QK(p,q)空間到Bloch型空間上的Stevi-Sharma算子

朱克超，趙姣珍

貴州民族大學人文科技學院， 貴州 貴陽 550025

設D是復平面上的單位圓盤，H(D)表示D上的解析函數(shù)的全體.Bloch型Bα(α>0)定義為

見文獻[4].在?！琭‖Bα=|f(0)|+‖f‖α下,Bα是巴拿赫空間當α=1,Bα=B1=B是我們熟知的Bloch空間,滿足

設μ是區(qū)間[0,1)上的正連續(xù)函數(shù)，且具有如下的性質(zhì):存在正數(shù)s和t(0

則稱μ為正規(guī)函數(shù)[5].

Bμ空間[6～8]定義如下

在?！琭‖Bμ下，空間Bμ為巴拿赫空間[6].

Bμ的子空間記為Bμ，0，定義如下

我們稱之為小Bloch空間.當μ(r)=(1-r2)α,Bμ變成Bloch型空間Bα.

在本文中，我們假定K是[0,∞)上的右連續(xù) 非負不減函數(shù).對于0

成立時QK(p,q)=B(q+2)/p成立,并且有‖f‖B(q+2)/p≤C‖f‖QK(p,q)(文獻[9]的定理2.1).

本文中總是假定

否則QK(p,q)僅由常值函數(shù)構(gòu)成[9].

令ψ∈H(D)，φ是D上的解析自映射,H(D)上的復合算子，乘積算子和微分算子分別定義如下

(Cφf)(z)=(f°φ)(z)=f(φ(z))z∈D
(Mψf)(z)=ψ(z)f(z)z∈D
Df(z)=f′(z)z∈D

對于ψ1(z),ψ2(z)∈H(D)和D上的解析自映射φ,令

Tψ1,ψ2,φf(z)=ψ1(z)f(φ(z))+ψ2(z)f′(φ(z))

MψCφD=T0,ψ,φMψDCφ=T0,ψφ′,φCφMψD=T0,ψ°φ,φ
DMψCφ=Tψ′,ψφ,φCφDMψ=Tψ′°φ,ψφ,φDCφMψ=Tψ′°φφ′,(ψ°φ)φ′,φ

上述六種算子的研究見文獻[1].

受上述結(jié)果的鼓勵和啟發(fā)，本文旨在討論QK(p,q)空間到Bloch型空間的算子Tψ1,ψ2,φ，并分別給出Tψ1,ψ2,φ是有界算子和緊算子的充分必要條件.本文的結(jié)果是早期一些結(jié)果的推廣，比如文獻[2,3].

本文組織如下：第二節(jié)給出證明主要結(jié)論需要用到的一些引理. 第三節(jié)給出主要結(jié)論并證明之.

1 輔助結(jié)果

引理2[4]令α>0且f∈Bα.那么

引理3[4]令α>0和f∈Bα.那么有

2 主要結(jié)果的證明

這一節(jié)我們證明主要結(jié)果.

定理1 令ψ1(z),ψ2(z)∈H(D)且φ是D上的解析自映射.μ是正規(guī)函數(shù)p>0,q>-2,q+2≠p且K是[0,∞)上的非負不減函數(shù)使得下式成立

(1)

證明 假設(a),(b)，(c)成立.那么對于ψ1(z),ψ2(z)∈H(D)和f∈QK(p,q), 由‖f‖B(q+2/p)≤C‖f‖QK(p,q)及引理2和引理3,計算可知

μ(|z|)| (Tψ1,ψ2,φf)′|

f′(φ(z))|+μ(|z|)|ψ2(z)φ′(z)f″(φ(z))|

≤C(M1+M2+M3)‖f‖B(q+2)/p≤C(M1+M2+M3)‖f‖QK(p,q)

‖Tψ1,ψ2,φf‖Bμ≤C‖f‖QK(p,q)

(2)

(3)

(4)

由(2)式,(3)式和(4)式及函數(shù)φ(z)的有界性,可得

(5)

和

(6)

對w∈D,令

fw(z)=Hw,0(z)-2Hw,1(z)+Hw,2(z)

直接計算可得

對所有w∈D成立.即

≤‖Tψ1,ψ2,φfw‖βμ≤∞

(7)

因此我們有

即

(8)

(9)

由不等式(6)可得

(10)

不等式 (9) 和 (10)意味著

(11)

對w∈D,分別取測試函數(shù)

和

類似于(11)式的證明，可分別證明

和

成立.由此(a)、(b)、(c)成立，則定理1的證明完成.

(12)

和

記K={z∈D:|φ(z)|≤η} 直接計算可得

‖Tψ1,ψ2,φfn‖Bμ

(13)

對于n∈N,取測試函數(shù)

(14)

另一方面, 由 (7)式和 (14)式我們有

這就意味著

進而有

即

(15)

分別取測試函數(shù)

和

用類似于(15)式證明方法，我們可以證明

成立.我們略去詳細的證明過程. 定理2的證明完成.