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      一類非自治隨機(jī)波動(dòng)方程的隨機(jī)吸引子

      2019-03-12 00:51:56文慧霞李林芳
      關(guān)鍵詞:有界范數(shù)度量

      文慧霞, 舒 級(jí), 李林芳

      (四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

      1 引言及預(yù)備知識(shí)

      設(shè)D?R3為具有光滑邊界的有界區(qū)域,本文在D上考慮如下具加性噪聲的非自治隨機(jī)波動(dòng)方程的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為

      utt+αut-Δu+λu+f(u,t)=g(x,t)+

      (1)

      初邊值條件為

      u(x,τ)=u0(x),

      ut(x,τ)=u1(x), x∈D,

      (2)

      u(x,t)=0, x∈?D,t≥τ,

      (3)

      其中,α、λ是正常數(shù),τ表示初始時(shí)刻,Δ是Laplace算子,w是一維雙邊標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程,g(x,t)是時(shí)間依賴的外力項(xiàng),非線性項(xiàng)f為R上光滑的具有立方增長(zhǎng)率的函數(shù).

      波動(dòng)方程是一類非常重要的偏微分方程,在物理學(xué)、流體力學(xué)、聲學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.文獻(xiàn)[1-4]對(duì)自治的隨機(jī)波動(dòng)方程證明了隨機(jī)吸引子的存在性,文獻(xiàn)[5-6]提出了壓縮函數(shù)方法用于證明非自治系統(tǒng)的漸近緊性,文獻(xiàn)[7-8]考慮了具可乘白噪音的非自治波動(dòng)方程的漸近行為,文獻(xiàn)[9]對(duì)有界區(qū)域上的非自治隨機(jī)波動(dòng)方程證明了隨機(jī)吸引子的存在性.

      隨機(jī)吸引子是研究隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間漸近行為的有效工具,其實(shí)質(zhì)是緊的不變集,該不變集依概率并隨著時(shí)間變化.隨機(jī)吸引子是對(duì)確定性動(dòng)力系統(tǒng)中吸引子的推廣[10].文獻(xiàn)[11-12]給出了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中隨機(jī)吸引子的概念,并在文獻(xiàn)[13-14]中作了詳細(xì)闡述;文獻(xiàn)[15]給出了對(duì)非自治無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)漸近行為的具體研究;文獻(xiàn)[16-18]討論了自治與非自治的反應(yīng)擴(kuò)散方程隨機(jī)吸引子的相關(guān)問(wèn)題;文獻(xiàn)[19-20]則關(guān)注了格上的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的漸近性質(zhì);文獻(xiàn)[21-23]討論了隨機(jī)廣義Ginzburg-Landau方程的漸近行為;文獻(xiàn)[24-25]給出了一些KdV型方程隨機(jī)吸引子的存在性證明.

      本文的目的是證明(1)~(3)式在D上存在拉回吸引子.應(yīng)用類似于文獻(xiàn)[1-6]中的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

      下面給出非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)和隨機(jī)吸引子的有關(guān)知識(shí),具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[8,11,13].首先引進(jìn)一些記號(hào),用‖·‖和(·,·)表示Hilbert空間L2(D)的范數(shù)和內(nèi)積.假設(shè)(X,‖·‖)是一個(gè)可分度量空間,B(X)為X的Borelσ-代數(shù).

      定義1.1設(shè)Ω是一個(gè)非空集合.如果一個(gè)映射θ:R×Ω→Ω滿足:

      (i)θ(0,·)為在Ω上的恒等映射IΩ;

      (ii)θ(t+s,ω)=θ(t,θ(s,ω)),?s,t∈R,ω∈Ω;

      稱θ為Ω上的一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).

      定義1.2設(shè)θ1,θ2,,θr分別為集合Ω1,Ω2,,Ωr上的動(dòng)力系統(tǒng),X為一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果一個(gè)映射φ:R+×Ω1×Ω2××Ωr×X→X滿足:

      (i)φ(0,ω1,ω2,,ωr,x)=x,?(ω1,ω2,,ωr)∈Ω1,Ω2,,Ωr;

      (ii) 對(duì)?s,t∈R,(ω1,ω2,,ωr)∈Ω1,Ω2,,Ωr,x∈X有

      φ(t+s,ω1,ω2,,ωr,x)=φ(t,θ1(s,ω1),,

      θr(s,ωr),φ(ω1,ω2,,ωr,x));

      (iii) 對(duì)?s,t∈R,(ω1,ω2,,ωr)∈Ω1,Ω2,,Ωr,x∈X,φ(t+s,ω1,ω2,,ωr,·)在X中連續(xù),

      則稱φ為在X上的具有r個(gè)參數(shù)(ω1,ω2,,ωr)的關(guān)于參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)θ1,θ2,,θr的動(dòng)力系統(tǒng).把Ωi(i=1,2,,r)叫做參數(shù)空間,(Ωi,θi)(i=1,2,,r)叫做參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng).

      對(duì)一個(gè)參數(shù)為隨機(jī)參數(shù)的具有2個(gè)參數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng),設(shè)(Ω2,F,P)是一個(gè)概率空間,保測(cè)映射φ2:R×Ω2→Ω2是一個(gè)關(guān)于σ-代數(shù)B(R×F;F)可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng),即?t∈R,P·θ2,t=P.動(dòng)力系統(tǒng)(Ω2,θ2)叫做隨機(jī)參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng).設(shè)(Ω1,θ1)為任意一個(gè)隨機(jī)參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng).一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)φ:R+×Ω1×Ω2×X→X,如果對(duì)?ω1∈Ω1,φ(·,ω,·,·)關(guān)于(B(R+)×F×B(X);B(X))是可測(cè)映射,則稱φ為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

      定義1.3如果X的一個(gè)集族K=K(ω1,ω2):Ω1×Ω2→2X,(ω1,ω2)aK(ω1,ω2),對(duì)?ω1∈Ω1,x∈X,映射ω2→(x,K(ω1,ω2))關(guān)于σ-代數(shù)(F;B(R+))是可測(cè)的,則稱K為隨機(jī)集族.

      定義1.4稱一個(gè)非空集族A=A(ω1,ω2)為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ的拉回吸收集.如果對(duì)任意有界集B?X,ω1∈Ω1,以及P-a.s.ω2∈Ω2,存在T=T(ω1,ω2;B)≥T時(shí)有

      φ(t,θ1,-t(ω1),θ2,-t(ω2),B)?A(ω1,ω2),

      其中,dist(·,·)表示X中的Hausdoff半度量.

      定義1.5稱一個(gè)非空集族A=A(ω1,ω2)關(guān)于φ的拉回吸引有界集B?X,如果對(duì)?ω1∈Ω1,以及P-a.s.ω2∈Ω2有

      A(ω1,ω2))=0.

      定義1.7如果一個(gè)隨機(jī)緊集A=A(ω1,ω2),對(duì)?ω1∈ω1,以及P-a.s.ω2∈ω2滿足:

      (i)A關(guān)于φ拉回吸引X的任意有界閉集;

      (ii)A關(guān)于φ隨機(jī)不變集,也就是說(shuō),對(duì)?t≥0,

      φ(t,ω1,ω2,A(ω1,ω2))=

      A(θ1,t(ω1),θ2,t(ω2)),

      則稱A為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ的一個(gè)隨機(jī)吸引子.

      定理1.1[26]定義于度量空間X上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ,如果存在一個(gè)拉回吸收集B(ω1,ω2),且φ在X中是漸近緊,那么φ擁有唯一的拉回吸引子A=A(ω1,ω2)為

      A(ω1,ω2)=

      定理1.2[5] 設(shè)定義于度量空間X上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ存在一個(gè)拉回吸收集B(ω1,ω2),對(duì)?ε>0,ω1∈Ω1,以及P-a.s.ω2∈Ω2,存在T=T(ω1,ω2,ε)>0和壓縮函數(shù)ψT,對(duì)?(x,y)∈B(θ1,-t(ω1),θ2,-t(ω2)),當(dāng)T

      ‖φ(T,θ1,-t(ω1),θ2,-t(ω2),x)-

      φ(T,θ1,-t(ω1),θ2,-t(ω2),y)‖≤ε+ψT(x,y),

      2 帶加性噪聲的非自治隨機(jī)波動(dòng)方程

      由于w為完備概率空間(Ω2,F,P)中的一個(gè)獨(dú)立雙邊實(shí)值Wiener過(guò)程,其軌道w(·)屬于C(R,R),且w(0)=0,在(Ω2,F,P)中的保測(cè)度轉(zhuǎn)移算子定義為

      θtw(·)=w(·,+t)-w(t),

      w∈Ω2, t,s∈R,

      那么(Ω2,F,P,(θt)t∈R)為一個(gè)度量動(dòng)力系統(tǒng).

      對(duì)一較小的正數(shù)δ,引進(jìn)新的變量z=ut+δu和v(t)=z(t)-hw(t),于是方程(1)~(3)變?yōu)橹缓S機(jī)參數(shù)的隨機(jī)方程

      (4)

      其中,A=-Δ,v0=z0-hw(t),z0=u1+δu0,x∈D.

      為了得到方程弱解的存在性和拉回吸引子的存在性,需要對(duì)非線性項(xiàng)f施加條件:f∈C1(R×R,R),并假設(shè)存在正常數(shù)C1,C2,C3,C4>0,對(duì)?u∈R,t∈R滿足:

      |f(u,t)|≤C1(1+|u|3),

      (5)

      |f′(u,t)|≤C2(1+|u|2),

      互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代,資源共享已經(jīng)成為人們的共識(shí),在此背景下,教師可以很輕松地通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索優(yōu)秀的教案、課件和教學(xué)日志來(lái)完成備課,甚至還可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)視頻觀看和學(xué)習(xí)其他優(yōu)秀教師的教學(xué)方法。這就是“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代資源共享給我們帶來(lái)的好處。然而,有的教師卻只會(huì)盲目照搬照抄這些網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源,有的教師在教學(xué)過(guò)程中,離開(kāi)信息技術(shù)無(wú)法上課,到了依賴的地步,把大量的時(shí)間和精力花費(fèi)在對(duì)網(wǎng)絡(luò)教育資源的收集和模仿上,從而喪失了自身獨(dú)立思考和研究的能力,以至于成為信息技術(shù)的傳話筒。這種忽視學(xué)生實(shí)際情況和教學(xué)環(huán)境的方式,不僅不能發(fā)揮出網(wǎng)絡(luò)教育資源應(yīng)有的作用,甚至還有可能起到反效果。

      (6)

      F(u,t)≥C3(|u|4-1),

      (7)

      uf(u,t)≥C4(F(u,t)-1),

      (8)

      θ1,t(f(·),g(·))=(f(t+·),g(t+·)),

      t∈R,w1=(f,g)∈Ω1.

      類似參考文獻(xiàn)[10]中第IV章中定理5.1的證明,可得到如下定理.

      注意,當(dāng)選取δ滿足λ+δ2-αδ≥0時(shí),這一范數(shù)與如下范數(shù)是等價(jià)的

      ‖(u,v)‖X=(‖▽u‖2+

      (9)

      那么,在X上定義隨機(jī)動(dòng)力過(guò)程為φ(t,θ1,τw1,θτw,x0)=(u(t),v)∈X,u(t)是方程(4)中初始時(shí)間為τ的在τ+t時(shí)刻的解,其中w1(f(t),g(t))∈Ω1,w∈Ω2,x0=(u0,v0)∈X,那么由定理2.1可知,φ在X中關(guān)于參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)θ1和θ構(gòu)成隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

      3 隨機(jī)吸引子的存在性

      為了證明隨機(jī)吸引子的存在性,首先給出解的先驗(yàn)估計(jì),得到X中的隨機(jī)吸收集.

      引理3.1在定理2.1的假設(shè)條件下,隨機(jī)動(dòng)力過(guò)程φ在相空間X上存在隨機(jī)吸收集.

      證明這里需要估計(jì)

      ‖φ(t,θ1,τw1,θτw,x0)‖X

      的值.為此,取w1=(f(u,t+τ),g(x,t+τ)).將方程(4)兩邊與v做內(nèi)積得到

      (δ-α)〈v,v〉+〈g(x,t),v〉-〈f(u,t),v〉+

      (δ-α)〈h,v〉w(t).

      (10)

      δ‖u‖2-〈h,u〉w(t),

      (11)

      δ‖▽u‖2+〈▽h,▽u〉w(t),

      (12)

      δ〈f(u,t),u〉+〈f(u,t),h〉w(t),

      (13)

      則方程(10)變?yōu)?/p>

      2(α-δ)‖v‖2+2δ(λ+δ2-αδ)‖u‖2+

      2δ‖▽u‖2+2δ〈f(u,t),u〉=

      2(λ+δ2-αδ)〈h,u〉w(t)+2〈▽u,▽h〉w(t)+

      2〈f(u,t),h〉w(t)+2〈g,v〉+

      2(δ-α)〈h,v〉w(t).

      (14)

      由(8)式可得

      2δ〈f(u,t),u〉≥

      (15)

      由(5)與(7)式可得

      2C1‖h‖|w(t)|+

      2C1‖h‖|w(t)|+

      (16)

      利用Young和Holder不等式處理余下幾項(xiàng)可得

      2(λ+δ2-αδ)〈h,u〉w(t)≤

      (λ+δ2-αδ)‖u‖2+

      C‖h‖2|w(t)|2,

      (17)

      2〈▽u,▽h〉w(t)≤δ‖▽u‖2+

      C‖▽h‖2|w(t)|2,

      (18)

      2|〈g,v〉|+2|(δ-α)〈h,v〉w(t)|≤

      (α-δ)‖v‖2+C‖h‖2|w(t)|2+

      C‖g‖2.

      (19)

      C3(2σ-δC4)|D|.

      (20)

      由(8)式得

      ▽u‖2+

      σ(‖v‖2+(λ+δ2-αδ)‖u‖2)≤

      C(1+|w(t)|2+|w(t)|4).

      (21)

      由Gronwall不等式可得

      ‖v(0,τ,w)‖2+(λ+δ2-αδ)‖u(0,τ,w)‖2+

      (λ+δ2-αδ)‖u‖2+‖▽u‖2)ds≤

      eστ(‖v0‖2+(λ+δ2-αδ)‖u0‖2+

      |w(s)|4)ds.

      (22)

      由范數(shù)‖·‖X的等價(jià)定義(9)式,綜合(7)式得

      ‖φ(t,θ1,τw1,θτw,x0)‖X≤eστ(‖v0‖2+

      (λ+δ2-αδ)‖u0‖2+‖▽u0‖2+

      |w(s)|4)ds+C|D|.

      (23)

      于是當(dāng)-t→0即τ→-∞時(shí),上式右端第一項(xiàng)趨近于0.又因?yàn)閣(t)至多多項(xiàng)式增長(zhǎng),所以上式右端第二項(xiàng)有界.令

      |w(s)|4)ds+C|D|,

      那么從(23)式可知,隨機(jī)集

      B(w1,w)={x∈X,‖x‖X≤R(w1,w)}

      是φ的一個(gè)拉回吸收集.進(jìn)一步,有下面的漸近緊性.

      u2(t))+(Δu1(t)-δu2(t))+(δ-α)(v1(t)-

      v2(t))-(f1(t)-f2(t)).

      (24)

      定義能量函數(shù)為

      用v1(t)-v2(t)對(duì)上式兩端做內(nèi)積,由

      可得

      ▽u1(t)-

      v2(t))(u1(t)-u2(t))dx-δ‖▽u1(t)-

      ▽u2(t)‖2+〈▽u1(t)-▽u2(t),▽h〉w(t)+

      (δ-α)〈v1(t)-v2(t),v1(t)-v2(t)〉-

      〈f1(t)-f2(t),v1(t)-v2(t)〉.

      (25)

      對(duì)(25)式t在[s,T]上積分

      又因?yàn)镋0(T)≥0,所以

      v2(t))dxdt+Ew(s).

      (27)

      用u1(t)-u2(t)乘(24)式兩端,并在[τ,T]×D上積分得

      (δ-α)(v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))-

      (f1(t)-f2(t))(u1(t)-u2(t)))dxdt.

      (28)

      對(duì)(26)式關(guān)于s在[τ,T]上積分可得

      (T-τ)E0(T)=

      (v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))+

      (▽u1(t)-▽u2(t))▽hw(t)]dx+

      (δ-α)‖v1(t)-v2(t)‖2-

      δ‖▽u1(t)-▽u2(t)‖2-

      (29)

      結(jié)合(27)~(29)式可得

      (v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))+

      (▽u1(t)-▽u2(t))▽hw(t)]dx+

      (δ-α)‖v1(t)-v2(t)‖2-

      δ‖▽u1(t)-▽u2(t)‖2-

      (v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))dxdt+

      (v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))+

      ‖▽u1(t)-▽u2(t)‖‖▽hw(t)‖]dx+

      (δ-α)‖v1(t)-v2(t)‖2)dtds+

      (v1(t)-v2(t))(u1(t)-u2(t))dxdt+

      上式右端除了最后2行其余部分定義為壓縮函數(shù)ψT,則有

      于是,對(duì)任意的ε>0,存在充分大的T-τ,使得

      ‖(un(t),vn(t))‖X<+∞,

      ?t∈[τ,∞), n∈N.

      由弱拓?fù)涞木o性,得到

      un?u在L∞([τ,∞);H01(D))中弱*收斂,

      vn?v在L∞([τ,∞);L2(D))中弱*收斂,

      un→u在L2([τ,∞);L2(D))中強(qiáng)收斂,

      un(τ)→u0,un(T)→u(T)在L4中強(qiáng)收斂. (30)

      因此,unt=vn-δun+hw(t)在L∞([τ,∞);L2(D))中弱收斂于ut=v-δu+hw(t),從(30)式中可知

      (u1(T)-u2(T))dx=0,

      (unt(t)-umt(t))dx=0,

      (un(t)-um(t))dx=0.

      利用非線性條件(6)和(7)式得

      (unt(t)-umt(t))dxdt=

      其中

      由(7)和(30)式可得

      所以可得

      (un(t)-um(t))dxdt=0.

      又利用柯西不等式,存在一個(gè)常數(shù)C5,

      ▽u1(t)-▽u2(t)‖×

      ‖▽hw(t)‖dtds≤

      從而得

      ▽u1(t)-

      ▽u2(t)‖‖▽hw(t)‖dtds=0.

      同樣也可找到一個(gè)合適的常數(shù)C6,

      所以有

      ‖v1(t)-v2(t)‖2dtds=0.

      最后,結(jié)合定理1.1、引理3.1和引理3.2,可得隨機(jī)吸引子的存在性.

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