基于馬爾可夫鏈的裝備技術(shù)成熟度評估方法

李 亮，宋敬華，郭齊勝

（陸軍裝甲兵學(xué)院，北京 100072）

0 引言

評估在日常生活中扮演著重要的角色。人們經(jīng)常希望通過比較不同事物的優(yōu)劣以作出正確的決策。對于構(gòu)成裝備及裝備體系的關(guān)鍵技術(shù)也是如此，成熟度評估是評價不同關(guān)鍵技術(shù)好壞的重要手段之一。

現(xiàn)代武器裝備技術(shù)水平進(jìn)行綜合評價的目的，是要回答武器裝備的先進(jìn)程度如何，其簡單的評價指標(biāo)是先進(jìn)、一般和落后。但是，由于武器裝備技術(shù)是不斷發(fā)展的，進(jìn)行評價的參照系是隨著時間的推移而不斷變化的，也就是說，對武器裝備的技術(shù)水平進(jìn)行評價不能脫離時間這個因素。

成熟度評估的結(jié)果經(jīng)常有時滯。因此，依據(jù)評估結(jié)果所做的決策也有時間上的滯后。本文嘗試提出一種基于馬氏鏈的成熟度評估方法以解決這個問題。將關(guān)鍵技術(shù)成熟度的評估值作為一個馬爾可夫鏈，初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣可以通過統(tǒng)計計算得到。進(jìn)一步可以通過計算得到成熟度的穩(wěn)態(tài)分布。將成熟度的數(shù)學(xué)期望作為成熟度的評估值?；诔跏挤植肌⑥D(zhuǎn)移概率矩陣和穩(wěn)態(tài)分布的計算可以分別得到成熟度的初始值、演化值和穩(wěn)態(tài)值。可以通過成熟度評估次數(shù)的增加，不斷更新轉(zhuǎn)移概率矩陣的信息，從而更新成熟度的評估值以保證評估結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 馬爾可夫鏈與成熟度評估

成熟度評估存在時滯問題，針對時滯可采用馬氏鏈方法進(jìn)行解決。本節(jié)主要對成熟度評估的時滯問題和馬氏鏈的基本理論進(jìn)行分析。

1.1 時滯問題

本文所謂的時滯有兩方面含義：一方面評估結(jié)果有時滯；另一方面決策有時滯。

1）時間與空間無時無刻不在變化?；谶@樣的事實(shí)，對傳統(tǒng)評估方法而言，當(dāng)經(jīng)過一系列復(fù)雜的過程得到評估結(jié)果時，被評價對象的狀態(tài)已經(jīng)發(fā)生改變。這樣一來，評估結(jié)果有了時間上的滯后，即評估的時滯。

2）所謂的決策時滯是指由于評估的時滯，基于評估結(jié)果所作出的決策也不可避免地具有時滯和誤差。這樣一來決策也就有了時間上的滯后。

1.2 解決方案-馬爾可夫鏈

事物的發(fā)展，是多層次的隨機(jī)事件與必然事件相互交替和相互作用的過程。雖然個別隨機(jī)事件在某次試驗(yàn)或觀察中可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)，但在大量試驗(yàn)中它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性-頻率穩(wěn)定性［1］。下面對相關(guān)概念進(jìn)行介紹［2-4］。

1.2.1 有限狀態(tài)齊次馬爾可夫鏈

給定σ-域B上的狀態(tài)空間S，一個由在S中取值的隨機(jī)變量 ξn組成的隨機(jī)過程{ξn，n=0，1，2，…}稱為馬爾可夫鏈，如果對每一個非負(fù)整數(shù)n和集合T∈B，幾乎處處成立

當(dāng) P{ξn+1∈T|ξn}不依賴于起始時刻 n 的取值，則稱之為齊次馬爾可夫鏈。當(dāng)S是一個有限集合時，稱之為有限狀態(tài)齊次馬爾可夫鏈（馬氏鏈），式（1）稱為馬爾可夫性（馬氏性）。

1.2.2 平穩(wěn)分布（不變測度）

稱概率分布{πi，i∈S}為馬爾可夫鏈ξ的平穩(wěn)分布，如果

式（2）可以表述為向量形式

1.2.3 基本假設(shè)

當(dāng)對一個系統(tǒng)進(jìn)行評估時，第k+1次評估的結(jié)果僅與第k次的有關(guān)，而與第k次之前的評估結(jié)果無關(guān)。換句話說，專家對每個指標(biāo)的打分具有馬爾可夫性。如果打分值在整數(shù)集中取值且與起始時刻無關(guān)，那么每個指標(biāo)的分值組成的隨機(jī)過程就是一個有限狀態(tài)齊次馬爾可夫鏈。

在如上假設(shè)條件下，馬爾可夫鏈的相關(guān)理論就可以用來解決涉及專家打分評估的相關(guān)問題。馬氏鏈中初始分布的概念可以用來刻畫指標(biāo)得分的初始出現(xiàn)頻率。轉(zhuǎn)移概率矩陣的概念可以用來描述第k+1次評估和第k次評估之間的關(guān)系。對打分結(jié)果的統(tǒng)計分析恰好可以描述指標(biāo)權(quán)重的當(dāng)前狀態(tài)；借助轉(zhuǎn)移概率矩陣，又可以得到指標(biāo)權(quán)重的演化趨勢；最后，平穩(wěn)分布的概念可以用來確定權(quán)重的穩(wěn)態(tài)值。

首先，初始權(quán)重可以通過計算指標(biāo)打分值的頻率來獲得；其次，指標(biāo)權(quán)重隨著時間推進(jìn)的演化趨勢可以通過轉(zhuǎn)移概率矩陣的相關(guān)運(yùn)算得到；最后，各個指標(biāo)最終的穩(wěn)態(tài)值可以通過平穩(wěn)分布的相關(guān)計算進(jìn)行確定。

根據(jù)初始權(quán)重（通常是傳統(tǒng)方法所得到的評估結(jié)果），決策者可以像往常一樣作出他們的決策；根據(jù)權(quán)重的演化趨勢，決策者可以了解評估結(jié)果的變化趨勢。最終，再結(jié)合穩(wěn)態(tài)分步的結(jié)果，由于評估結(jié)果時滯的減小，并且系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)及演化趨勢已知，決策者的決策誤差也就有了相應(yīng)減小的可能。

基于馬氏鏈的評估方法過程簡單、模型通用，下面將用來消除成熟評估過程的時滯，建立基于馬氏鏈的成熟度評估方法

2 基于馬爾可夫鏈的裝備技術(shù)成熟度評估

建立基于馬爾可夫鏈的成熟度評估方法，需要一些合理的假設(shè)和適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)備工作。本節(jié)還將對所提出方法的具體步驟、與經(jīng)典模型的比較、向技術(shù)體系成熟度評估的推廣進(jìn)行分析。

2.1 基本假設(shè)

根據(jù)1.2節(jié)中的基本假設(shè)，得出如下的基本假設(shè)：

1）假設(shè)第k+1次成熟度評估的結(jié)果僅與第k次成熟度評估的結(jié)果有關(guān)，而與之前的評估結(jié)果無關(guān)。這其實(shí)是比較符合實(shí)際的，因?yàn)榧僭O(shè)某一技術(shù)在k時刻處于TRL2，那么在k+1時刻，正常情況下它不依賴于之前k-1時刻的成熟度等級，最起碼他不會回到TRL1。這樣一來，根據(jù)相關(guān)定義，TRLs和IRLs就具有了馬爾可夫性。

2）某項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展及其與其他關(guān)鍵技術(shù)之間的交互存在可循的規(guī)律。

正如恩格斯所指出的，表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部隱蔽著的規(guī)律支配的，而問題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。技術(shù)發(fā)展規(guī)律的分析思路是分析現(xiàn)狀、趨勢、對比找出不足。在假設(shè)1）條件下，考慮到成熟度等級的有限狀態(tài)（一般為5、7或者9狀態(tài)）以及它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與起始時刻無關(guān)（齊次性），有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的相關(guān)理論，可以用來描述并解決技術(shù)成熟度評估、集成成熟度評估和系統(tǒng)成熟度評估的問題。

2.2 準(zhǔn)備工作

為了用馬爾可夫鏈的相關(guān)理論來解決成熟度評估的時滯問題，需要做一些前期的準(zhǔn)備工作。

1）確定技術(shù)成熟度和集成成熟度的狀態(tài)空間

為了方便起見，將成熟度等級記為{m0，m1，…，mn}，這樣一來，n級的標(biāo)度及組成了一個狀態(tài)空間。

2）獲取TRL/IRL的初始分布

對第k次和第k+1次成熟度評估數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，初始分布可以表示為：

其中，P{ξ（k）=ml}=n（ml）/∑n（ml）（l=0，1，…，n），即P{ξ（k）=ml}表示的是成熟度 ml在第 k 次成熟度評估中出現(xiàn)的頻率。

3）進(jìn)行進(jìn)一步的統(tǒng)計分析以獲取TRL/IRL的一步概率轉(zhuǎn)移矩陣

計算成熟度從狀態(tài)i到狀態(tài)j轉(zhuǎn)移的概率，作為概率轉(zhuǎn)移矩陣P中的元素pij，P=（pij）（n+1）×（n+1）。

完成以上工作以后，初始成熟度、演化成熟度就可以進(jìn)行計算了。實(shí)際上，成熟度被認(rèn)為是他們自身的數(shù)學(xué)期望。

初始成熟度計算如下：

r步轉(zhuǎn)移后的演化成熟度計算如下：

為了計算穩(wěn)態(tài)的成熟度，首先要得到穩(wěn)態(tài)分步。穩(wěn)態(tài)分步可以通過求解如下方程組得到。

其中，1n+1=（1，…，1）'；0=（0，…，0）'；P=（pij）（n+1）×（n+1）；（·）+表示的是矩陣“·”的 Moore-Penrose廣義逆矩陣（因?yàn)樗拇嬖谛院臀ㄒ恍裕?/p>

這樣，穩(wěn)態(tài)成熟度的計算如下：

2.3 具體步驟

模型流程如圖1所示。

圖1 基于馬氏鏈的SRA方法流程圖

1）關(guān)鍵技術(shù)CTEs獲取

CTEs通過QFD/TRIZ/WBS進(jìn)行獲取。通過WBS可以獲取初始的CTEs，借助QFD/TRIZ的幫助，可以獲取CTEs的權(quán)重［5-6］。綜合考慮可以得到系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)CTEs。

2）初始IRL/TRL獲取和初始SRL的計算

邀請若干評估小組分別進(jìn)行成熟度評估。記錄初始的TRL/IRL及相應(yīng)的SRL。為了進(jìn)行評估的方便，設(shè)計如圖2（表示CTEi的技術(shù)成熟度是TRLi，CTEi和CTEj的集成成熟度是IRLij）所示的表示方式。

圖2 TRL/IRL關(guān)系示意圖

假設(shè)有n個CTEs，TRL=（TRLi）n×1，IRL=（IRLij）n×n，SRL=（SRL）1×1，那么 TRL/IRL/SRL 的關(guān)系可以用公式表示如下：

其中，li（i=1，2，…，n）表示的是和CTEi有集成關(guān)系的CTEs的個數(shù)（包括CTEi本身在內(nèi)）；ωi（i=1，2，…，n）表示的是CTEi的權(quán)重。

根據(jù)式（5）和TRL/IRL/SRL的初始狀態(tài)可以獲取：。

3）進(jìn)行第k次成熟度評估

邀請相同數(shù)目（盡量和之前相同）的評估小組進(jìn)行第k次成熟度評估。將評估數(shù)據(jù)記為：和。

4）進(jìn)行第k+1次成熟度評估

邀請相同數(shù)目（盡量和之前相同）的評估小組進(jìn)行第k+1次成熟度評估。將評估數(shù)據(jù)記為：TRLk+1=，和。

5）獲取一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

通過對各成熟度的轉(zhuǎn)移頻率進(jìn)行分析，分別獲取TRL和IRL的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

6）求解穩(wěn)態(tài)分步

通過求解式（3），可以得到TRL和IRL的穩(wěn)態(tài)分布TRLs和IRLs。

7）穩(wěn)態(tài)TRL/IRL獲取與SRL計算

根據(jù)式（4），計算穩(wěn)態(tài) SRL。

8）結(jié)果對比分析并作為決策支持

將初始的、演化的和穩(wěn)態(tài)的SRL進(jìn)行對比，得出的相關(guān)分析結(jié)果可以作為決策支持。

2.4 和經(jīng)典模型的比較

1）從成熟度獲取方面?；隈R氏鏈的系統(tǒng)成熟度分析模型通過初始分布、轉(zhuǎn)移概率矩陣和穩(wěn)態(tài)分步獲取3種形式（初始、演化、穩(wěn)態(tài)）的成熟度；經(jīng)典模型僅能通過簡單的統(tǒng)計分析或數(shù)學(xué)計算獲取一個成熟度數(shù)值。

2）對時滯的處理方面。基于馬氏鏈的模型通過轉(zhuǎn)移概率矩陣和穩(wěn)態(tài)分布來解決時滯問題；經(jīng)典模型對時滯問題基本沒有考慮。

3）從短板的避免方面。對于每一項(xiàng)CTE在裝備發(fā)展的不同階段通過不同的閾值（短板的底線）來進(jìn)行約束，從而避免單項(xiàng)技術(shù)短板的出現(xiàn)。同時，由于IRL的引入，還可以克服集成過程中可能出現(xiàn)的“集成短板”，這一點(diǎn)是傳統(tǒng)方法不容易實(shí)現(xiàn)的。

綜合來講，由于馬氏鏈模型的采用從某種程度上可以降低系統(tǒng)設(shè)計中的風(fēng)險，決策者的決策變得更加準(zhǔn)確和科學(xué)。

2.5 向技術(shù)體系成熟度評估的推廣

引入系統(tǒng)集成成熟度（System Integration Readiness Level，SIRL）的概念，用于衡量不同系統(tǒng)（System）之間集成成熟度，并用于計算技術(shù)體系成熟度（Technical System of System Readiness Level，TSoSRL）。

其中，hi（i=1，2，…，n）表示的是和Systemi有集成關(guān)系的 System的個數(shù)（包括Systemi本身在內(nèi)）；μi（i=1，2，…，n）表示的是 Systemi的權(quán)重；m 表示的是系統(tǒng)集成成熟度的分級；SRL/1中的1是因?yàn)镾RL是［0，1］之間的一個數(shù)。

通過類似技術(shù)成熟度到系統(tǒng)成熟度的步驟，就可以通過系統(tǒng)成熟度和系統(tǒng)集成成熟度獲取技術(shù)體系成熟度。

3 應(yīng)用示例

為了驗(yàn)證基于馬氏鏈的方法的科學(xué)性和可行性，下面給出一個基于馬氏鏈的系統(tǒng)成熟度評估的例子。

1）通過WBS/QFD/TRIZ過程，得到4項(xiàng)關(guān)鍵的裝備技術(shù)。第k次和第k+1次評估結(jié)果（評估小組由4個專家組成）分別如圖3和下頁圖4所示。

圖3 第k次評估結(jié)果

為了計算的方便，將圖3和圖4轉(zhuǎn)化為表格形式，如下頁表1～表4所示。

2）根據(jù)馬氏鏈相關(guān)公式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，將一些關(guān)鍵結(jié)果列在下面。

圖4 第k+1次評估結(jié)果

表1 第k次評估的技術(shù)成熟度

表2 第k次評估的集成成熟度

表3 第k+1次評估的技術(shù)成熟度

表4 第k+1次評估的集成成熟度

為了更加形象地展示成熟度在不同轉(zhuǎn)移步數(shù)時的狀態(tài)，分別將技術(shù)成熟度、集成成熟度和系統(tǒng)成熟度轉(zhuǎn)移步數(shù)的變化規(guī)律繪制成散點(diǎn)圖，如下頁圖5～圖7所示。

圖5 TRL演化規(guī)律

圖6 IRL演化規(guī)律

圖7 SRL變化規(guī)律

從圖5～圖7中可以看出，在初始階段，TRL1TRL2TRL3=TRL4并且有SRL=0.555 7；在穩(wěn)態(tài)階段，TRL1=TRL2=TRL3=TRL4并且有SRL=0.914 3。從中可以看出，如果僅僅按照傳統(tǒng)方法（即初始狀態(tài)成熟度SRL-1）進(jìn)行決策，則可能會拒絕這一技術(shù)方案；但是如果參考穩(wěn)態(tài)的成熟度數(shù)值（SRL-5）及到達(dá)穩(wěn)態(tài)所需的轉(zhuǎn)移步數(shù)（本例大約9步即可到達(dá)0.901 2，如圖7所示），則有很大可能會接受這一方案。拒絕一個可行的方案將是十分可惜的?；隈R氏鏈的評估方法減少了時滯對決策的影響，從而降低了決策的風(fēng)險。以上示例證明，方法是科學(xué)可行的。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)成熟度評估中存在的評估結(jié)果時間滯后的問題，采用馬爾可夫鏈的相關(guān)理論分別對成熟度的初始值、演化值和穩(wěn)態(tài)值進(jìn)行分析和計算，并通過示例對方法進(jìn)行了演示驗(yàn)證。結(jié)果表明，所提出的基于馬氏鏈的成熟度評估方法正確、合理、可行，且通用性強(qiáng)，可推廣到其他領(lǐng)域中。