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    關(guān)于矩陣秩的一個注(1)

    2019-03-18 11:51:30盧占化王景梅
    卷宗 2019年5期

    盧占化 王景梅

    摘 要:一般線性代數(shù)教材中是利用矩陣非零子式最高階數(shù)定義矩陣的秩.利用行階梯型矩陣中首非零元個數(shù)定義矩陣的秩是一條新思路.在此基礎(chǔ)上討論矩陣秩的其他一些性質(zhì).順便得出如下結(jié)論:兩種定義是等價的.這對于深入理解矩陣的秩,以及討論其他性質(zhì)也有重要意義.

    關(guān)鍵詞:行最簡階梯型陣;矩陣的秩;等價標(biāo)準(zhǔn)型

    基金項(xiàng)目:河南省教育廳科學(xué)與技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(13A110543);商丘工學(xué)院數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目。

    關(guān)于矩陣秩的定義,大多數(shù)教材是按照最高階非零子式的階數(shù)來定義的.本文運(yùn)用行最簡階梯型中首非零元的個數(shù)來定義矩陣的秩.先通過線性方程組的解討論行最簡階梯型陣,思路簡捷,易于接受.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論矩陣秩的其他性質(zhì)也較方便。

    1 預(yù)備知識

    定義1 一個階梯型矩陣首非零元都是1,首非零元所在的列上其它元素全為零,稱之為行最簡階梯型陣。

    命題1 任一矩陣可以經(jīng)過初等行變換化為行最簡階梯陣,且它的行最簡階梯型是唯一的。

    如果H1的第一列元素全為零,則H2的第一列元素也全為零。不然的話H1不會與H2行等價。如果H1的第i列上元素全為零,H2的第i列上的元素也全為零。假如H1中a12=1,a13=1其他ai3全為零,此時中所有ai3也全為零。否則比如a23=1。對于H2用初等行變換可以將H2的(1,3)位上元變成零。但對于H1來講,(1,3)位上元變不成零。這便導(dǎo)致H1與H2行等價矛盾。這說明H1的第2行上首非零元與H2的第2行首非零元位置完全一致。他們所在的列上元素也對應(yīng)相同。并且第二行上首非零元一定在上一行首非零元的右邊。

    再分析第3行,…,依次類推。的首非零元與的相應(yīng)行上首非零元的位置完全一致(根據(jù)線性方程組的同解性)。并且作為首非零元1的個數(shù)也相等。再利用齊次線性方程組同解性可知對于所有的i,j知aij=bij。證畢。

    定義2 (標(biāo)準(zhǔn)型) .矩陣diag{1,1,1,0,0}稱之為標(biāo)準(zhǔn)型。

    命題2 任一個矩陣可經(jīng)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)型,且標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的。

    證明 根據(jù)矩陣行最簡階梯型的唯一性易知本結(jié)論成立。

    命題3 對于任一個矩陣A,存在可逆陣P及Q,使PAQ為標(biāo)準(zhǔn)型。

    2 矩陣秩的概念和性質(zhì)

    定義3 矩陣的行最簡階梯型中1的個數(shù)稱之為A的秩(也是它的標(biāo)準(zhǔn)型中1的個數(shù))

    性質(zhì)1 A與AT秩相等。其中AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣(利用命題2可證。)

    性質(zhì)2 初等行變換不改變矩陣的秩(利用行階梯形可知)。

    性質(zhì)3 R(A,B)大于或等于R(A)R(A)表示矩陣的秩。

    性質(zhì)4 設(shè)W=(A,B)T,則R(W)小于或等于R(A)+R(B)。(利用行最簡階梯型可以證明)。

    性質(zhì)5 (A+B)小于或等于R(A)+R(B)(利用分塊陣可證之)。

    性質(zhì)6 R(A+B)≤R(A),R(B)

    命題7 若矩陣A中有一個r階子式不為零,所有r+1階子式全為零,則R(A)=r,

    命題8 若R(A)=r,則A中一定存在r階子式不為零,所有r+1階子式全為零.

    證明 用反證法。假如A的所有r階子式全為零,運(yùn)用行列式的理論可知A的所有r+1階子式也全為零,…。。,所以A的秩小于r矛盾。因此A中一定存在r階子式不為零。

    第二部分證明也可以用反證法(略)。

    參考文獻(xiàn)

    [1].北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)[M]3版.北京:高等教育出版社2011

    [2].同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編線性代數(shù)[M](第六版)北京:高等教育出版社2014

    [3].王萼芳編線性代數(shù)[M]北京:清華大學(xué)出版社2000

    [4].盧占化盧俊杰高等代數(shù)(考研輔導(dǎo))[M]金盾出版社2013

    [5].盧占化曹林芬關(guān)于正定矩陣兩個定理河南科技學(xué)院學(xué)報2013.

    2 .57-59

    作者簡介

    王景梅(1981-),碩士,研究方向:代數(shù)學(xué)。

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