基于Matlab的有理曲線擬合在數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

凌雪岷，潘娟娟，李 寧

（1.安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部，安徽合肥230031；2.淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽淮南232038）

如今網(wǎng)絡(luò)越來越發(fā)達(dá)，數(shù)據(jù)越來越豐富，不知不覺我們進(jìn)入了所謂的大數(shù)據(jù)時(shí)代，在大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)據(jù)的最大價(jià)值依然還是預(yù)測(cè)分析。在數(shù)學(xué)建模中，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型有灰色模型、Logistic模型等［1-2］。而對(duì)于數(shù)據(jù)的處理，多數(shù)采用的是多項(xiàng)式擬合的方法［3］。表1給出了某市2011-2015年城市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村中15～49歲育齡婦女生育率數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)建立生育率隨年齡、時(shí)間變化模型，借助Béizer基函數(shù)，再用有理曲線代替多項(xiàng)式曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，作出相應(yīng)的曲線圖。由點(diǎn)及面，建立全國育齡婦女生育率模型，用數(shù)據(jù)說明有理曲線較多項(xiàng)式曲線擬合度更為優(yōu)良。

1 模型建立

1.1 2011-2015年某市育齡婦女生育率隨年齡、時(shí)間變化模型

首先借助Matlab軟件［4］，用6次多項(xiàng)式擬合2011-2015年某市育齡婦女生育率隨年齡變化的數(shù)據(jù)，其中yi（i=1，2，3，4，5）表示2011-2015年某市育齡婦女隨年齡變化的生育率，結(jié)果如下：

2011年某市育齡婦女生育率隨年齡變化函數(shù)（見圖1）為

2012年某市育齡婦女生育率隨年齡變化函數(shù)（見圖2）為

表1 某市2011-2015年育齡婦女生育率數(shù)據(jù)

2013年某市育齡婦女生育率隨年齡變化函數(shù)（見圖3）為

2014年某市育齡婦女生育率隨年齡變化函數(shù)（見圖4）為

2015年某市育齡婦女生育率隨年齡變化函數(shù)（見圖5）為

借助于Béizer基函數(shù)構(gòu)造出2011-2015年某市育齡婦女生育率隨年齡和時(shí)間變化函數(shù)模型為

B0，B1，B2，B3，B4為變形后的 Béizer基函數(shù)。

利用Matlab軟件，結(jié)合以上函數(shù)畫出2011-2015年某市育齡婦女生育率隨年齡變化圖以及該市育齡婦女生育率隨年齡和時(shí)間的變化圖（見圖6）。

圖1 2011年生育率隨年齡變化圖

圖2 2012年生育率隨年齡變化圖

圖3 2013年生育率隨年齡變化圖

圖4 2014年生育率隨年齡變化圖

圖5 2015年生育率隨年齡變化圖

圖6 2011-2015年生育率隨年齡和時(shí)間的變化圖

說明：（1）圖6表示該市育齡婦女生育率隨年齡和時(shí)間總的變化曲線。

（2）由于2013年數(shù)據(jù)異常，所以出現(xiàn)圖6中間下陷情況。

1.2 2011-2015年全國育齡婦女生育率隨時(shí)間變化模型

利用表1給出的某市育齡婦女生育率數(shù)據(jù)，由點(diǎn)及面，可以預(yù)測(cè)全國育齡婦女生育率隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。

通過散點(diǎn)圖的走勢(shì)我們用有理曲線擬合，具體過程如下：

其中，xi是第 i年，是第i年育齡婦女生育率。

根據(jù)以上模型，計(jì)算出全國城市、城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村育齡婦女生育率隨時(shí)間變化函數(shù)。

城市育齡婦女生育率隨時(shí)間變化的函數(shù)為

其中，a11=1 058.929 108 684 027，b11=1 978.722 921 156 550。

城鎮(zhèn)育齡婦女生育率隨時(shí)間變化的函數(shù)為

其中，a22=1 519.870 748 344 614，b22=1 958.548 172 859 424。

鄉(xiāng)村育齡婦女生育率隨時(shí)間變化的函數(shù)為

其中，a33=1 058.929 108 684 027，b33=1 978.722 921 156 550。

由于全國城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女在各年全國育齡婦女比例不同，我們有必要確定權(quán)函數(shù)，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，用有理曲線擬和出城市、城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村育齡婦女在各年全國育齡婦女比例隨時(shí)間的變化曲線模型。

結(jié)合表1的數(shù)據(jù)和Matlab軟件，計(jì)算出以下結(jié)果：

全國城市育齡婦女占全國育齡婦女比例函數(shù)為

其中，a1=65.118 666 767 592 67，b1=1 914.885 798 109 688。

全國城鎮(zhèn)育齡婦女占全國總育齡比例函數(shù)為

其中，a2=64.632 630 658 907 94，b2=1 927.170 994 739 364。

全國鄉(xiāng)村育齡婦女占全國總育齡比例函數(shù)為

把城市、城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村育齡婦女生育率隨時(shí)間變化函數(shù)與權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)得到全國育齡婦女生育率隨時(shí)間變化模型，即：h=y1g1+y2g2+（1-y1-y2）g3。

利用以上函數(shù)，可以計(jì)算出城市、城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村的人口更替水平分別是2035年、2040年、2050年，全國的人口更替水平是2037年。

本文僅以生育率為例，說明有理曲線在數(shù)據(jù)擬合方面的實(shí)際應(yīng)用，考慮到2016年二胎政策放開，所以該模型并不適用于人口預(yù)測(cè)。

2 結(jié)語

通過上述例子發(fā)現(xiàn)，借助于Béizer基函數(shù)，構(gòu)造育齡婦女生育率隨年齡和時(shí)間變化的曲面圖，固定一個(gè)變量，可以看出另一個(gè)變量的變化情況。同時(shí)，可以總體直觀看出生育率與年齡和時(shí)間的關(guān)系。利用有理曲線代替多項(xiàng)式曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，提高了擬合的精度。有理曲線目前已經(jīng)越來越多地應(yīng)用到幾何造型、經(jīng)濟(jì)等方面，其作用也是深遠(yuǎn)的。