三項式系數(shù)演示器

文 廣州市第二中學(xué)高三（9）班 劉家軒

一、制作原理

三項式系數(shù)有其數(shù)陣模型，恰為一個正三棱錐，由此可以找到三項式定理的三棱錐模型，如圖1。

圖1 三項式的三棱錐模型

在第n層中，三個頂點分別為an、bn、cn，離三個頂點越遠(yuǎn)，對應(yīng)字母的次數(shù)越低。某一層非邊緣的一個數(shù)必然位于上層三個數(shù)的中心（若處于邊緣則為兩個數(shù)的中間），且其系數(shù)為上層三個系數(shù)之和。

例如，第四層的abc位于第三層ab ac bc的正中心，而其系數(shù)亦為ab ac bc系數(shù)之和，每個節(jié)點向下都恰好連接著三個節(jié)點。由此，可分析得到數(shù)陣模型對應(yīng)的演示模型，如圖2。

圖2 數(shù)陣模型對應(yīng)的演示模型

根據(jù)三棱錐模型的特性，我將每個系數(shù)節(jié)點都換成水罐，每個水罐與上層的三個水罐用粗細(xì)相同、長度相等的水管相連，從最上層水罐倒水，每個水罐向下都連接三個水罐。這樣，每個水罐的水量就是上方相連的水罐總水量的1/3。當(dāng)水全部流至第n層時，n層內(nèi)水罐水量之比恰為三項式系數(shù)之比。

二、制作演示器

1.材料準(zhǔn)備

亞克力管20根（5cm直徑1根，2.9cm直徑3根，2.4cm直徑16根）及其底板、頂蓋，亞克力柱（高10cm、直徑10mm）、細(xì)水管（內(nèi)徑3mm、壁厚1mm）若干，微型水泵11個，微型電磁閥10個，金屬四通20個，塑膠轉(zhuǎn)接頭40個。

單片機(jī)開發(fā)板1塊，杜邦線若干，可調(diào)降壓模塊和繼電器各4塊，24V交流轉(zhuǎn)直流電源1個，交流電源插座1個，4V單片機(jī)電源線1根。

2.制作過程

（1）將預(yù)制的亞克力管和頂板、底板用膠粘牢，確保邊緣不漏水。

（2）用細(xì)水管將水閥接于水罐上，將水閥用熱熔膠固定在水罐下，將亞克力柱固定在預(yù)制的亞克力孔內(nèi)。

（3）將1～3層的亞克力柱底板預(yù)留孔與微型水泵、四通用水管連接，將四通的三根出水管插入下一層的亞克管上部預(yù)留孔。插入時應(yīng)注意，每根亞克力管的出水管需插入下一層邊緣的3個亞克力管預(yù)留孔中。第四層的亞克力管底部接入微型電磁閥，再將電磁閥出水口用水罐連接，最后接入粘貼在第四層底板上的微型水泵進(jìn)水口，將該出水口的水管插入第一層的進(jìn)水口，以實現(xiàn)循環(huán)演示。

（4）將主體結(jié)構(gòu)、水管等裝好后，用延長線將微型水泵和微型電磁閥的電源線接在焊有接口的洞洞板上。同一層的微型水泵和微型電磁閥并聯(lián)。

（5）編寫并調(diào)試單片機(jī)程序，連接電路并調(diào)節(jié)輸出電壓。

（6）調(diào)試程序，并在每一根亞克力管壁貼上標(biāo)簽，更改單片機(jī)程序的時間設(shè)定。

圖3 安裝好的演示器

三、演示效果

插上電源，為第一層水罐加水，啟動自動演示功能。三項式n=0，1，2，3時相應(yīng)的第0層、第1層、第2層和第3層的容器水位與三項式系數(shù)對應(yīng)，利用水體流動表示乘法過程，形象生動地展示了（a+b+c）n這個抽象的數(shù)學(xué)式。