淺談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用整體思維解決問(wèn)題

摘 要：整體思維活躍在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，作為中學(xué)數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要分支，整體思維有著不可替代的地位。本文就整體思維在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一系列表現(xiàn)，如：整體代入、整體聯(lián)想、整體改造、局部整體、整體構(gòu)造、整體補(bǔ)形等。突出在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思維的重要性，并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單的探討。

關(guān)鍵詞：整體思維；中學(xué)數(shù)學(xué)；表現(xiàn)

在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)接觸到很多的數(shù)學(xué)思維，而整體思維就是其中的一種。通過(guò)整體思維的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題方法的奧妙，也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；在日常生活中，整體思維的學(xué)習(xí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)從整體，從全局著手處理問(wèn)題，不能只看到問(wèn)題的局部。因此，研究整體思維在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，顯得極其重要。

整體思維的定義

整體思維在辯證法中，又叫作系統(tǒng)思維，它認(rèn)為事物是由各個(gè)局部按照一定的秩序組織起來(lái)的整體，在解決問(wèn)題時(shí)人們應(yīng)該持有整體或者全面的觀點(diǎn)，不能以偏概全。

整體思維的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體聯(lián)想、整體構(gòu)造、整體構(gòu)形、整體替換等等。

一、 整體代入

整體代入是指：在解決問(wèn)題時(shí)，將題目中的已知條件或者一些式子的組合看作一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入其他式子，從而方便解題，避免運(yùn)算的繁瑣和困難。

例1：若3a2-a-1=0，則7+2a-6a2=

分析：仔細(xì)觀察兩個(gè)等式，若要從已知條件求出a的值，雖然可以，但會(huì)有點(diǎn)煩，而細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，如果把3a2-a看作一個(gè)整體，再乘-2，就可以得到-6a2+2a=-2，再整體代入所求式子就可以得出答案。如果在解題時(shí)能善于從全題考慮，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系運(yùn)用整體思維就能大大地節(jié)約時(shí)間。

二、 整體聯(lián)想

整體聯(lián)想是指，在解題時(shí)尋求不同知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系，從分析問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，充分挖掘題目中的隱藏條件，從而使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單。

例2：已知a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，2a2=5-2a，2b2=5-2b，求ba2+ab2。

分析：依據(jù)常規(guī)，學(xué)生習(xí)慣于先求出a，b，但如果這樣解一個(gè)方程組，我們就需要分成四種情況去討論，運(yùn)算會(huì)非常得繁瑣，而且容易出錯(cuò)。但如果我們能以整體的思維，整體聯(lián)想，從已知條件，我們可以發(fā)現(xiàn)a與b是方程2x2+2x-5=0的兩個(gè)不相等的根，由此我們可以整體聯(lián)想到韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，再看我們所要求的式子本身的特點(diǎn)，即ba2+ab2可以改寫(xiě)為：b3+a3（ab）2=（a+b）3-3ab（a+b）（ab）2，這樣我們就只需求出a+b與ab，從而所求問(wèn)題可以迎刃而解。

三、 整體構(gòu)造

整體構(gòu)造是指：在解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)題目中的某個(gè)式子進(jìn)行整體構(gòu)造或者改造得到另一個(gè)式子，然后通過(guò)構(gòu)造后的式子去解決問(wèn)題。

例3：已知：tanα-β2=12，tanβ-α2=-13。求tan（α+β）。

分析：已知條件給了我們關(guān)于α，β，α2，β2的關(guān)系式，可結(jié)論要我們求的卻是：（α+β），所以我們要從整體考慮，用構(gòu)造的方法來(lái)求解。把已知和未知相聯(lián)系，從而求解。

整體構(gòu)造在高中數(shù)學(xué)中可以說(shuō)是經(jīng)常用到，如果能很好的掌握這種方法，并且熟練運(yùn)用到實(shí)際練習(xí)中，可以大大拓寬學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力。

四、 整體構(gòu)形

整體構(gòu)形是指：在解決問(wèn)題時(shí)，我們從代數(shù)的角度無(wú)法求解，可以整體思考，通過(guò)構(gòu)造圖形，進(jìn)而解決所求問(wèn)題。

例4：已知在三棱錐P-ABC中，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，則三棱錐P-ABC的體積為多少？分析：若按常規(guī)方法利用體積公式求解，三棱錐的底面積可用公式求出，但頂點(diǎn)到底面的高在這道題目中無(wú)法作出，也就沒(méi)有辦法求出解。但此題如果能換個(gè)角度來(lái)思考，從整體入手，注意到條件中三棱錐的有三對(duì)邊兩兩相等，可以進(jìn)行整體補(bǔ)形，想象若把它放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中，那么這個(gè)問(wèn)題就不難解決。

五、 整體替換

整體替換是指：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以將題目中某個(gè)式子或者部分，用其他形式來(lái)表示，替換掉原來(lái)的式子，從而讓題目看起來(lái)簡(jiǎn)單明了。

例5：求：y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域。

分析：此題如果直接去看這個(gè)式子，因?yàn)闆](méi)有給出定義域，沒(méi)有范圍，會(huì)不知道怎么去求解。但如果我們能把原式中的式子看作一個(gè)整體，即：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），把后一個(gè)式子sinx·cosx也用t替換表示。那就可以求出所要求的解析式值域了。

解：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），則：sinx·cosx=t2-12。

∴y=1+t+t2-12=t22+t+12=12（t+1）2。又∵t∈（-2，2），∴ymin=0，ymax=32+2，∴y的值域?yàn)椋?，32+2。

這種方法在高一函數(shù)中運(yùn)用較多，運(yùn)用替代換原的方法可以把看上去比較繁瑣的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，從而可以整體思考解決問(wèn)題。

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生整體思維的培養(yǎng)，這樣不僅可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)題目，更能夠培養(yǎng)學(xué)生在生活中，樹(shù)立整體的思維，用全面的、辯證的眼光去看待和解決問(wèn)題。因此，加強(qiáng)整體思維的培養(yǎng)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是極其重要的。

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作者簡(jiǎn)介：

陸超群，江蘇省蘇州市，平望中學(xué)。