改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的競合博弈研究

肖 旦,周永務(wù),范麗繁,謝國杰,謝 維

(1. 廣州大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510006；2．華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641)

1 引言

在市場中，有一類特殊的商品，如果不考慮顧客對商品的需求，則隨著時間的流逝它們的重量得到增加、數(shù)量得到增長、質(zhì)量得到改善，例如，養(yǎng)殖場中的生豬、雞、鴨等，魚塘中的魚、蝦等，花圃中的鮮花，果園中的水果，酒窖中的陳年好酒等，人們稱這種商品為改良品。由于某些農(nóng)產(chǎn)品具有易損耗的特征，而本文擬討論通過投資改良技術(shù)創(chuàng)新以提高改良率的改良品，因此，本文的改良品主要指以養(yǎng)殖戶為代表的供應(yīng)商所提供的產(chǎn)品。

近年來，越來越多的企業(yè)通過與政府部門、科研機(jī)構(gòu)的合作，對改良技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新，并在不同企業(yè)之間實現(xiàn)了改良技術(shù)的共享。例如，2017年5月，以內(nèi)蒙古鄂爾多斯市達(dá)旗農(nóng)牧業(yè)局的家畜改良工作站為主導(dǎo)，轄區(qū)內(nèi)的多家農(nóng)牧企業(yè)通過加大改良技術(shù)創(chuàng)新資金投入，加快了改良技術(shù)研發(fā)，推進(jìn)了肉羊品種的改良，帶動了企業(yè)的增收。而江蘇省鹽城市濱?？h海洋林業(yè)漁業(yè)局則通過引進(jìn)優(yōu)質(zhì)漁業(yè)品種與養(yǎng)殖新技術(shù)，促進(jìn)全縣漁業(yè)養(yǎng)殖企業(yè)的快速高效發(fā)展。此外，眾多的養(yǎng)殖企業(yè)不僅共享了改良技術(shù)的創(chuàng)新成果，而且進(jìn)行改良品的聯(lián)合采購。例如，2015年，6月步步高聯(lián)合生鮮采購團(tuán)隊在越南與芹苣，大成，雄王等當(dāng)?shù)匾?guī)模最大的三個水產(chǎn)公司合作，成立越南巴沙魚直采基地。

雖然，改良技術(shù)共享與聯(lián)合采購可能會降低改良品采購聯(lián)盟的運(yùn)作成本，但是，是否選擇進(jìn)行改良技術(shù)創(chuàng)新，改良率提高到什么程度，是否進(jìn)行改良技術(shù)共享，形成改良技術(shù)共享與聯(lián)合采購聯(lián)盟之后如何進(jìn)行運(yùn)作成本分?jǐn)偪梢员３制浞€(wěn)定性，是零售商進(jìn)行改良技術(shù)共享后改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟所需要解決的關(guān)鍵問題。目前，一方面已有一些學(xué)者針對改良品的采購以及改良品供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)展開了積極的研究。例如，Hwang[1]首先在改良率小于(或大于)需求率的情況下，基于經(jīng)典的EOQ模型構(gòu)造了改良品的庫存控制模型。隨后，針對產(chǎn)品同時發(fā)生變質(zhì)與改良的現(xiàn)象，Mondal等[2]、Moon等[3]分別考慮了改良品的需求率與價格相關(guān)、零售商的資金具有時間價值等因素影響下改良品的庫存控制模型。Sana[4]在存儲容量有限的情況下，研究了改良品需求受到零售商銷售努力影響時進(jìn)行多物品聯(lián)合采購的模型。而針對改良品供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)研究，國內(nèi)學(xué)者王勇等[5]首先采用數(shù)量折扣作為激勵機(jī)制，研究了一個供應(yīng)商和一個零售商構(gòu)成的改良品二級供應(yīng)鏈在批量對批量供應(yīng)模式假設(shè)下的協(xié)調(diào)問題，孫海雷等[6]則分析了如何利用價格折扣的激勵方式來實現(xiàn)對改良品二級供應(yīng)鏈的協(xié)作控制；張云豐等[7]采用批量對批量的供應(yīng)模式，允許零售商缺貨且缺貨量全部拖后，比較了分散決策與集中決策下的供應(yīng)鏈最優(yōu)訂購策略；張云豐等[8]考慮在單一供應(yīng)商和單一零售商構(gòu)成的兩級改良品供應(yīng)鏈系統(tǒng)中，通過設(shè)計價格折扣和交易信用作為協(xié)調(diào)機(jī)制，研究了分散式供應(yīng)鏈下各成員企業(yè)的利潤狀況及協(xié)調(diào)問題。

此外，與本文相關(guān)的另一方面的研究文獻(xiàn)為針對聯(lián)合采購聯(lián)盟的運(yùn)作策略與穩(wěn)定性分析。首先，Meca等[9-11]分別在不同的情形下，采用EOQ模型討論了n個零售商的聯(lián)合訂貨問題；在此基礎(chǔ)上，Lin和Lin[12]、馮海榮等[13]討論了多個零售商聯(lián)合采購易腐品的成本分?jǐn)倖栴}；Zhang[14]研究了多零售商共用一個中心倉庫時的補(bǔ)貨策略；Chen[15]考慮了需求依賴價格時多個零售商進(jìn)行聯(lián)合采購的問題；Fiestras-Janeiro等[16]研究了多個零售商可進(jìn)行合作運(yùn)輸時的聯(lián)合采購問題；肖旦等[17]在隨機(jī)需求環(huán)境下分析了零售商聯(lián)合采購與合并運(yùn)輸聯(lián)盟的穩(wěn)定性。而在制造商供應(yīng)商可提供數(shù)量折扣契約時，肖旦和周永務(wù)[18]討論了制造商與零售商進(jìn)行庫存合作時的運(yùn)作策略問題；肖旦等[19]采用最大一致集的概念，研究了橫向競爭零售商聯(lián)合采購聯(lián)盟的穩(wěn)定性。而關(guān)于改良品的聯(lián)合采購模型，則僅有張云豐等[20]在非瞬時補(bǔ)貨的情形下，討論了改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的成本分?jǐn)倖栴}。

以上這些文獻(xiàn)對聯(lián)合采購聯(lián)盟的穩(wěn)定性展開了一系列的分析，但是，他們并沒有考慮到聯(lián)合采購聯(lián)盟成員間存在競合博弈的情景。針對此問題，在知識共享網(wǎng)絡(luò)中，Bernstein等[21]首先對零售商間的競合博弈策略展開了研究；隨后，肖旦等[22]在隨機(jī)需求下討論了庫存技術(shù)共享零售商聯(lián)合采購聯(lián)盟的競合博弈策略。但是，對于零售商間先各自進(jìn)行改良技術(shù)創(chuàng)新投資，然后共享改良技術(shù)并聯(lián)合采購改良品的情形，上述文獻(xiàn)都尚未進(jìn)行研究。

本文采用逆推歸納法，針對確定的改良品市場需求，在既有改良技術(shù)投資競爭又有改良技術(shù)共享合作的情形下，分析了改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的運(yùn)作策略、成本分?jǐn)傄?guī)則與穩(wěn)定性。本文的具體結(jié)構(gòu)如下：首先，當(dāng)零售商各自進(jìn)行改良技術(shù)創(chuàng)新并在聯(lián)盟內(nèi)共享改良技術(shù)時，確定了改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的運(yùn)作策略與總成本；隨后，給出了一種分配方案并證明該方案在改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈的核中；最后，得到了平均分?jǐn)偪偝杀镜姆桨笇⒉荒苁瓜到y(tǒng)的成本達(dá)到最低，但是，發(fā)現(xiàn)采用該合作博弈核的極點的成本分?jǐn)傄?guī)則，將可以使總成本降低至系統(tǒng)集中化決策時的水平。

2 模型的基本描述

本文基于經(jīng)典的EOQ模型，建立了改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成員間既有競爭又有合作的競合博弈模型。改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中成員的決策順序如下：第一階段是競爭階段。零售商各自對改良技術(shù)進(jìn)行改造升級，提高產(chǎn)品的改良率，在此階段零售商之間將在改良技術(shù)的投資水平上展開競爭。第二階段為合作階段。此階段將分兩個步驟進(jìn)行，首先，聯(lián)盟內(nèi)成員將共享最先進(jìn)的改良技術(shù)；然后，零售商進(jìn)行改良品的聯(lián)合采購。

圖1對上述零售商兩階段的決策順序進(jìn)行直觀的刻畫。首先，在競爭階段的t1時刻，零售商們各自對改良技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新改造升級，提高改良率。其次，在合作階段的t2時刻，聯(lián)盟中的零售商進(jìn)行改良技術(shù)共享，統(tǒng)一提高聯(lián)盟內(nèi)零售商的改良水平；在合作階段的t3時刻，聯(lián)盟中的零售商將聯(lián)合采購產(chǎn)品并銷售給終端消費者。具體如如圖1所示。

圖1 改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中零售商的決策順序

符號說明：

a：零售商每次訂購改良品時的補(bǔ)貨啟動費用

c：零售商訂購單位改良品的成本

ca：零售商改良單位改良品的成本

n：零售商的數(shù)量

N：N={1,2,...n}全體零售商的集合

Qi：零售商i(i=1,2,…n)的訂貨量

Di：零售商i(i=1,2,…n)面臨的市場需求率

hi：零售商i(i=1,2,…n)單位時間單位產(chǎn)品的持有成本

Ii(t)：零售商i(i=1,2,…n)在t時刻的庫存水平

Ti：零售商i(i=1,2,…n)獨立訂貨時的訂貨周期

TS：零售商聯(lián)盟S的統(tǒng)一訂貨周期

假設(shè)：

(1)供應(yīng)商對產(chǎn)品的補(bǔ)貨能力無限大，瞬時到貨，不允許缺貨。

(2)在改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中各種信息是公共知識。

(3)改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟S中最高的改良率為λS，λS=maxi∈S{λi}。

3 改良技術(shù)共享改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的運(yùn)作策略與成本

首先，單個零售商i的庫存水平在訂貨周期內(nèi)t時刻的庫存水平Ii(t)，將會由于產(chǎn)品改良而增加，同時由于市場需求而減少。故滿足微分方程：

由于Ii(Ti)=0，則易得，

因此，每次零售商i的訂貨批量為：

銷售改良品零售商i單位時間內(nèi)總成本為：

(1)

上式中的第一項為零售商i在單位時間內(nèi)訂購改良品的啟動費用，第二項為在單位時間內(nèi)改良品的總采購費用，第三項為單位時間內(nèi)改良品的總持有成本和第四項為單位時間內(nèi)改良品的總改良成本。

但是，如果m(1≤m≤n)個銷售改良品的零售商形成改良技術(shù)共享的改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟S，該聯(lián)盟首先會共享最先進(jìn)的改良技術(shù)，即聯(lián)盟中的改良技術(shù)將會統(tǒng)一達(dá)到λS，其次，將會以統(tǒng)一的訂貨周期TS向同一供應(yīng)商進(jìn)行采購。

改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成員的庫存水平在一個周期內(nèi)的變化規(guī)律將如圖2所示。即，在0時刻，聯(lián)盟中的每一個零售商將會根據(jù)自己的需求和聯(lián)盟的統(tǒng)一采購周期向上游供應(yīng)商提出采購量。隨著時間的流逝，經(jīng)過統(tǒng)一的采購周期TS之后他們產(chǎn)品的庫存水平將變?yōu)?，并且本文假設(shè)產(chǎn)品可以瞬時到貨，因此，將在TS時刻開始新的聯(lián)合采購活動和銷售周期。

圖2 改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中零售商的庫存水平變化

與(1)式類似，可以得到改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟在單位時間內(nèi)的總成本為：

(2)

對ACTC(TS)關(guān)于TS求二階導(dǎo)數(shù)，可知，

(3)

4 改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成本的分?jǐn)偡桨?/h2>

定理1改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購情景所對應(yīng)的合作博弈具有次可加性的，即對于任意S,T?N，且S∩T=?，有f(S)+f(T)≥f(S∪T)。

證明：不妨假設(shè)任意的S,T?N，并且滿足S∩T=?，根據(jù)(N,f)的定義以及式(3)可知，

f(S∪T)=

λS∪T=max{λS,λT}，不妨設(shè)，λS≥λT，因此，λS∪T=λS，

通過定理1可以知道，本文所定義的零售商在改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購的合作行為將可以使所有參與合作零售商的總成本降低。此外，本文下面將通過合作博弈中核的概念，對其是否存在公平的成本分?jǐn)偡桨高M(jìn)行說明。首先，給出合作博弈核的定義如下。

定義 1：滿足如下條件的集合稱為合作博弈(N,f)的核：

然后，為了方便刻畫公平合理成本分?jǐn)偡桨福疚膶⒃诟牧技夹g(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈的基礎(chǔ)上定義如下的合作博弈(N,v)。

下面將說明改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購的合作博弈的核是非空的，即可以找到一種分配方案保持聯(lián)盟的穩(wěn)定性。為此本文先給出如下的定義。

定義3[22]：令π(N)是N的所有置換σ：N→N的集合，集合Pσ(i):={r∈N|σ-1(r)<σ-1(i)}含有關(guān)于置換σ的所有i的前繼。

將聯(lián)合采購聯(lián)盟成員的產(chǎn)品改良率進(jìn)行降序排列，并記為π(N,A)，因此，本文可定義如下的成本分?jǐn)傄?guī)則對改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購大聯(lián)盟N的總成本進(jìn)行分?jǐn)偅?/p>

(4)

下面的定理2將說明這種成本分?jǐn)傄?guī)則對于改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟將是一種較為公平合理的分配方案，即該分配方案在其所對應(yīng)合作博弈的核中。證明過程請參見附錄。

定理2成本分?jǐn)傄?guī)則P(v)=(p1(v),p2(v),…,pn(v))是改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈(N,f)的一種核分配方案。

例1：假設(shè)市場中有兩個銷售改良品的零售商1和2，他們不僅進(jìn)行改良技術(shù)的投資競爭，而且進(jìn)行技術(shù)共享和聯(lián)合采購的合作。兩個零售商的參數(shù)具體如表1所示，通過計算可以知道f(1)=19.79，f(2)=25.83，f({1,2})=42.72。從而，可以得到p(v)=(16.89,25.83)∈C(f)。

表1 改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中零售商的參數(shù)

5 改良技術(shù)創(chuàng)新時的投資博弈

本節(jié)將先討論改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟中零售商在集中決策下的改良技術(shù)創(chuàng)新投資博弈，然后指出平均分配的方案使零售商的改良技術(shù)創(chuàng)新的投資決策將不會達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)，最后給出了能使改良技術(shù)創(chuàng)新的投資達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)的成本分?jǐn)偡桨浮?/p>

首先，不妨設(shè)改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟對總成本的分?jǐn)偡桨笧閤(λ)=(x1(λ),…,xN(λ))∈C(f)，其中，xi(λ)為進(jìn)行改良技術(shù)共享與聯(lián)合采購之后聯(lián)盟分?jǐn)偨o零售商i的成本。因此，零售商i的總成本φi(λ)為：

因此，改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購大聯(lián)盟(即，所有零售商都參與所形成的聯(lián)盟)的總成本為：

上式中第二個等式成立是因為核的定義。

其次，下面我們將指出合作博弈階段關(guān)于總運(yùn)作成本的平均分配方案將不可能達(dá)到系統(tǒng)最低。

引理1. 如果給定其他零售商的改良技術(shù)創(chuàng)新投資，零售商i的最佳反應(yīng)策略為：

證明：為了證明引理1，我們需要證明如下幾個條件：

因此，可從如下幾個方面展開證明：

從而上式可以得到證明。

證明：

如果在平均分配規(guī)則下，則零售商的改良率將達(dá)不到系統(tǒng)最優(yōu)的改良率，從而導(dǎo)致其成本增加。

最后，與Bernstein等[21]的證明過程類似，本文指出當(dāng)合作階段選擇的分配方案為改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈的核的極點時，則可以達(dá)到使改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟達(dá)到系統(tǒng)最低的運(yùn)作成本。

定理5系統(tǒng)集中化決策時改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成員的最優(yōu)競爭均衡策略，可以通過改良技術(shù)共享改良品聯(lián)合采購合作博弈的核的極點得到。

從而，知道在這種分配方案下λ{(lán)1,2}=λ{(lán)1}，因此，可以得到系統(tǒng)集中化決策時改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成員的最優(yōu)競爭均衡策略為(0.59, 0.1)。

6 結(jié)語

改良品是市場中一類特殊的商品，它們的品質(zhì)會隨著時間的流逝得以改善，越來越多的企業(yè)通過技術(shù)創(chuàng)新提高改良率，并形成合作聯(lián)盟共享改良技術(shù)進(jìn)行聯(lián)合采購。但是，形成改良技術(shù)共享與聯(lián)合采購聯(lián)盟之后如何進(jìn)行運(yùn)作成本分?jǐn)偪梢员３制浞€(wěn)定性，是零售商進(jìn)行改良技術(shù)共享后改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟所需要解決的關(guān)鍵問題。本文基于經(jīng)典的EOQ模型，建立了改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟成員間既有競爭又有合作的兩階段競合博弈模型。首先，當(dāng)零售商各自進(jìn)行改良技術(shù)創(chuàng)新并在聯(lián)盟內(nèi)共享改良技術(shù)時，確定了改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的運(yùn)作策略與總成本；隨后，給出了一種分配方案證明改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈的核是非空的；最后，指出平均分配方案所得到的改良率將低于集中化決策時零售商的最優(yōu)改良率，并指出在該合作博弈核的極點的成本分?jǐn)傄?guī)則下，此聯(lián)合采購聯(lián)盟的總成本是最低的。

本文主要討論改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購聯(lián)盟的競合博弈策略，沒有考慮到隨機(jī)的改良率對采購聯(lián)盟運(yùn)作策略的影響。總之，改良技術(shù)是否共享，改良技術(shù)共享之后運(yùn)作如何分?jǐn)?，將對改良品?lián)合采購聯(lián)盟的競合博弈策略產(chǎn)生重要影響，這些是未來值得研究的重要問題。

附錄：

定理2 成本分?jǐn)傄?guī)則p(v)=(p1(v),p2(v),…,pn(v))是改良技術(shù)共享下改良品聯(lián)合采購合作博弈(N,f)的一種核分配方案。

證明：

(1)與肖旦等[17]的證明過程相似，我們先考慮。

(2)含有改良率最高的零售商σ-1(1)，則有，