次大體積增長條件下非緊黎曼流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

陳愛云, 薛 瓊*, 陳歡歡, 肖小峰

(1. 武漢理工大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 武漢 430070; 2. 武漢紡織大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 湖北 武漢 430073)

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)M是n維完備非緊具有非負(fù)Ricci曲率的黎曼流形,若

則M具有大體積增長.這里vol[B(p,r)]表示M上以點(diǎn)p為中心r為半徑的開球的體積,wn表示Rn空間中單位球的體積.

若

則M具有小體積增長.

αr2≥vol[B(p,r)]≥βr2,

?r>0, 0<α<2β,

則M是可縮的.

注1該定理是僅有的既非大體積增長又非小體積增長的拓?fù)溆邢藿Y(jié)果,因此提出了次大體積增長的概念.

隨后,Zhan等[2]進(jìn)一步研究這類流形的拓?fù)溆邢藿Y(jié)果.在引入結(jié)果之前,先給出一些記號(hào).令

其中

本文主要研究n維完備非緊具有非負(fù)Ricci曲率的黎曼流形,滿足?p∈M,?r>R,

是單調(diào)減函數(shù),

(1)

(2)

其中R是一個(gè)固定的常數(shù).

2006年,文獻(xiàn)[2]中的定理1.2證明了這類流形在截曲率有負(fù)下界的條件下,只要滿足

則M具有有限拓?fù)湫?2008年,文獻(xiàn)[3]中的定理5.11將體積增長的條件作了改進(jìn),得到了

為了得到更強(qiáng)的結(jié)果,本文的研究豐富了此方面的理論.主要結(jié)果如下.

(3)

其中,Rp為所有從p點(diǎn)出發(fā)的射線集合,則M微分同胚于Rn.

(4)

其中R是給定的大的常數(shù),則M微分同胚于Rn.

2 準(zhǔn)備工作

對(duì)?p,q∈M,p、q的Excess函數(shù)定義為

epq(x)=d(p,x)+d(q,x)-d(p,q),

(5)

其中d(p,q)表示從p到q的距離.

Abresch等[5]得到了一個(gè)Excess估計(jì),給出了一個(gè)上界.后來,Shen[6]把這個(gè)定理推廣到第k個(gè)Ricci曲率的情形.

(6)

其中,h=d(x,γ),s=min(d(p,x),d(q,x)).

記Σ為p點(diǎn)處切空間TpM上單位球面SpM的一個(gè)閉子集,令

BΣ(p,r)={x∈B(p,r)|γ是一條從p到x的

對(duì)任意0

Σp(r)={v∈SpM|γ(t)=expp(tv):

[0,r)→M是一條極小測(cè)地線}.

注意

Σp(r2)?Σp(r1), 0

(7)

于是有如下引理.

引理2設(shè)M是n維完備非緊具有非負(fù)Ricci曲率的黎曼流形,且滿足(1)和(2)式,則

?r>R0>R, (8)

這里R0是一常數(shù).

證明注意到

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的引理2.4可得

vol[BΣp(r)Σp(∞)(p,r)]≤

(10)

由(7)式知

(11)

將(10)式代入(9)式中,當(dāng)r→∞時(shí),由文獻(xiàn)[8]中的引理2.3以及(11)式知

結(jié)合文獻(xiàn)[9]中的引理2.4的證明方法證明下面引理.

引理3設(shè)M是n維完備非緊具有非負(fù)Ricci曲率的黎曼流形,且滿足(1)和(2)式,則對(duì)?x∈?B(p,r)和足夠大的r,有

[r+d(x,Rp)].

(12)

證明令h=d(x,Rp),且h≤r,

B(x,h)∪BΣp(∞)(p,r+h)?B(p,r+h). (13)

通過(1)及(13)式可得?r>R,

vol[B(x,h)]+vol[BΣp(∞)(p,r+h)]≤

vol[B(p,r+h)]≤

(14)

這里由于In(r)是單調(diào)遞減的,所以有

In(h)hn-1βM≤In(∞)vol[B(x,h)].

(15)

結(jié)合引理2以及(14)和(15)式,當(dāng)r足夠大時(shí),就有

In(h)hn-1βM≤

因此

故

3 主要定理的證明

定理1的證明因?yàn)镃ritp≥r0,所以B(p,r0)內(nèi)沒有異于p點(diǎn)的臨界點(diǎn).對(duì)?x∈MB(p,r0),滿足r=d(p,x)≥r0,要證明流形M微分同胚于Rn,只需要證明點(diǎn)x不是d(p,x)的臨界點(diǎn)即可.

的解,并取定理1中的

(17)

因?yàn)閞≥r0,對(duì)?m∈Rp,使得d(x,m)=d(x,Rp),令s=d(x,m),由(3)和(17)式知

(18)

設(shè)γ:[0,+∞)→M是從p點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過m點(diǎn)的射線,由三角形不等式可知,對(duì)任意t≥2r,有

min(d(p,x),d(x,γ(t))=r,

因此m∈γ((0,2r)),有d(x,γ|[0,2r])=s.再由引理1以及(17)和(18)式知

(19)

(20)

由三角不等式、(5)和(19)式可知

(21)

將(21)式代入(20)式,結(jié)合(16)式,得到

因此,點(diǎn)x不是d(p,x)的臨界點(diǎn),故M微分同胚于Rn.

結(jié)合定理1可證明定理2.

定理2的證明取定理2中的

(23)

這里的ε為定理1中的ε.

事實(shí)上,固定r≥r0,x∈?B(p,r),由于d(x,Rp)≤r,結(jié)合引理3、(4)和(23)式,可知

h≡d(x,Rp)≤

故

(24)

(1+4hr-1)n-1≤1+2hr-1(3n-1-1).

(26)

根據(jù)(15)和(25)～(26)式可得

In(h)hn-1βM≤In(∞)vol[B(x,h)]≤

vol[B(p,r)]-vol[BΣp(∞)(p,r)]≤

(28)

因此,由(27)和(28)式知

故根據(jù)定理1知定理2結(jié)論成立.

注4定理2改進(jìn)了文獻(xiàn)[8,11]中次體積增長的指數(shù),同樣得到更強(qiáng)的M微分同胚于Rn,推廣了文獻(xiàn)[8,11]的結(jié)論.