一種基于外罰函數(shù)法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

王林軍 王 錟 杜義賢 徐 柳 黃文超 劉晉瑋

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)及可靠性分析中 ，一定使用條件下及壽命周期內(nèi)能否完成預(yù)定功能是可靠性的評(píng)估依據(jù).可靠性是產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，貫穿于產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造、開(kāi)發(fā)、使用、試驗(yàn)、維修保養(yǎng)等各個(gè)環(huán)節(jié).同時(shí)為了保證結(jié)構(gòu)的安全性、適用性和經(jīng)濟(jì)性，在設(shè)計(jì)時(shí)也需要采用合適的方法加以分析和制約[1].目前已經(jīng)有比較成熟及完善的可靠性分析方法，如一次二階矩(FORM)[2]、二次二階矩(SORM)[3]、基于可靠性分析優(yōu)化設(shè)計(jì)(RBDO)[4]等，上述方法中例如一次二階矩(FORM)方法計(jì)算簡(jiǎn)易，若所計(jì)算的精度要求不太高時(shí)，仍具有一定的實(shí)用價(jià)值.但是對(duì)于非線性程度較高的功能函數(shù)，就會(huì)有一定的非線性函數(shù)線性化帶來(lái)的誤差.國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)以上問(wèn)題做了大量的研究.范松等[5]提出了一種基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法，從外層約束和內(nèi)層約束兩方面出發(fā)，使用約束可靠性的近似梯度來(lái)進(jìn)行可靠性分析，解決了內(nèi)層證據(jù)可靠性分析的效率問(wèn)題；劉杰等[6]將泛灰數(shù)引入到結(jié)構(gòu)模糊可靠度計(jì)算中，得出了較為精確的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算結(jié)果；Ashok Bakkiyaraj等[7]提出一種評(píng)估復(fù)合電力系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的新方法，該系統(tǒng)采用二進(jìn)制差分法金華算法(BDE)在搜索機(jī)制中選擇系統(tǒng)狀態(tài)，對(duì)分析較少數(shù)量的系統(tǒng)狀態(tài)的可靠性評(píng)估具有一定的作用，但是BDE 不適用于優(yōu)化非線性目標(biāo)函數(shù)的傳統(tǒng)應(yīng)用；姜潮等[8]提出了一種高效的概率-證據(jù)混合可靠性分析方法，通過(guò)引入概率-證據(jù)混合模型，建立可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法，成功解決了混合可靠性分析中計(jì)算量過(guò)大的問(wèn)題；馬德仲[9]提出了基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和多源信息構(gòu)建的可靠性分析模型方法，該方法適用于表達(dá)和分析不確定性事物，因而在可靠性分析領(lǐng)域得到推廣應(yīng)用；鄭靜等[10]提出了一種隨機(jī)-認(rèn)知不確定性的相關(guān)性分析模型及可靠性計(jì)算方法，馬冬娟等[11]提出基于區(qū)間分析的非概率可靠性分析方法，該方法解決了一些實(shí)際問(wèn)題中存在變量不確定性的情形，具有重要的理論意義.

實(shí)際上，上述方法雖然在一定程度上有改善，但是在解決具有一定非線性程度功能函數(shù)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)計(jì)算效率和計(jì)算精度較低等問(wèn)題.基于此，本文提出一種基于外罰函數(shù)法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，以解決一些非線性程度函數(shù)的約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)測(cè)試函數(shù)和工程算例結(jié)果表明該方法在實(shí)際應(yīng)用中具有重大的意義.

1 外罰函數(shù)法理論及可靠度指標(biāo)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 外罰函數(shù)法理論

罰函數(shù)法的構(gòu)思是：根據(jù)約束條件本身的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的懲罰函數(shù)加到目標(biāo)函數(shù)中去，從而將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解.

在一般的約束優(yōu)化問(wèn)題中，設(shè)結(jié)構(gòu)的極小化目標(biāo)函數(shù)為：

對(duì)應(yīng)的約束條件為：

記可行域?yàn)椋篋={x∈Rn|hi=0(i∈E)，gi≥0(i∈I)}.構(gòu)造罰函數(shù)：

所得相應(yīng)的增廣目標(biāo)函數(shù)：

在式(5)中M＞0為罰參數(shù)也叫做罰因子.在增廣目標(biāo)函數(shù)式中x的取值有以下兩種情況：

1)當(dāng)x∈D，也就是說(shuō)當(dāng)x是屬于可行域里面時(shí)，P(x，M)=f(x)，這時(shí)目標(biāo)函數(shù)并沒(méi)有得到相應(yīng)的懲罰；

2)當(dāng)x?D，即x不屬于可行域里面時(shí)也就是在可行域內(nèi)外面時(shí)，P(x，M)＞f(x)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)受到了一定的懲罰.并且若M＞0其中M越大，則受到的懲罰也就越大，當(dāng)M＞0足夠大時(shí)，為了能夠使增廣目標(biāo)函數(shù)P(x，M)達(dá)到極小，則對(duì)應(yīng)的罰函數(shù)也必須要充分小才能夠達(dá)到要求，即P(x，M)的極小點(diǎn)要充分逼近可行域D，使極小值點(diǎn)自然充分地逼近f(x)在D上的極小值.這樣轉(zhuǎn)化后使得求解一般約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一系列無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題minP(x，Mk)，當(dāng)中的{Mk}為正數(shù)序列且Mk→+∞.

對(duì)于同時(shí)存在等式約束和不等式約束的問(wèn)題 將上述兩個(gè)罰函數(shù)組合成多元罰函數(shù)進(jìn)行處理.

1.2 可靠度指標(biāo)數(shù)學(xué)模型的建立

X1，X2，…，Xn是結(jié)構(gòu)中n個(gè)任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，由這些隨機(jī)變量表示的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程為：

運(yùn)用R-F(拉科維茨-菲斯萊法)將非正態(tài)變量當(dāng)量正態(tài)化，得到等效正態(tài)的均值μ'xi，標(biāo)準(zhǔn)差σ'xi及可靠度指標(biāo)β：

由于驗(yàn)算點(diǎn)未知，可以將β作為極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P(X1，X2，…，Xn)的函數(shù)，通過(guò)相應(yīng)的方法優(yōu)化求解，得到β最小值，即可得到可靠度指標(biāo)β和驗(yàn)算點(diǎn)P*.可靠度求解轉(zhuǎn)化為如下約束優(yōu)化模型：

如果極限狀態(tài)方程中的其中一個(gè)變量(Xj)可用其他變量表示為：

那么約束優(yōu)化模型(15)可以表示為式(17)：

給定相應(yīng)的功能方程及其變量的分布概型，根據(jù)1.1，1.2中所述的理論計(jì)算方法，同時(shí)結(jié)合式(6)，式(7)，式(14)和式(15)可求出可靠度β和x*.利用外罰函數(shù)法迭代可求得可靠度指標(biāo)，具體的迭代步驟如下所示：

(1)選擇適當(dāng)?shù)某跏剂P因子M0，初始點(diǎn)x0∈Rn，收斂精度0≤ε＜1和罰因子系數(shù)c＞1，令迭代步數(shù)k=1；

(2)構(gòu)建相應(yīng)的增廣目標(biāo)函數(shù)P(x，M)，求解極值點(diǎn)x*(M(k))；

(3)檢驗(yàn)迭代終止條件：若|{f[X*(Mk)]-f[X*(M(k-1))]}/f[X*(Mk-1)]|≤ε，則停止迭代計(jì)算，輸出最優(yōu)解X*=X*(Mk)及可靠度β，否則轉(zhuǎn)入第(4)步；

(4)取M(k-1)=cMk，x0=X*(Mk)，k=k+1，繼續(xù)迭代.

2 可靠度算例

2.1 數(shù)值算例

極限狀態(tài)方程：

在式(18)中，x1與x2相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)外罰函數(shù)的理論，建立相應(yīng)可靠指標(biāo)計(jì)算數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用外罰函數(shù)法求解，經(jīng)過(guò)6次迭代后，求得可靠指標(biāo)β=2.5529，詳細(xì)迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，對(duì)應(yīng)的可靠指標(biāo)和失效概率計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.

表1 外罰函數(shù)法迭代計(jì)算結(jié)果

表2 外罰函數(shù)法可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表3 一次二階矩迭代計(jì)算結(jié)果

表4 一次二階矩法可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

根據(jù)表1和表3可以看出，運(yùn)用外罰函數(shù)法求結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)與一次二階矩方法相比具有較高的計(jì)算效率，同時(shí)求得結(jié)構(gòu)構(gòu)件的失效概率Pf=5.3×10-3，表明該結(jié)構(gòu)構(gòu)件在規(guī)定時(shí)間和條件下能完成預(yù)定功能，并且具有很高的可靠性.

根據(jù)表1 可以看出隨著迭代的進(jìn)行，功能函數(shù)g(x)的值越來(lái)越小，最終收斂于零，功能函數(shù)值收斂于0表明滿足收斂性要求.而可靠度指標(biāo)也隨著迭代步數(shù)的增加逐漸達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值.這表明運(yùn)用外罰函數(shù)法迭代計(jì)算可靠度指標(biāo)具有良好的收斂性并且計(jì)算結(jié)果精度較高.從圖1看出，前兩次的的迭代變化迅速，中間迭代變化緩慢，從圖2看出最終迭代趨于一個(gè)穩(wěn)定值.這表明運(yùn)用外罰函數(shù)法在求解可靠性設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)具有較好的收斂性能.

2.2 車(chē)輛碰撞問(wèn)題

汽車(chē)正面碰撞是交通事故中導(dǎo)致成員死亡的第一大主要因素，乘客受傷的主要原因是由于車(chē)身加速度及前端侵入量過(guò)大造成的.由于正面碰撞的緩沖區(qū)比較小，所以發(fā)生正面碰撞會(huì)使車(chē)體發(fā)生一定的變形.汽車(chē)在發(fā)生碰撞的過(guò)程中，影響乘員安全的主要因素有汽車(chē)結(jié)構(gòu)的侵入量、侵入速度和侵入形態(tài)等.圖3為某轎車(chē)正面碰撞有限元模型，汽車(chē)以時(shí)速為50 km/h撞上正前方剛性墻體，本例以B柱底部的峰值加速度a和最大侵入量作為碰撞安全性評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行可靠性分析.對(duì)于正面碰撞安全設(shè)計(jì)，防撞梁、前軌和加強(qiáng)板是主要的能量吸收組件.

圖1 目標(biāo)函數(shù)等值線圖

圖3 某轎車(chē)的正面碰撞模型

如圖3所示，選取防撞梁的厚度t1(對(duì)稱(chēng))、前導(dǎo)軌的厚度t2(對(duì)稱(chēng))、前軌蓋厚度t3(對(duì)稱(chēng))、加強(qiáng)板的厚度t4(對(duì)稱(chēng))、處理彈性模量E和密度ρ作為設(shè)計(jì)變量.運(yùn)用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法[13]在設(shè)計(jì)空間選取40個(gè)樣本點(diǎn)，并調(diào)用有限元法(FEM)[14]進(jìn)行分析，創(chuàng)建其功能函數(shù)為：

令式(19)中x1=t1，x2=t2，x3=t3，x4=t4，x5=E，x6=ρ，可以得到其極限狀態(tài)方程.式中防撞梁的厚度t1、前導(dǎo)軌的厚度t2、前軌蓋厚度t3、加強(qiáng)板的厚度t4、處理彈性模量E和密度ρ作為隨機(jī)變量，來(lái)求解可靠度指標(biāo).具體的隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況見(jiàn)表5.

表5 各隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況

根據(jù)外罰函數(shù)理論，計(jì)算求得可靠指標(biāo)β=6.6748，其中可靠指標(biāo)、失效概率計(jì)算數(shù)據(jù)及性能函數(shù)等計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6，可靠度指標(biāo)值隨迭代步數(shù)變化的曲線如圖4所示.運(yùn)用一次二階矩方法迭代計(jì)算求得可靠指標(biāo)β=6.5927，相應(yīng)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7，可靠指標(biāo)隨迭代步數(shù)變化曲線如圖5所示.

表6 可靠指標(biāo)及性能函數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖4 迭代步數(shù)與可靠度指標(biāo)值所示圖

表7 一次二階矩法可靠指標(biāo)及性能函數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖5 迭代步數(shù)與可靠度指標(biāo)值所示圖

從圖4可以看出，運(yùn)用外罰函數(shù)法迭代計(jì)算經(jīng)過(guò)5次迭代即可求得可靠指標(biāo)，而根據(jù)圖5可知運(yùn)用一次二階矩方法迭代7次求得可靠指標(biāo).在圖4中隨著迭代步數(shù)的增加，可靠指標(biāo)逐漸達(dá)到穩(wěn)定值，表明外法罰函數(shù)法在計(jì)算可靠指標(biāo)時(shí)具有良好的收斂性，運(yùn)用外罰函數(shù)法迭代具有較高的計(jì)算效率.從表6和表7可以看出，失效概率非常小幾乎趨近于零，表明某轎車(chē)正面碰撞模型在預(yù)定條件下具有較高的可靠性.

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于外罰函數(shù)法的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，該方法可用于解決具有一定非線性程度的結(jié)構(gòu)功能方程的可靠性分析問(wèn)題，同時(shí)該方法對(duì)不同形式的約束能夠建立相應(yīng)的可靠度模型進(jìn)行可靠度分析.測(cè)試函數(shù)的結(jié)果表明，對(duì)于線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)，使用外罰函數(shù)法進(jìn)行迭代計(jì)算有較好的收斂性，可以計(jì)算出比較精確的可靠性指標(biāo).工程案例的結(jié)果表明，該方法對(duì)于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程，也具有精確的計(jì)算精度，且有較好的收斂性.某轎車(chē)設(shè)計(jì)變量區(qū)間滿足要求，使用外罰函數(shù)法得到的失效概率非常小幾乎趨近于零，表明某轎車(chē)正面碰撞模型可靠.

此外，數(shù)值和工程算例表明，未來(lái)通過(guò)引入多種形式的約束條件，建立相應(yīng)的可靠性模型，并采用本文方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，將在實(shí)際工程中對(duì)結(jié)構(gòu)性能的提高和可靠性的保證具有一定的指導(dǎo)意義.