淺議當(dāng)立體幾何遇見向量

摘 要：本文從兩個(gè)角度通過對空間向量法對解決立體幾何的“方便”和“貢獻(xiàn)”的論述，對比綜合法，指出我們面對不同的立體幾何題應(yīng)該具體問題具體分析，“兩條腿走路”，兩種方法不可偏廢其一。

關(guān)鍵詞：向量法；綜合法；空間想象力；立體幾何

自從2003年4月頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》以后，空間向量便成為高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的章節(jié)，在平面向量的基礎(chǔ)上，將概念和運(yùn)算遷移拓展到空間，并且將空間向量知識點(diǎn)和立體幾何知識點(diǎn)相互聯(lián)系貫通，由此，立體幾何遇見空間向量。向量法作為立體幾何定理綜合法的一個(gè)補(bǔ)充，為解決空間中圖形元素的平行、垂直以及度量角距離等問題提供了新的幾何視角。

一、 向量法的優(yōu)越性

問題1 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD。E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°。

（1） 在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；

（2） 若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值。

上述題目是選自2016年四川省高考試題，筆者特意分別在學(xué)完必修2第二章點(diǎn)線面的位置關(guān)系后和選修2-1第三章空間向量和立體幾何后分別給出了這題。給出之后，課堂同學(xué)們的反應(yīng)相差甚遠(yuǎn)。

在第一次給出這個(gè)題目的時(shí)候。

師：對于第一問，同學(xué)們想怎么解決？生：CD∥平面PBE。

師：那E點(diǎn)在哪呢？生：E點(diǎn)在CD上。

師：E點(diǎn)在平面PAB內(nèi)又在CD上，那在哪？生：在CD與平面PAB的交點(diǎn)處。

師：那交點(diǎn)在哪呢？生：延長DC，AB，它們的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)M。

師：那第二問呢？二面角P-CD-A的平面角怎么作？生：∠PDA。

師：對。直線PA與平面PCE所成角呢？我們首先要找直線在平面PCE內(nèi)的射影。

同學(xué)們思考了一會(huì)，都束手無策，不知道怎么去作直線在平面PCE內(nèi)的射影，于是下面我就開始了講解。

過點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長線于點(diǎn)H，連接PH。易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE。于是CE⊥平面PAH。

所以平面PCE⊥平面PAH。

過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE。

所以∠APH是PA與平面PCE所成的角。

當(dāng)我把∠APH作出來以后，同學(xué)們很快地求出sin∠APH=AHPH=13。在第二問中，作出線面角是個(gè)難點(diǎn)，輔助線該怎么作，由于同學(xué)們對立體圖形的整體把握并不是很到位，再加上這個(gè)第二問本身就存在難度，所以同學(xué)們束手無策。

但是當(dāng)我在學(xué)完空間向量與立體幾何后再次給出這個(gè)題目的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對第二問采取建系坐標(biāo)法，很快地做出了答案。

可以看出，空間向量的建系坐標(biāo)法相比較于定理綜合法而言，化繁為簡，化難為易，讓學(xué)生擺脫空間圖形中讓人眼花繚亂的點(diǎn)線面的位置關(guān)系的束縛，不需要添加輔助線，在空間立體感上要求低很多，直接通過向量的運(yùn)算解決空間立體幾何的平行、垂直和角度等問題，因此，備受師生們的追捧青睞，向量法也逐步成為當(dāng)前高考應(yīng)試的主要方法。為了使學(xué)生能夠快速突破空間平行、垂直以及角度距離等難度很大的立體圖形背景，部分教師在立體幾何初始教學(xué)中就開始向?qū)W生傳授向量的建系坐標(biāo)法，當(dāng)然這值得商榷。

二、 向量法的愚笨

問題2 如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)。

（1） 證明：PO⊥平面ABC；

（2） 若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值。

該題取自2018年全國卷2（理科），第一問，同學(xué)們很容易證明PO⊥平面ABC。只要證明OP⊥OB，OP⊥AC，但是第二問同學(xué)們好像只會(huì)走建系坐標(biāo)法這條路。

師：過程不難，但是總感覺繁瑣。用綜合法行不行呢？（同學(xué)們開始自己嘗試作出二面角的平面角和線面角）

不一會(huì)，同學(xué)A舉手示意。

生A：過C點(diǎn)作CG⊥平面PAM，垂足為G，過C點(diǎn)作CH⊥PA，交PA于H，連接HG，PG，則∠GHC=30°，在等邊三角形△PAC中，PC=4，所以CH=23，從而CG=3，∠GPC為所求的線面角，在Rt△GPC中，sin∠GPC=GCPC=34。

師：非常棒的解法！還有沒有其他同學(xué)想出這個(gè)方法？（同學(xué)們陸續(xù)舉手）

對比以上兩種解法，很顯然，建系向量法要比綜合法顯得愚笨很多，綜合法只要作出二面角的平面角和線面角就可以解決這個(gè)問題，不需要像建系坐標(biāo)法那樣確定點(diǎn)M的具體位置，避免了繁冗的計(jì)算，巧妙地結(jié)合了二面角的平面角和線面角的圖形特征。

新課標(biāo)指出：在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生靈活選用向量法和綜合法，從不同角度解決立體幾何問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生能夠運(yùn)用知識解題是基本，但是在學(xué)習(xí)知識的過程中，學(xué)生的思維能力的發(fā)展對后續(xù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)更加重要，向量法可能很快地讓學(xué)生解決問題，是一個(gè)很好的應(yīng)試方法，但是綜合法在解決問題的過程中，通過直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、演繹證明等過程，培養(yǎng)建立邏輯推理能力。在教學(xué)中，應(yīng)該遵循教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，步步為營，不要對綜合法和向量法厚此薄彼，具體問題具體分析，學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，最后?shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]薛金星.2018年全國及各省市高考試題全解數(shù)學(xué)卷[M].西安：陜西人民教育出版社，2018.

[2]薛金星.2016年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2018.

[3]方孝釧.非坐標(biāo)形式向量法解高考立體幾何題的嘗試與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010.

作者簡介：

余海斌，安徽省淮南市，淮南第二中學(xué)。