注意直線是否過(guò)極點(diǎn)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]黃青海.淺析極坐標(biāo)與參數(shù)方程的一般解題技巧[J].考試周刊,2015(60).

    作者簡(jiǎn)介:

    嚴(yán)建平,福建省龍巖市,龍巖市第二中學(xué)。

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