周期激勵下van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)的簇發(fā)振動及其機理

建花 李向紅 申永軍

摘要：研究了慢變周期激勵下van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)的振動響應及其產生機理。利用快慢分析法，揭示了簇發(fā)振動的產生機理，并討論了激勵幅值對系統(tǒng)響應的影響。研究發(fā)現(xiàn)，兩個Hopf分岔導致不同吸引子之間的轉遷是產生雙Hopf簇發(fā)的主要原因。慢變過程與快變過程共同影響系統(tǒng)響應，并且兩者之間存在有趣的博弈現(xiàn)象：當激勵幅值較小時，快變過程穩(wěn)定吸引子對系統(tǒng)起著主導作用;激勵幅值較大時，慢變過程對系統(tǒng)響應的影響更明顯，并從系統(tǒng)響應的頻率成分和分岔機理兩方面詳細解釋了這一博弈現(xiàn)象。同時，在周期簇發(fā)振動中，系統(tǒng)存在激發(fā)態(tài)滯后行為，利用匹配漸近展開法分析了滯后機理，并計算出了有轉折點情況下激發(fā)態(tài)滯后的近似時間。

關鍵詞：非線性振動;簇發(fā);滯后;分岔;快慢系統(tǒng)

中圖分類號：0322

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-1067-10

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 016

引言

許多領域都存在快慢系統(tǒng)，如機械工程[12]、生物神經[3-4]、化學反應[5-6]、電子電路[7-8]等?？炻到y(tǒng)極易出現(xiàn)簇發(fā)振動（也稱作混合模式振動）[9-10]，即由若干較大振幅振動（激發(fā)態(tài)）和若干微小振幅振動（沉寂態(tài)）交替變化構成的周期振動[11-12]。針對此類現(xiàn)象，早期研究主要側重于實驗、數(shù)值模擬等方法。直到Rinzel，Izhikevich等[13-14]將快慢分析法和分岔理論引入到簇發(fā)現(xiàn)象的分析中，簇發(fā)現(xiàn)象的產生機理才開始被許多學者關注。王曉宇等[15]用快慢分離和多尺度法，研究了計入子星姿態(tài)的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在平衡位置附近的穩(wěn)態(tài)振動，并發(fā)現(xiàn)了子星的高頻振動和系繩的低頻振動之間存在明顯的耦合現(xiàn)象。Jiang等[16]發(fā)現(xiàn)了當輕量桿的轉動慣量遠小于電機的轉動慣量時，帶柔性桿的電機一連桿系統(tǒng)為快慢耦合系統(tǒng)。文獻[17-21]深入研究了大量神經元模型的簇發(fā)振動行為及其在各種復雜結構下的多尺度同步轉遷過程。文獻[22-25]針對分段、多頻、非光滑、高維等因素下的復雜非線性系統(tǒng)的簇發(fā)振動及其產生機理做了大量工作。李向紅等[26-27]給出了包絡快慢分析法，該方法適用于三時間尺度的簇發(fā)現(xiàn)象機理研究，并在參數(shù)變易法的基礎上提出了一種適合快慢系統(tǒng)的近似解析方法。劉富豪等[28]建立了基于速度協(xié)調法的齒輪副碰撞動力學模型，提出了針對該模型的“碰撞”數(shù)值算法，并利用該算法計算出了系統(tǒng)周期解對應的離散狀態(tài)轉移矩陣，進而求得了Floquent乘子，借此判斷了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性。最近，Roberts等[29]研究了氣候數(shù)據中復雜的混合模式振動行為。Mitra等[30]針對輝光放電等離子體系統(tǒng)，探討了無碰撞磁化等離子體混合模式振動的典型現(xiàn)象及其相應的非線性行為。Kingston等[31]采用實驗與數(shù)值仿真兩種方法，得到了基于憶阻器的Lienard系統(tǒng)中存在混合模式振動。

另一方面，van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)是一類典型的自激振動系統(tǒng)，常常用來模擬生物力學、機械工程和電路系統(tǒng)等工程領域的非線性行為。比如，Carlos等[32]利用耦合的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)對雙足機器人進行建模。Erlicher等[33]提出了一種單自由度振動器，這種振動器可以模擬在周期性移動的地板上行走的人的側向振動，并給出了諧波激勵下改進的混合van der Pol-Rayleigh模型的穩(wěn)態(tài)“夾帶”響應。Trovato等[34]分析了在周期激勵下改進的混合van der Pol-Rayleigh振動器“夾帶”響應的穩(wěn)定性，并將討論的結果應用于行人建模問題中。同時很多學者在van der Pol-Rayleigh振子的穩(wěn)定性和分岔等方面做了大量工作。Benguria和De-passier[35]得到了van der Pol-Rayleigh方程的周期和振幅的漸近值。Lupu和Isaia[36]利用廣義的vander Pol-Rayleigh方程研究了具有分段參數(shù)的非線性動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和自激振動的條件。Huang[37]探討了隨機van der Pol-Rayleigh方程的隨機分岔、旋轉數(shù)、隨機極限環(huán)和吸引子行為。Yang等[38]研究了不同系統(tǒng)參數(shù)和白噪聲對vander Pol-Rayleigh振子響應的影響，并給出了隨機分岔的臨界條件。

目前針對van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)的快慢效應方面的研究工作較少。因此，本研究將致力于不同尺度耦合的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)。事實上，實際工程系統(tǒng)常常受到不同頻率干擾的外界因素影響。當受周期激勵作用且激勵頻率遠小于固有頻率時，系統(tǒng)是一個典型的快慢系統(tǒng)。研究其快慢效應，討論參數(shù)對系統(tǒng)的影響規(guī)律，可以預測這一類系統(tǒng)的各種復雜運動形式;揭示簇發(fā)振動的分岔機制，有助于深刻理解不同尺度導致的復雜行為的產生原因，為系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化提供理論依據。另一方面，自激振動對機械系統(tǒng)的性能有重要影響，充分考慮低頻擾動因素，深入研究機械系統(tǒng)中復雜自激振動及其產生機制，在實際工程中，可以根據實際情況，合理利用或提前規(guī)避這些振動。在周期激勵的快慢系統(tǒng)中，常常存在著分岔滯后的現(xiàn)象。針對van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)，將利用匹配漸近展開法給出有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后的近似時間。該研究結果能為實際系統(tǒng)工程及Hopf分岔控制的研究提供一定的理論指導意義。

1 系統(tǒng)方程與分岔分析

具有周期激勵的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)為式中 ω0>O，ω>O，γ>O，a>O，f>O，β>O為系統(tǒng)參數(shù)。當系統(tǒng)周期激勵頻率較小，即ω≤ω0且ω≤1時，周期激勵為系統(tǒng)的慢變過程，式（1）為快慢耦合的系統(tǒng)。為了深入研究系統(tǒng)動力學行為及其分岔機制，將激勵F=fcos（wt）作為快變過程的慢變分岔參數(shù)?？紤]自治系統(tǒng)該系統(tǒng)的平衡點為E0（F/ω20，O），其派生線性系統(tǒng)的特征方程為點是穩(wěn)定結點。

固定參數(shù)γ=0.8，ω=0.002，ω0=0. 64，a=0. 59，β=1.95，給出系統(tǒng)（2）的激勵F與x的分岔圖，如圖1所示（實點、實線表示穩(wěn)定，虛線表示不穩(wěn)定）。平衡線AIA2是由四種不同類型的平衡線組成，其中AIB1，B2A2上的平衡點為穩(wěn)定結點，BIH1，H282上的平衡點為穩(wěn)定焦點，HIC1、C2H2上的平衡點為不穩(wěn)定焦點，CIC2上的平衡點為不穩(wěn)定結點。點Hl，H2為Hopf分岔的臨界點;Bl，B2為轉折點[39-41]，HIH2上存在穩(wěn)定的極限環(huán)。點Cl，C2，Bl，B2，Hl，H2的坐標分別為（Fc.，XCl）=（一0.3373，-0. 8234），（F C2，TC2） =（0. 3373，0. 8234），（F B1，XBl）=（一1.01178，-2.47016），（F B2 9XB2）=（1. 01178 ，2. 47016）， （F Hl nHl）=（-0. 7541350，-1.84115），（FH2 9XH2）=（0. 754135091. 84115）。

2 慢變周期激勵作用下系統(tǒng)的簇發(fā)響應

參數(shù)γ，ω，ω0，a，β的取值與第1節(jié)相同。隨著激勵幅值廠的變化，系統(tǒng)（1）存在不同的動力學行為。圖2給出了廠分別取0.3，0. 754，2，1 0時，系統(tǒng)（1）的時間歷程圖。在圖2（a）中，激勵幅值f=0.3，系統(tǒng)的軌線呈現(xiàn)出兩個頻率耦合的周期振動行為。一個頻率與周期激勵頻率ω=O.002一致;另一個頻率接近快變過程的固有頻率。由于固有頻率遠大于激勵頻率，在這組參數(shù)下，系統(tǒng)在每個慢變周期過程中一直按照固有頻率進行近等幅高頻振動，即系統(tǒng)一直呈現(xiàn)激發(fā)態(tài)振動。隨著周期激勵振幅的增加，系統(tǒng)的等幅高頻振動逐漸演變?yōu)樽兎哳l振動，即高頻振動的幅值在每個激勵周期內存在明顯變化，如圖2（b）所示。當激勵幅值繼續(xù)增加，圖2（c）給出了廠=2時系統(tǒng)的簇發(fā)振動響應，發(fā)現(xiàn)在每個慢變周期內系統(tǒng)逐漸演化為兩種振動模式：一種是高頻大幅振動的激發(fā)態(tài);另一種是沒有高頻振動的沉寂態(tài)，此類振動即為簇發(fā)（混合模式振動）。當激勵幅值繼續(xù)增加，如圖2（d）所示，在每個慢變周期內激發(fā)態(tài)消失，只存在沉寂態(tài);同時，系統(tǒng)的周期響應只存在激勵頻率及其倍頻成分，系統(tǒng)的固有頻率成分在周期響應中消失。

另一方面，給出廠分別取0.3，0. 754，2，1 0時的頻譜圖，如圖3（a）一（d）所示，v和a分別代表振動的頻率和振幅，其中v1=ωn/2∏=0.64/6.28=0.1019，v2=ω/2∏=0.002/6.28=0.00031847。 由圖3（a）一（d）可得，當激勵幅值f=0.3時，系統(tǒng)中同時存在固有頻率及其倍頻和激勵頻率，但固有頻率起主導作用，也即快變過程對系統(tǒng)的影響較大，因此，系統(tǒng)軌線表現(xiàn)為激發(fā)態(tài)振動。隨著激勵幅值的不斷增大，固有頻率成分越來越弱，激勵頻率影響逐漸增強。當激勵幅值廠=10時，頻譜圖中只呈現(xiàn)激勵頻率及其倍頻，也即系統(tǒng)只受慢變過程影響。因此，系統(tǒng)軌線中激發(fā)態(tài)消失，只表現(xiàn)為沉寂態(tài)振動。

由此可見，從系統(tǒng)響應的頻率成分中可以發(fā)現(xiàn)快變和慢變參數(shù)共同影響系統(tǒng)的響應，快變過程的頻率為系統(tǒng)的固有頻率，慢變過程為周期激勵過程，其頻率為周期激勵頻率。當幅值較小時，在整個系統(tǒng)響應中同時存在快變和慢變兩個過程的頻率成分;當激勵幅值很大時，整個系統(tǒng)響應只存在慢變過程的頻率。因此，隨著激勵幅值的增加，快變過程對整個系統(tǒng)的影響逐漸減弱，慢變過程對整個系統(tǒng)響應的影響相對增強。

3 簇發(fā)響應的產生機理

為了深入解釋上述現(xiàn)象，利用快慢分析法來揭示系統(tǒng)響應的產生機理?？炻治龇ㄗ钤缬蒖inzel提出，用于揭示不同尺度快慢耦合系統(tǒng)的簇發(fā)行為的產生機理，廣泛應用于研究神經元系統(tǒng)、生化反應系統(tǒng)、電化反應系統(tǒng)等領域的多時間尺度問題，并取得了一定的成果。本文研究的周期激勵下vander Pol-Rayleigh系統(tǒng)在一定條件下是快慢耦合系統(tǒng)，因此，快慢分析法能有效地解釋簇發(fā)行為的產生機理。具體步驟為將慢變量作為快變過程的慢變調節(jié)參數(shù)，進一步將系統(tǒng)軌線與快變過程分岔圖疊加，進而來討論簇發(fā)機理。為此，作出快變量x與慢變量fcos（0.002t）的轉換相圖，并將此相圖與分岔圖圖1疊加，得到圖4。圖4（a）給出了廠=0.3時轉換相圖和分岔圖的疊加圖。顯然，廠一0.3時，F(xiàn)=0.3cos（wt）在區(qū)間[一0.3，0.3]之間緩慢變化，導致整個系統(tǒng)軌線只涉及快變過程極限環(huán)吸引子，因此軌線會一直呈現(xiàn)高頻振動的激發(fā)態(tài)。從圖4（a）可以看出，系統(tǒng)的振動幅值與快變過程的極限環(huán)振幅高度一致。隨著廠依次增大，系統(tǒng)軌線逐步向兩邊擴散，直至廠到達H2時軌線充滿整個極限環(huán)區(qū)域，圖4（b）給出了f≈FH2時轉換相圖和分岔圖的疊加圖。從圖4（b）中可以看出，在Hopf分岔臨界點附近，快變過程極限環(huán)的振幅逐漸減小導致了整個系統(tǒng)軌線的高頻振動幅值也發(fā)生了變化。

當f>FH2時，F(xiàn)=fcos（wt）的變化會使得快變過程呈現(xiàn)不同類型的吸引子，即穩(wěn)定極限環(huán)和穩(wěn)定平衡點。圖4（c）給出了f=2時的疊加圖，當系統(tǒng)軌線訪問快變過程的極限環(huán)吸引子時，系統(tǒng)呈現(xiàn)高頻振動的激發(fā)態(tài);當軌線訪問快變過程的穩(wěn)定平衡點吸引子時，系統(tǒng)會收斂到穩(wěn)定的平衡線上.呈現(xiàn)沉寂態(tài)。在激勵變化范圍內，系統(tǒng)涉及到快變過程的兩個Hopf分岔臨界點。一個周期內，軌線要4次經過這些臨界點，在不同穩(wěn)定吸引子之間來回切換，導致了在一個周期內出現(xiàn)了兩次激發(fā)態(tài)和兩次沉寂態(tài)，因此稱之為雙Hopf簇發(fā)振動。

當激勵幅值繼續(xù)增加，系統(tǒng)存在遠離和趨近快變過程的吸引子兩種趨勢。激勵幅值的增加導致系統(tǒng)周期響應振幅在不同方向上增加。與幅值較小時相比，此時快變過程的吸引子對系統(tǒng)響應的吸引性減弱，導致高頻振動消失。但是，快變過程的穩(wěn)定吸引子依然存在，體現(xiàn)在軌線會遠遠地圍繞穩(wěn)定平衡線和極限環(huán)運動，如圖4（d）和（e）所示。如果激勵幅值繼續(xù)增加，快變過程吸引子的吸引性將會越來越弱，響應中周期激勵的特征越來越明顯。

綜上所述，可發(fā)現(xiàn)快變和慢變過程共同調節(jié)整個系統(tǒng)的響應。慢變周期激勵會使得系統(tǒng)軌線在區(qū)間[一f，f]之間振動，振動過程中軌線會遇到快變過程的不同類型的吸引子，因而產生不同的振動形式。當激勵振幅較小時，系統(tǒng)軌線將完全按照快變過程的穩(wěn)定吸引子運動;隨著幅值的增加，響應逐漸擺脫吸引子的吸引，即快變過程對系統(tǒng)響應的影響逐漸減弱，慢變過程的影響會逐漸增強。總之，不同穩(wěn)定吸引子的吸引是沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)相互轉遷的原因，這與Rinzel在其他領域的研究結果一致。因此，利用快慢分析法揭示快慢現(xiàn)象的產生機理是可靠的。

4 滯后現(xiàn)象及其產生機理

在簇發(fā)振動中，存在著激發(fā)態(tài)滯后的現(xiàn)象。如圖5所示，其中ω0，ω，γ，a和β與第1節(jié)保持一致。圖5（a）和（b）分別給出了f=2時周期激勵增加和減少兩個方向上的激發(fā)態(tài)滯后現(xiàn)象，即當廠cos（ωt）增大時，軌線經過Hopf分岔臨界點Hl后，并沒有馬上進入激發(fā)態(tài)而是依然保持了一段時間的沉寂態(tài)，然后才進入激發(fā)態(tài)，即產生激發(fā)態(tài)滯后現(xiàn)象。系統(tǒng)軌線經過H2后，也并沒有馬上進入沉寂態(tài)，而是維持了一段時間的激發(fā)態(tài)，此時產生沉寂態(tài)滯后現(xiàn)象。當fcos（ωt）減小時，軌線經過Hopf分岔臨界點H2和Hl后，情況亦然。下面用近似理論來分析與快時間有關的沉寂態(tài)過程的穩(wěn)定性。

令r=ωt， 并其代入式（1）中，得到下式：對于式（4）來說，快變過程的平衡點（x0，y0）=進一步討論穩(wěn)定平衡點類型可得，平衡點在

將方程（4）的沉寂態(tài)過程稱為準靜態(tài)解，用（x，y）表示。因為ω《1，（x，y）是O（ω）量級，因此（x，y）可以寫成如下形式

將式（5）和r=ωt代入式（1）中，對比ω零次冪的系數(shù)得到方程（1）的準靜態(tài)解（x00，y00）=（x0，y0），即因此

因為ω《1，所以可忽略ω和ω2等項，也即（x（z，ω），y（z，ω））=（x00，y00）可作為系統(tǒng)（4）的穩(wěn)態(tài)解。但準靜態(tài)解對時間t的穩(wěn)定性還不確定，因此需要進一步分析。

令代人式（1）得

由W KB指數(shù)近似理論[39]知式（9）存在以下形式的解式（11）與式（3）具有相同的形式。

在圖5中，Hl和H2關于廠cosz=O對稱，所以在H2附近的激發(fā)態(tài)滯后和在Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后類似，因此只分析Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后行為。從式（llb）發(fā)現(xiàn)，當2y-rax2=O時，F(xiàn)H1=

≈-0. 754。根據圖1可知，F(xiàn)

在圖5（a）中，f=2>1.01178，屬于有轉折點的情況。并且dφ/dz的取值情況如下

準靜態(tài)解（x，y）的穩(wěn)定性取決于φ=φ（z），即Re（φ）

當Re（φ）O時，準靜態(tài)解失穩(wěn)，激發(fā)態(tài)才會產生。因而往往存在激發(fā)態(tài)滯后于Hopf分岔點的現(xiàn)象。

下面將通過求式（14）的最小正解來計算滯后時間的近似值。

給出f=2在初值為z0=4. 162下的z與x的時間歷程圖，如圖6（a）所示。已知zB1=4.189，zH1=4. 326。根據式（16）可得f=2相對于初值z0=4. 162的滯后時間為：zh=z1 - zHl =4. 388 -4.326=0. 062。將圖6（a）局部放大可在圖6（b）中更直觀地看出滯后的時間z1與初值z0有關。進一步給出圖6（c）所示的z與dφ/dz關系圖，其中區(qū)域工的面積與區(qū)域Ⅱ的面積之和近似等于區(qū)域Ⅲ的面積，即

由于慢變參數(shù)激勵是周期激勵，所以激發(fā)態(tài)滯后也具有周期性。給出廠=2時初值分別為z0=4. 174，4.18，4.184的z與x的時間歷程圖，如圖7（a）所示。根據式（16）可得，第1個周期對應的滯后時間Th分別為：0. 059，0.0582，0.0581。隨著初值的增大，滯后時間逐漸減小。第2，3個周期的滯后時間分別約為0. 057，0.061。將圖7（a）中第1個周期、第2個周期和第3個周期Hl附近局部放大，可得只有第1個周期的時間歷程圖不重合。第1個周期之后，3個初值下Hl附近的時間歷程圖完全重合。由此，可說明第1個周期之后Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后時間完全相同，并且與初值無關。

給定不同的初值，在第1個周期內激發(fā)態(tài)滯后時間與初值有關。延長時間到第3個周期結束，可發(fā)現(xiàn)不同初值下的時間歷程圖在第2，3個周期內激發(fā)態(tài)的滯后時間相同。因此，初值對激發(fā)態(tài)滯后時間的影響不是一直都存在，在第1個周期之后這種影響便消失了。利用匹配漸近展開法計算出每個周期內Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后時間大約為0.06。

利用匹配漸近展開法和近似理論計算有無轉折點時激發(fā)態(tài)滯后時間是由Erneux等[41]提出的，此后，眾多學者[39-47]用近似理論求得了無轉折點時系統(tǒng)軌線緩慢通過分岔點時的滯后時間，本文考慮有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后時間的條件與文獻[41]中的條件完全一致，計算過程與文獻[42]提出的匹配漸近展開法的計算過程相同。因此，利用匹配漸近展開法求周期激勵下van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)中激發(fā)態(tài)滯后時間是有效的。計算結果與數(shù)值模擬結果吻合良好，故結果是可靠的。

5 結 論

當引入慢變周期激勵時，van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)是快慢耦合系統(tǒng)。在一定的參數(shù)范圍內系統(tǒng)存在典型的雙Hopf簇發(fā)響應。利用快慢分析方法，發(fā)現(xiàn)當軌線涉及兩個Hopf分岔臨界點時，系統(tǒng)將在不同吸引子之間切換，系統(tǒng)的雙穩(wěn)性導致了激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)的交替出現(xiàn)，即雙Hopf簇發(fā)。當軌線只涉及極限環(huán)吸引子時，系統(tǒng)只存在高頻振動的激發(fā)態(tài)，沉寂態(tài)消失。研究表明，在一定的參數(shù)范圍內，慢變過程和快變過程共同影響整個系統(tǒng)的響應類型。且幅值不同時，快慢過程對整個系統(tǒng)響應的影響作用也不同。在激勵幅值較小時，快變過程的影響更突出一些;激勵幅值較大時，慢變過程的周期激勵對系統(tǒng)的影響更明顯一些。此外，在Hopf分岔臨界點Hl和H2附近存在激發(fā)態(tài)滯后行為，利用匹配漸近展開法給出了有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后的近似時間，給Hopf分岔控制的研究提供一定的理論指導。

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