顧及有色噪聲的卡爾曼濾波在多路徑誤差削弱中的應用

李川,魏世玉,劉星,劉戀,胡祝敏

(1.重慶市地質災害自動化監(jiān)測工程技術研究中心, 重慶 401120;2.重慶大學 土木工程學院, 重慶 400044)

0 引 言

衛(wèi)星信號在發(fā)射和傳播過程中受環(huán)境等因素影響產生的反射信號將使直射信號能量發(fā)生衰減且相位產生延遲,這種現(xiàn)象稱為多路徑效應,由此產生的定位誤差為多路徑誤差[1]．多路徑效應為一時空環(huán)境效應,其誤差大小與衛(wèi)星高度角、天線周圍環(huán)境、反射面至接收機距離及天線性能等相關,難以構建準確誤差模型對其進行改正．此外,多路徑在基線兩端不具有空間相關性,通過現(xiàn)有差分技術也很難對其進行削弱．分析表明:多路徑效應對C/A碼測量影響可達150 m,P碼達10 m,對L1、L2載波造成的測距偏差最大分別為4.8 cm和6.1 cm[2]．可見,多路徑誤差是GNSS高精度定位中主要誤差之一[3]．

國內外學者主要從4個方面研究多路徑誤差削弱方法:1) 選擇良好的觀測環(huán)境,如遠離電磁干擾、大面積水面、高大墻體及山坡等[4]．該方法簡單有效,但實際觀測中,某些觀測點不可避免地位于觀測環(huán)境較差的地方,故該方法存在一定局限性;2) 改善接收機天線硬件,如設置抑徑板或抑徑圈、天線極化法、天線增益法[1]等．該方法能在一定程度上削弱多路徑誤差,但改進的接收機往往體積大、造價高、不便于野外作業(yè);3) 改進接收機信號處理,如窄相關技術[5]、多路徑估計技術(MET)[6]、多路徑消減延遲鎖相環(huán)技術(MEDLL)[7]、CADLL技術[8]等,上述方法可有效削弱長延遲多路徑誤差,對于短延遲多路徑誤差,效果不顯著;4) 觀測數(shù)據(jù)后處理,如天線陣列法、反射信號計算法、信噪比法、多路徑重復性方法[9]等,該方法可同時削弱長延遲和短延遲多路徑誤差,且數(shù)據(jù)處理方法靈活多樣,但計算相對復雜、實時性較差．

經(jīng)大量學者的研究,多路徑誤差削弱方法已取得長足進展,但在精密工程變形監(jiān)測、海洋測繪、精密動態(tài)導航定位[10]等應用領域中, 多路徑誤差削弱一直是未能很好解決的問題．本文從觀測數(shù)據(jù)后處理入手,以監(jiān)測站坐標時間序列中多路徑誤差為研究對象,建立多路徑誤差狀態(tài)空間模型,采用標準卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法,從監(jiān)測站第一天雙差固定解的坐標殘差序列中估計多路徑誤差序列,并根據(jù)多路徑誤差周日重復特性,利用第一天得到的改正模型對之后各天坐標序列進行改正,對比分析兩種估計方法的優(yōu)越性．

1 卡爾曼濾波

1.1 標準卡爾曼濾波

為解決線性高斯系統(tǒng)最優(yōu)估計問題,卡爾曼等[11]于1960年提出一種遞推式濾波算法,即卡爾曼濾波(KF),其遞推公式如下[12-15]:

1)狀態(tài)向量一步預報值及其方差矩陣:

(1)

(2)

2)狀態(tài)向量濾波值及其方差矩陣:

(3)

(4)

式中:Xk、Xk-1為狀態(tài)向量;Φk/(k-1)為狀態(tài)轉移矩陣;Ωk-1為動態(tài)噪聲;Γk-1為噪聲耦合矩陣;Lk為觀測向量;Bk為觀測矩陣;D(Δk為觀測噪聲;Jk為濾波增益矩陣;具體形式為

(5)

3)濾波初始狀態(tài)條件

(6)

KF假設系統(tǒng)在每一時刻的后驗概率密度均是高斯型的,它用均值和方差對系統(tǒng)的狀態(tài)進行描述．對于線性的、正態(tài)分布的系統(tǒng)狀態(tài)估計問題,KF能夠很好地解決．當過程噪聲或觀測噪聲為有色噪聲,濾波可能會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象．

1.2 顧及有色噪聲的卡爾曼濾波模型

GNSS數(shù)據(jù)處理中,相鄰歷元間隔較短,多路徑誤差在歷元間具有一定的相關性,致使系統(tǒng)過程噪聲可能為有色噪聲．如果把有色噪聲當作白噪聲處理,勢必造成濾波估計精度下降,甚至濾波結果發(fā)散．因此,探索顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法對提高多路徑誤差估計精度具有重要意義．

Γk/(k-1)Ωk.

(7)

(8)

(9)

于是有:

(10)

(11)

因為有:

(12)

則:

-(I+Jk-1Bk-1Γk-1)D(Ωk-1,k-2).

(13)

2 基于卡爾曼濾波的多路徑誤差估計

2.1 多路徑誤差狀態(tài)空間模型建立

(14)

式中:Δt為相鄰歷元時間間隔;Ωk為系統(tǒng)在tk時刻的動態(tài)噪聲．

記tk+1時刻有觀測向量Lk+1=mk+1,則系統(tǒng)在tk+1時刻的觀測方程可表示為

(15)

式中,Δk+1為系統(tǒng)在tk+1時刻的觀測噪聲．

2.2 濾波初始值的確定

(16)

(17)

同時得擬合殘差中誤差:

(18)

擬合系數(shù)協(xié)方差矩陣:

(19)

取第N點處狀態(tài)為初始狀態(tài),從N+1點處開始進行濾波遞推,即:

(20)

(21)

式中,

載波相位測量中,相位測量精度一般為波長的百分之一,即σ=λ/100．由于雙差觀測值為4個獨立觀測值線性組合,雙差解算結果的觀測噪聲方差陣為

D(Δk)=4σ2.

(22)

若將多路徑誤差在相鄰歷元間加速率的變化看作隨機擾動項,有系統(tǒng)過程噪聲[10]:

D(Ωk)=36Δt-6·D(Δk)

(23)

式(14)和式(15)構成了多路徑誤差估計的狀態(tài)轉移方程和觀測方程．式(20)和式(21)構成了濾波初始值及協(xié)方差,式(22)和式(23)為系統(tǒng)觀測噪聲和過程噪聲．

2.3 多路徑誤差估計實驗設計

采用雙差固定解算模型,逐歷元解算出監(jiān)測站各天的坐標序列并計算殘差序列后,提取首日多路徑誤差模型后,將之后各天的坐標序列向前平移,利用相關系數(shù)最大法確定最佳平移時間,最后將第一天得到的多路徑誤差改正模型對平移后的坐標序列進行改正,以此削弱具有周日重復性的多路徑誤差．其詳細步驟如下:

1)數(shù)據(jù)準備．利用GNSS接收機獲取基準站和監(jiān)測站連續(xù)多天同步觀測數(shù)據(jù)．

2)數(shù)據(jù)解算．將觀測數(shù)據(jù)導入到GNSS數(shù)據(jù)處理軟件,采用雙差固定解算模型,逐歷元解算出監(jiān)測站各天坐標序列．

3)計算殘差序列．將監(jiān)測站的已知坐標與解算出的坐標序列求差,得到監(jiān)測站各天的坐標殘差序列．

4)多路徑誤差估計．利用上述濾波估計模型,從第一天的殘差序列中剝離出觀測噪聲的影響,得到多路徑誤差改正序列．

5)多路徑誤差改正．利用第4)步得到的多路徑誤差改正模型對之后各天坐標序列進行修正,以此削弱多路徑誤差．

3 實驗分析

在距離約300 m的兩樓頂分別架設GNSS接收機進行相對定位觀測．選擇視野開闊,觀測條件良好處為基準站,如圖1所示．選擇周邊多路徑效應顯著(北側50 m處為高大建筑)處為監(jiān)測站．同時,為更加凸顯多路徑效應的影響,人為地在監(jiān)測站東側1.5 m處設置一多路徑反射面,監(jiān)測站及周邊環(huán)境如圖2所示．

圖1 基準站及周邊環(huán)境

圖2 監(jiān)測站及周邊環(huán)境

設置高度截止角10°,釆樣間隔5 s．自2017年3月1日(doy60)開始連續(xù)觀測至3月3日(doy62),選擇雙差固定解模式,逐歷元解算出監(jiān)測站各天N、E方向的坐標,同時得坐標殘差序列,圖3示出了監(jiān)測站連續(xù)3天N方向坐標殘差序列．由于基線長度非常短,差分解算后,坐標殘差序列中主要包括不具有空間相關性的多路徑誤差和高頻隨機噪聲．

為驗證兩種方法在多路徑誤差估計中的準確性和可靠性,分別利用標準卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波,對監(jiān)測站第一天(doy60)N方向的坐標殘差序列進行濾波處理,得到兩種多路徑誤差改正模型．圖4和圖5分別示出了兩種模型的狀態(tài)估計(包括多路徑誤差大小、變化速率及加速率)．

圖3 監(jiān)測站N方向各天殘差序列

由圖4及圖5可知,多路徑誤差對N方向定位結果影響在2 cm以下,且具有一定的周期性和頻率特征．另外,多路徑誤差在歷元間存在一定變化速率和加速率(加速率較小),由此驗證了多路徑誤差在歷元間的時變特征．

最后,為分析兩種模型估計出的多路徑誤差序列對原始坐標序列的改正效果,根據(jù)多路徑誤差的周日重復特性(相鄰兩天提前約236 s重復出現(xiàn)),對第二天和第三天坐標殘差序列向前整體平移(平移時間為150～350 s),平移步長為1 s．每完成一次平移,將平移后的殘差序列與前一天相對應的殘差序列求互相關系數(shù),以互相關系數(shù)最大所對應的平移時間來確定多路徑重復出現(xiàn)的時間．表1示出了最大相關系數(shù)與對應平移時間的統(tǒng)計情況．

表1 最大相關系數(shù)與平移時間統(tǒng)計表

表2 坐標序列改正前后均方根誤差統(tǒng)計cm

利用表2給出的最佳平移時間,對監(jiān)測站第二天(doy61)和第三天(doy62)N方向的坐標序列進行平移,利用上述兩種多路徑誤差改正模型對兩天的坐標序列進行改正．圖7和圖8分別示出了兩種多路徑誤差改正模型改正前后監(jiān)測站N方向坐標序列．

圖7 標準卡爾曼濾波模型改正效果

圖8 有色噪聲卡爾曼濾波模型改正效果

由圖7和圖8可知,坐標序列在經(jīng)多路徑誤差改正模型改正過后,具有時變特征的多路徑誤差得到大幅度削弱,改正后坐標序列中主要為觀測噪聲的影響．為分析兩種多路徑誤差改正模型對之后各天坐標序列的改正效果,表2統(tǒng)計兩種多路徑誤差改正模型改正前后坐標序列均方根誤差．

由表2可知,經(jīng)多路徑誤差改正模型改正后,坐標序列均方根誤差得到大幅度削弱,且利用顧及有色噪聲的卡爾曼濾波提取出的改正模型較標準卡爾曼濾波效果更優(yōu),另外,兩種模型在第二天(doy61)改正后的均方根誤差均小于第三天(doy62),由此說明多路徑誤差的周日重復特性會隨著相鄰天數(shù)的增加而減?。?/p>

多路徑誤差在歷元間具有相關性,致使系統(tǒng)過程噪聲在歷元間也具有相關性．標準卡爾曼濾波假設過程噪聲和觀測噪聲為不相關的高斯白噪聲,因此利用標準卡爾曼濾對多路徑誤差進行估計時,很難保證其估計精度．實驗表明,過程噪聲為有色噪聲時,基于有色噪聲卡爾曼濾波估計方法優(yōu)于標準卡爾曼濾波估計方法．同時結合多路徑誤差的周日重復特性,利用第一天多路徑誤差估計模型對之后各天坐標序列進行改正,坐標序列均方根誤差得到大幅度削弱,且利用顧及有色噪聲的卡爾曼濾波提取出的改正模型較標準卡爾曼濾波效果更優(yōu)．

4 結束語

本文以坐標殘差序列中多路徑誤差為研究對象,從觀測數(shù)據(jù)后處理入手,采用卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法對多路徑誤差進行研究,探討多路徑誤差削弱方法．得出如下結論:

1)建立了多路徑誤差狀態(tài)空間模型．根據(jù)多路徑誤差在歷元間的時變特性,以多路徑誤差大小、變化速率、加速率作為狀態(tài)變量,建立多路徑誤差狀態(tài)空間模型,利用標準卡爾曼濾波及顧及有色噪聲的卡爾曼濾波從雙差固定解的坐標殘差序列中估計出多路徑誤差．

2)顧及有色噪聲的卡爾曼濾波誤差估計方法效果要優(yōu)于標準卡爾曼濾波．其主要原因是多路徑誤差在歷元間具有相關性,致使過程噪聲在歷元間也具有相關性．標準卡爾曼濾波假設過程噪聲和觀測噪聲為不相關的高斯白噪聲,因此利用標準卡爾曼濾波對多路徑誤差進行估計時,很難保證其估計精度．

3)多路徑誤差改正方法．本文以GPS載波相位測量中的多路徑誤差為研究對象,利用上述多路徑誤差估計方法從監(jiān)測站第一天的坐標殘差序列中估計出多路徑誤差,并根據(jù)多路徑誤差的周日重復特性,對之后各天的坐標序列進行改正,以此削弱多路徑誤差的影響． 但多路徑誤差的周日重復特性是建立在監(jiān)測站周邊環(huán)境不變或者變化很小的基礎上,因此本文的研究方法僅適用于測站周邊環(huán)境保持不變或者變化很小的情況,如水庫大壩、滑坡及高大建筑物等的變形監(jiān)測．