主成分分析的燃氣采暖熱水爐運行性能評價

周偉業(yè)， 劉文博， 呂昕宇， 王 艷

(1.中國市政工程華北設計研究總院有限公司城市燃氣熱力研究院，天津300384； 2.國家燃氣用具質(zhì)量監(jiān)督檢驗中心，天津300384)

1 概述

隨著國家對環(huán)保問題的逐漸重視，房地產(chǎn)市場的火爆，以及“煤改氣”工程的逐步推進，燃氣采暖熱水爐領(lǐng)域迎來了突飛猛進的增長勢頭。中國土木工程學會燃氣分會統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從2009年至2016年，燃氣采暖熱水爐的年均增長率達到了27%，2017年中國市場燃氣采暖熱水爐的銷量陡然升高，達到了550×104臺，其中用于煤改氣工程的燃氣采暖熱水爐銷量為377.5×104臺。目前，燃氣采暖熱水爐產(chǎn)品主要依據(jù)GB 25034—2010《燃氣采暖熱水爐》(以下簡稱GB 25034—2010)來檢驗判定是否合格，并依據(jù)GB 20665—2015《家用燃氣快速熱水器和燃氣采暖熱水爐能效限定值及能效等級》進行能效分級。在此前提下，如何定量地評價判斷燃氣采暖熱水爐運行性能的優(yōu)劣值得探討。

經(jīng)分析，燃氣采暖熱水爐的運行性能可以用額定熱輸入時供暖熱效率、干煙氣中O2體積分數(shù)、干煙氣中CO體積分數(shù)、干煙氣中CO2體積分數(shù)、干煙氣中NOx體積分數(shù)及排煙溫度6個指標進行綜合評價。

2 評價模型構(gòu)建

2.1 主成分分析法

主成分分析法是將原始指標重新組成一組新的互相無關(guān)的幾個綜合指標來代替原始指標的一種統(tǒng)計方法。通過空間的坐標旋轉(zhuǎn)，得到的主成分是原始指標的線性組合，能夠最大程度地反映原始指標所包含的信息，使原來的多維問題大大簡化[1-4]。

2.2 評價模型的建立

2.2.1 構(gòu)建評價矩陣

假設對m臺燃氣采暖熱水爐的運行性能進行評價分析，選取能夠反映評價對象特征的n類評價指標，可以得到由原始測試數(shù)據(jù)構(gòu)成的評價矩陣X：

(1)

式中X——由原始測試數(shù)據(jù)構(gòu)成的評價矩陣

xij——第i(i=1,2,…,m)臺燃氣采暖熱水爐的第j(j=1,2,…,n)類評價指標的原始測試數(shù)據(jù)

2.2.2 原始測試數(shù)據(jù)標準化處理

為了排除數(shù)量級和量綱不同帶來的影響，首先對原始測試數(shù)據(jù)作標準化處理，使得每個指標的平均值為0，方差為1。數(shù)據(jù)標準化處理可按式(2)進行：

(2)

式中zij——處理后的標準化指標

xavg,j——第j類評價指標的樣本均值

σj——第j類評價指標的標準差

由此可以得到標準化評價矩陣為：

(3)

式中Z——標準化評價矩陣

zij——第i臺燃氣采暖熱水爐的第j類處理后的標準化指標

2.2.3 相關(guān)系數(shù)矩陣

標準化評價矩陣對應的相關(guān)系數(shù)矩陣為：

(4)

式中R——標準化評價矩陣對應的相關(guān)系數(shù)矩陣

rjp——相關(guān)系數(shù)，p= 1,2,…,n

2.2.4 特征值與特征向量計算

利用SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件，解特征方程(5)：

|λE-R|=0

(5)

式中λ——相關(guān)系數(shù)矩陣特征值

E——n階單位矩陣

解方程(5)得到n個特征值λ1、λ2、…、λw、…、λn，并按從大到小排序λ1>λ2>… >λw>… >λn。

以特征值λw為例，解方程(6)：

(λwE-R)Aw=0

(6)

式中Aw——特征值λw對應的特征向量，為非零列向量

Aw=[aw1,aw2,…,awj,…,awn]T

(7)

式中awj——特征向量Aw的元素

主成分分析法中的特征向量是具有單位化長度的向量，且在該條件下進行主成分指標值的計算以及最終的得分排名。根據(jù)特征向量的概念，當特征向量具有單位化長度時，特征值λw對應的特征向量有兩個，分別為Aw和-Aw。因此，各特征值對應的特征向量為qA1、qA2、…、qAw、…、qAn，其中，q=1或q=-1。

2.2.5 主成分提取

根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值，可以得到第k個主成分的方差貢獻率ek，計算公式為：

(8)

式中ek——第k個主成分的方差貢獻率

λk——第k個主成分的特征值

λsum——所有特征值之和

則前k個主成分的累計方差貢獻率Ek為：

(9)

式中Ek——前k個主成分的累計方差貢獻率

t——主成分累計數(shù)量

主成分的順序是按特征值λ1、λ2、…、λk、…、λn從大到小順序排列的，在實際應用中，應盡量提取較少的主成分來進行綜合評價，但還應使得損失的信息量盡可能少。一般當主成分累計方差貢獻率Ek滿足式(10)時，此時的主成分累計數(shù)量t即為需要提取的主成分數(shù)量。

Ek≥0.85

(10)

2.2.6 運行性能綜合評價指標值

第i臺燃氣采暖熱水爐第k個主成分的指標值,可以根據(jù)式(11)將特征向量與標準化矩陣元素相乘進行計算：

Fik=ak1zi1+ak2zi2+…+akjzij+…+aknzin

(11)

或：

Fik=-(ak1zi1+ak2zi2+…+akjzij…+aknzin)

(12)

式中Fik——第i臺燃氣采暖熱水爐第k個主成分的指標值

akj——特征值λk對應的特征向量的元素

以每個主成分所對應的方差貢獻率占所提取主成分的累計方差貢獻率的比例作為權(quán)重，計算主成分綜合評價指標值，則第i臺燃氣采暖熱水爐運行性能綜合評價指標值Fi的計算公式為：

(13)

式中Fi——第i臺燃氣采暖熱水爐運行性能綜合評價指標值

2.2.7 特征向量合理性驗證

當采用SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件進行主成分分析時，軟件在計算時選取的特征值λw對應的特征向量是Aw還是-Aw，是不確定的?；蛘卟捎闷渌椒ㄓ嬎銜r，特征向量的選取也是不確定的。確定選取的特征向量是否合適，只有通過選取實例來進行分析。

以上述分析為基礎，選取或構(gòu)建能夠確定排名先后順序的樣本，根據(jù)主成分指標值Fik的判斷準則，可以確定計算時選取的特征向量是Aw還是-Aw。同樣也可以確定主成分指標值計算公式為公式(11)還是公式(12)。

2.2.8 綜合排名

根據(jù)第i臺燃氣采暖熱水爐運行性能綜合評價指標值Fi，按照降序的方法對燃氣采暖熱水爐運行性能進行綜合排名，F(xiàn)i越大，說明該燃氣采暖熱水爐的綜合運行性能越好，綜合排名也越前。

3 算例

以40臺普通大氣式燃氣采暖熱水爐為例，應用主成分分析法對燃氣采暖熱水爐運行性能進行評價。

所選樣本的額定供暖熱輸入為20 ～ 40 kW，使用的燃氣種類均為天然氣(12T)，供暖系統(tǒng)均為封閉式。燃燒器均為大氣式燃燒器，結(jié)構(gòu)形式為爐排式結(jié)構(gòu)，燃燒器頭部采用口琴式結(jié)構(gòu)，材質(zhì)為不銹鋼，主換熱器均由帶翅片的紫銅盤管制成，風機類型包括定頻風機和變頻風機。樣本機型包括板式換熱器換熱機型和套管式換熱器換熱機型。

試驗時的試驗室條件、熱平衡條件、電源條件、試驗氣條件和基準狀態(tài)均按GB 25034—2010第7.1.1條的規(guī)定執(zhí)行。額定熱輸入時供暖熱效率的試驗條件和試驗方法均按照GB 25034—2010第7.7.1條的規(guī)定執(zhí)行。燃燒產(chǎn)物的采樣按照GB 25034—2010第7.1.2條的規(guī)定執(zhí)行。

3.1 評價矩陣的構(gòu)建

對40臺燃氣采暖熱水爐分別測試額定熱輸入時供暖熱效率、排煙溫度和干煙氣中各組分的體積分數(shù)。由于篇幅限制，其中10個樣本的測試結(jié)果見表1。測試指標額定熱輸入時供暖熱效率、排煙溫度、干煙氣中O2體積分數(shù)、干煙氣中CO體積分數(shù)、干煙氣中CO2體積分數(shù)、干煙氣中NOx體積分數(shù)分別用x1、x2、x3、x4、x5和x6表示。

3.2 測試數(shù)據(jù)的標準化處理

SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件具有完整的數(shù)據(jù)輸入、編輯、統(tǒng)計分析等功能，可以進行數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析、一元方差分析、非參數(shù)檢驗、多元回歸分析、判別分析、因子分析等。因此，本文使用SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件并結(jié)合文獻[5]進行數(shù)據(jù)處理分析。

排煙溫度的高低反映了熱量被吸收的程度。排煙溫度越高，則代表吸收的熱量越少，即隨煙氣排出的熱量越多。因此，在進行數(shù)據(jù)分析時，排煙溫度取負值進行處理分析。

燃燒產(chǎn)物中O2體積分數(shù)越高，說明空氣中參與燃燒的O2越少。在相同空氣量條件下，燃燒產(chǎn)物中O2體積分數(shù)越高，消耗的燃氣越少，即燃燒越不充分。因此，在進行數(shù)據(jù)分析時，燃燒產(chǎn)物中O2體積分數(shù)取負值進行處理分析。

燃燒產(chǎn)物中CO產(chǎn)生的原因是燃氣不完全燃燒，干煙氣中CO體積分數(shù)越高，說明燃燒越不充分，燃燒效果越不好。因此，在進行數(shù)據(jù)分析時，CO體積分數(shù)取負值進行處理分析。

燃燒產(chǎn)物中CO2體積分數(shù)越高，說明燃氣燃燒越充分，燃燒效果越好。因此，在進行數(shù)據(jù)分析時，CO2體積分數(shù)按正值進行處理分析。

燃燒產(chǎn)物中NOx體積分數(shù)越高，對環(huán)境的污染越大。因此，在進行數(shù)據(jù)分析時，NOx體積分數(shù)取負值進行處理分析。

結(jié)合式(2)對原始測試數(shù)據(jù)進行標準化處理，得到10個樣本的標準化評價矩陣，以表格形式表達，見表2。處理后的標準化指標額定熱輸入時供暖熱效率、排煙溫度、干煙氣中O2體積分數(shù)、干煙氣中CO體積分數(shù)、干煙氣中CO2體積分數(shù)、干煙氣中NOx體積分數(shù)分別用1～6列的數(shù)據(jù)表示。

表2 10個樣本的標準化評價矩陣

3.3 評價指標的相關(guān)性分析

結(jié)合式(4)，利用SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件，對各評價指標之間的相關(guān)性進行分析，相關(guān)系數(shù)矩陣采用表格形式表達時見表3。

3.4 特征值和特征向量的計算

利用SPSS數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件，求解特征方程(5)，得出評價矩陣的特征值，求解方程(6)，可得出各特征值λw對應的特征向量qAw，見表4。

3.5 主成分的提取

由表4可以看出，原始指標經(jīng)過轉(zhuǎn)換后重新組成了6個新的指標，稱作主成分。每個主成分均包含有6個原始指標的信息，區(qū)別在于不同的主成分中6個原始指標對該主成分的影響程度不同。按照特征值從大到小順序進行排列，命名為主成分1、主成分2、…、主成分6。

表3 相關(guān)系數(shù)矩陣

表4 評價矩陣的特征值和對應的特征向量

根據(jù)式(8)和(9)，得出各主成分的方差貢獻率和累計方差貢獻率，見表5。由式(10)可知，按照累計方差貢獻率大于等于0.85的原則，從表5可以看出，前3個主成分的累計方差貢獻率為0.889，基本能代表原始指標的絕大部分信息。因此，用前3個主成分進行燃氣采暖熱水爐運行性能的評價分析是可行的。

表5 各主成分的方差貢獻率和累計方差貢獻率

3.6 綜合評價指標值的確定

根據(jù)表4中主成分對應的特征向量和式(11)、(12)，得到前3個主成分的指標值的計算公式，分別為：

當q=1時，

Fi1=0.445zi1+0.181zi2+0.543zi3-

0.130zi4+0.545zi5-0.396zi6

(14)

Fi2=0.470zi1+0.649zi2-0.109zi3+

0.420zi4-0.097zi5+0.404zi6

(15)

Fi3= 0.012zi1-0.519zi2+0.209zi3+

0.802zi4+0.213zi5+0.094zi6

(16)

當q=-1時，

Fi1=-0.445zi1-0.181zi2-0.543zi3+

0.130zi4-0.545zi5+0.396zi6

(17)

Fi2=-0.470zi1-0.649zi2+0.109zi3-

0.420zi4+0.097zi5-0.404zi6

(18)

Fi3=-0.012zi1+0.519zi2-0.209zi3-

0.802zi4-0.213zi5-0.094zi6

(19)

由公式(13)可得第i臺燃氣采暖熱水爐的運行性能綜合評價指標值Fi：

Fi=0.555Fi1+0.255Fi2+0.190Fi3

(20)

3.7 特征向量合理性驗證

結(jié)合3.2節(jié)中評價指標的分析，并對比40個樣本的測試結(jié)果，選取樣本9和樣本11進行評價模型唯一性的驗證確定。表6為樣本9和樣本11的測試結(jié)果，可以看出，與樣本11相比，樣本9的熱效率和干煙氣中CO2體積分數(shù)更高，排煙溫度、干煙氣中O2體積分數(shù)、干煙氣中CO體積分數(shù)和干煙氣中NOx體積分數(shù)更低。因此，可以確定樣本9的運行性能比樣本11更優(yōu)，對應的各主成分指標值也更高。

表6 樣本9和樣本11的測試結(jié)果

依據(jù)公式(14) ～ (19)，分別計算q=1和q=-1時樣本9和樣本11的3個主成分指標值。

對于Fi1：

當q=1時，F(xiàn)91=2.666，F(xiàn)111=-4.483；

當q=-1時，F(xiàn)91=-2.666，F(xiàn)111=4.483。

對于Fi2：

當q=1時，F(xiàn)92=1.419，F(xiàn)112=-1.039；

當q=-1時，F(xiàn)92=-1.419，F(xiàn)112=1.039。

對于Fi3：

當q=1時，F(xiàn)93=-0.200，F(xiàn)113=0.208；

當q=-1時，F(xiàn)93=0.200，F(xiàn)113=-0.208。

可以看出，對于Fi1和Fi2，當q=1時樣本9的主成分指標值更高，對于Fi3，當q=-1時樣本9的主成分指標值更高。因此，可以確定公式(14)、(15)和(19)為3個主成分指標值的計算公式。

3.8 運行性能的排名

根據(jù)式(14)、(15)、(19)、(20),可以計算出每臺燃氣采暖熱水爐的運行性能綜合評價指標值。然后按照降序由大至小進行排序，可以得到40臺燃氣采暖熱水爐的運行性能綜合排名。綜合評價指標值Fi越大，說明燃氣采暖熱水爐的運行性能越好，綜合排名越前。10個樣本的運行性能排名見表7，其中，樣本9的綜合評價指標值為1.881，是40個樣本中指標值最高的，因此綜合排名為1；樣本4的綜合評價指標值為-2.794，是40個樣本中指標值最低的，因此綜合排名為40。

表7 10個樣本的運行性能排名

4 結(jié)語

① 選取燃氣采暖熱水爐運行過程中額定熱輸入時供暖熱效率、干煙氣中O2體積分數(shù)、干煙氣中CO體積分數(shù)、干煙氣中CO2體積分數(shù)、干煙氣中NOx體積分數(shù)及排煙溫度6個指標，并隨機挑選40個樣本進行了相關(guān)試驗。利用主成分分析法建立了燃氣采暖熱水爐運行性能評價模型。主成分分析結(jié)果顯示，基于該方法轉(zhuǎn)換后的3個主成分指標能夠代替原來6個指標88.9%的信息量，該方法能夠?qū)碗s的信息簡單化，且能夠獲得量化的評價指標，可以應用于燃氣采暖熱水爐運行性能的定量評價。

② 研究中關(guān)注到：考慮到特征向量的非唯一性，應注意軟件選取的特征向量是否合適的問題，并給出了驗證和確定方法。驗證結(jié)果顯示，SPSS數(shù)據(jù)分析軟件選取的特征向量對文中案例的主成分1、主成分2是合適的，對主成分3是不合適的，應乘以-1后再參與運算。