一個(gè)具有雙線性發(fā)生率的隨機(jī)SIR傳染病模型的 動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

李明山， 張渝曼， 劉秀敏， 黃 鑫， 周效良*

(1. 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南京 211106； 2. 嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 湛江 524048)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

SIR傳染病模型在傳染病的防控研究當(dāng)中具有重要作用，自1927年 Kermack等[1]提出SIR模型以來(lái),傳染病模型得到長(zhǎng)足的發(fā)展，許多傳染病模型和與其相關(guān)的理論被用于分析各種各樣的傳染病問(wèn)題[1-28].這些傳染病模型大致可以分為2類，即確定模型和隨機(jī)模型，對(duì)于確定模型已有許多優(yōu)秀成果[2-5,23-25].隨機(jī)傳染病模型在研究傳染病傳播機(jī)理具有重大作用，在現(xiàn)實(shí)生活中，環(huán)境噪聲無(wú)處不在，研究環(huán)境噪聲對(duì)傳染病傳播的影響在傳染病的防控中是非常重要的.王克[28]指出傳染病模型中的每一個(gè)參數(shù)都會(huì)受到環(huán)境的隨機(jī)干擾，在某種程度上表現(xiàn)為隨機(jī)波動(dòng).例如傳染病模型中的接觸率和疾病死亡率會(huì)受到諸如生物個(gè)體的年齡、性別、體質(zhì)、心情以及氣候、季節(jié)等因素的隨機(jī)干擾.而確定模型并沒(méi)有考慮這些隨機(jī)因素，只能在一定程度上大致反映傳染病傳播的真實(shí)情況.應(yīng)用隨機(jī)微分方程來(lái)研究傳染病動(dòng)力學(xué)能更好地?cái)M合實(shí)際情況，Arnold等[19]和May[20]首先在這方面做出了奠基性工作，隨后國(guó)內(nèi)外涌現(xiàn)出大量的研究成果[6-11,13-15].隨機(jī)傳染病模型基本保持了連續(xù)傳染病模型的基本特征,還可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，有利于進(jìn)一步研究傳染病的傳播機(jī)制從而揭示隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和生物學(xué)意義，為人們預(yù)防和控制傳染病提供一些理論依據(jù)和策略.

文獻(xiàn)[21-22]研究了如下具有雙線性發(fā)生率連續(xù)傳染病SIR模型

(1)

這里，S、I、R分別代表易感者、染病者、康復(fù)者，β>0是感染率,b是出生率并且等于死亡率,γ是康復(fù)率.本文將研究SIR傳染病模型(1)的隨機(jī)情形.文獻(xiàn)[22]假設(shè)—群體總數(shù)保持常數(shù)N,即

S(t)+I(t)+R(t)=N.

實(shí)施尺度變換

(2)

即對(duì)所有的時(shí)間t有

S(t)+I(t)+R(t)=1.

(3)

系統(tǒng)(1)可變?yōu)?/p>

(4)

其中系統(tǒng)(4)有2個(gè)平衡點(diǎn)，其中一個(gè)是無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0)，另外一個(gè)是地方病平衡點(diǎn)

用β+σB(t)代替β，這里B(t)表示標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，σ2表示布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度.采取標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)作為模型的隨機(jī)擾動(dòng)是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)考慮到各種至關(guān)重要的數(shù)據(jù)，同時(shí)也因?yàn)槟Ｐ偷膮?shù)是隨著環(huán)境的改變而改變的，因此考慮將環(huán)境的波動(dòng)引入模型(4)中，將參數(shù)β看成一個(gè)隨機(jī)變量，這樣β能夠?qū)⒛Ｐ褪艿江h(huán)境白噪聲的影響體現(xiàn)出來(lái).所以用β+σB(t)代替β，得到如下隨機(jī)SIR模型

(5)

2 系統(tǒng)(5)正解的存在唯一性

因?yàn)镾(t)和I(t)分別表示在時(shí)刻t易感者和染病者群體的規(guī)模，所以它們必須是正的，為了進(jìn)一步的研究，首先應(yīng)該給定某些條件使得系統(tǒng)(5)存在唯一的正解.

定理2.1對(duì)任意的初值

這里τ指的是爆破時(shí)間[16].為了證明上述局部解是全局的，只需證明τ=+∞,a.s.，因此定義停時(shí)[16]

τ′=inf{t∈(0,τ):S(t)≤0或I(t)≤0}，

從τ′的定義易知inf ?=+∞，可以得到τ′≤τ，如果能夠證明τ′=+∞,a.s.，就可以得到τ=+∞,a.s.，由此即可得到

假設(shè)τ′<+∞，則存在一個(gè)常數(shù)T>0，使得

P{τ′0.

定義C2函數(shù)

σI(t)dB(t)+σS(t)dB(t)≥

記

故可以得到

dV(S(t),I(t))≥G(S(t),I(t))dt-

σI(t)dB(t)+σS(t)dB(t).

(6)

在不等式(6)的兩邊從0到t積分有

(7)

記(S(τ′),I(τ′))=(0,0)，有

在不等式(7)中令t→τ′，有

(8)

這就產(chǎn)生矛盾.因此可以得到τ′→+∞，這也證明了S(t)和I(t)不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破是依概率1的，定理2.1證畢.基于定理2.1的證明過(guò)程可以知道系統(tǒng)(5)的正向不變集為

Π={(S,I):S>0,I>0,S+I≤1}.

因此在下文只需考慮系統(tǒng)(5)在

Π={(S,I):S>0,I>0,S+I≤1}

內(nèi)的解即可.

3 傳染病消亡的充分條件

定理3.1設(shè)(S(t),I(t))是系統(tǒng)(5)初值為(S(0),I(0))∈Π的解，有

(9)

引理3.1設(shè)M(t):t≥0是一個(gè)具有初值為M(0)=0的局部連續(xù)鞅，〈M(t)〉是M(t)的二次變差，令δ>1，γn、τn是2個(gè)正項(xiàng)序列，則對(duì)幾乎所有ω∈Ω，存在一個(gè)正整數(shù)n0=n0(ω)，使得對(duì)?n≥n0有

(10)

定理3.1證明對(duì)系統(tǒng)(5)應(yīng)用It公式有

(11)

對(duì)(11)式兩邊從0到t積分得

(12)

(13)

在引理3.1中選取δ=2,γn=γ和τn=n，對(duì)幾乎所有的ω∈Ω，存在一個(gè)正整數(shù)n0=n0(ω)使得對(duì)任意的n≥n0有

(14)

由(12)和(14)式可得

lnI(t)

(15)

=

(16)

≤

(17)

(18)

故可以得到

(19)

所以對(duì)任意的n-1≤t≤n，在不等式(19)兩邊同除t得到

(20)

令n→+∞，從而t→+∞，由此有

(21)

令γ→0，則有

(22)

(23)

由常數(shù)變易法有

(24)

4 傳染病在均值意義下的持久性

定理4.1如果有

(25)

則對(duì)任意初值(S(0),I(0))∈Π，系統(tǒng)(5)的解有如下性質(zhì)

(26)

定理4.1證明

(27)

(28)

(29)

其中

(30)

σS(t)(I(t)+1)dB(t)≥

(31)

對(duì)不等式(31)兩端從0到t進(jìn)行積分

(32)

化簡(jiǎn)得

(33)

由定理2.1可以知道-∞

(34)

(35)

故由文獻(xiàn)[13]可知，傳染病在條件(35)式下在均值意義下是持久的,定理4.1證畢.

5 系統(tǒng)(5)生物學(xué)解釋及防控措施

根據(jù)R0的表達(dá)式，可以初步得到以下防控思路和措施:調(diào)整R0中的有關(guān)參數(shù)，使R0盡可能小，為此可以采取下面措施：

1) 研發(fā)高效專門(mén)傳染病疫苗，高效疫苗使得治愈率γ高，R0就越小，傳染病的可能性就會(huì)變大；

2) 在學(xué)校、超市、市場(chǎng)等人口密集地方實(shí)施嚴(yán)密監(jiān)控和防范措施，在火車(chē)站、港口和機(jī)場(chǎng)等外來(lái)人口密集地方設(shè)置傳染病檢測(cè)站，防止境外染病者進(jìn)入，對(duì)于染病者采取強(qiáng)制隔離措施以降低接觸率β；

3) 降低σ2使得R0<1.

致謝嶺南師范學(xué)院攀峰計(jì)劃項(xiàng)目對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.