基于K-奇異值分解和層次化分塊正交匹配算法的滾動軸承故障診斷

張文顥 李永健 張衛(wèi)華

1.西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，成都 ，610031 2.五邑大學(xué)軌道交通學(xué)院，江門，529020 3.西華大學(xué)汽車測控與安全四川省重點實驗室，成都，610039

0 引言

軸箱軸承是列車轉(zhuǎn)向架中的關(guān)鍵部件，同時也是易損部件。軸箱軸承發(fā)生故障后直接影響列車的動力學(xué)性能，嚴(yán)重時可導(dǎo)致脫軌[1],因此及時發(fā)現(xiàn)和診斷軸箱軸承故障具有重要意義。滾動軸承診斷方法主要有振動信號診斷方法、溫度診斷方法、聲音診斷方法，其中振動信號診斷方法應(yīng)用最為廣泛且易于實時在線監(jiān)測[2]。目前主要的降噪方法有很多，如本征時間尺度分解[3]、小波閾值降噪[4]、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[5]以及集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解等。

近年來，基于稀疏表示理論[6]的信號處理方法在圖像處理[7]、語音識別[8]、壓縮感知[9]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。由于旋轉(zhuǎn)機械故障的特征成分在整體信號中往往表現(xiàn)出稀疏性，因此有越來越多的學(xué)者嘗試將稀疏表示理論應(yīng)用于機械故障診斷領(lǐng)域，并取得了一定的成果。稀疏表示的基本思想是從冗余字典中選取具有最佳線性組合的原子對原信號線性表示。目前，稀疏表示理論的研究主要分為兩個方面：冗余字典的構(gòu)造和稀疏系數(shù)的求解。字典的構(gòu)造方式主要有兩種：①基于已有分析字典及其組合的構(gòu)造方式；②基于字典自學(xué)習(xí)的構(gòu)造方式[10]。分析字典雖然具有詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述，且目前該方法研究較為深入，但是這種基于固定數(shù)學(xué)公式的字典構(gòu)造方法存在適應(yīng)性不足的缺點。字典自學(xué)習(xí)的構(gòu)造方法(如K-SVD、最佳方向法等)是近年來較新的研究方向，該方法能夠根據(jù)原信號自適應(yīng)地進(jìn)行訓(xùn)練，從而得到匹配度更高的原子庫。對于稀疏系數(shù)求解，目前經(jīng)典的算法為基追[11](basis pursuit，BP)和匹配追蹤[12](matching pursuit，MP)。在MP算法的基礎(chǔ)上人們又相繼提出了正交匹配追蹤[13](orthogonal matching pursuit，OMP)、批處理正交匹配追蹤[14](batch orthogonal matching pursuit，Batch-OMP)等算法，克服了MP算法存在過匹配的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[15]在圖像處理領(lǐng)域提出了一種基于層次化的分塊正交匹配(hierarchized block wise orthogonal matching pursuit，HBW-OMP)算法，與傳統(tǒng)的MP算法和OMP算法相比，該方法的表示結(jié)果在小波域具有更好的稀疏性。文獻(xiàn)[16]在HBW-OMP的基礎(chǔ)上優(yōu)化了原子的選取方法并應(yīng)用于音頻文件壓縮處理，取得了良好的效果。本文利用層次化選擇的分塊正交匹配方法(hierarchized block wise optimized orthogonal matching pursuit, HBW-OOMP)方法的高稀疏性和運算速度快等優(yōu)點，與K-奇異值分解(K singular value decomposition, K-SVD)字典相結(jié)合，對軸承振動信號完成重要特征提取，并進(jìn)行故障診斷。

1 冗余字典構(gòu)造

K-SVD是一種字典自學(xué)習(xí)的訓(xùn)練算法[14]，其核心思想是通過約束問題的稀疏表征和奇異值分解更新算法交替進(jìn)行，最終得到自適應(yīng)的冗余字典。相比其他由固定基底擴張出來的冗余字典(如DCT、小波基、Gabor字典等)，K-SVD自適應(yīng)性更強，方法更為高效。K-SVD字典訓(xùn)練方法主要步驟如下：

(1)字典D的初始化，可直接將訓(xùn)練信號按列賦值到初始字典D或者采用隨機數(shù)生成。

(2)采用稀疏表示系數(shù)求解算法以下式為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行系數(shù)求解：

(1)

式中，xi為原信號向量；ai為稀疏系數(shù)向量。

(3)更新字典。對字典D中任意第k列都按下式更新:

(2)

利用奇異值分解對Ek進(jìn)行更新。

(4)字典更新完成后，重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，直到滿足迭代終止條件。

2 稀疏系數(shù)求取

假設(shè)采集的原信號為y∈Rn，冗余字典D∈Rn×q，根據(jù)稀疏表示理論，原信號y可表示為

(3)

式中，qi為字典D中原子;ci為稀疏表示系數(shù);ε為信號殘差。

原信號中沖擊成分與冗余字典中原子的結(jié)構(gòu)具有較強相關(guān)性，投影系數(shù)較大，可由少量原子線性表示；而信號中的噪聲成分與原子相關(guān)性較弱，投影系數(shù)小，故需要大量原子才能表示。所以有效的原子選取方法對稀疏表示質(zhì)量至關(guān)重要。

在OMP算法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16]提出了一種層次化選擇的分塊正交匹配方法HBW-OOMP。HBW-OOMP的分塊化以及層次化選擇方法避免了計算復(fù)雜度及存儲量的顯著增加。相比直接對原信號采用OMP算法進(jìn)行匹配，該方法運算速度快，表示結(jié)果稀疏度更高。HBW-OOMP的主要步驟如下。

(1)對長度為N的原信號進(jìn)行分塊處理得到M個塊，每個塊的數(shù)據(jù)長度為d且互不重疊，即

(4)

(2)分別對各個塊xT[m]與冗余字典D進(jìn)行內(nèi)積運算，找出與各個塊對應(yīng)的內(nèi)積最大的原子qm:

qm=|>〈D,xT[m]〉|m=1,2，…,M

(5)

(3)根據(jù)下式選出匹配度最高的塊xT[n]，并對塊xT[n]進(jìn)行操作:

n=arg maxqm

(6)

RxT[n]=xT[n]-〈xT[n],qn〉qn

(7)

cn=|>〈xT[n],qn〉|

(8)

式中,qn為選出的原子。

xT[n]*=RxT[n]

(9)

(10)

(5)重復(fù)步驟(3)、步驟(4)，直到選取原子數(shù)等于給定值或者信號殘差小于某個閾值。

(6)重構(gòu)信號。

通過對全局稀疏度的限制而不是對每個塊的逼近質(zhì)量的控制，信號的整體表示質(zhì)量會有很大提升。由于各分塊沒有重疊部分，所以避免了塊效應(yīng)。HBW-OOMP在每一次迭代中提出了一種層次化的選擇塊的方法，因此包含沖擊成分的塊會優(yōu)先選出。傳統(tǒng)方法通過設(shè)定閾值進(jìn)而控制最終選取的原子個數(shù)。但是閾值的設(shè)定往往需要根據(jù)經(jīng)驗和多次的嘗試。原子數(shù)過少導(dǎo)致重構(gòu)信號包含較少的故障特征，原子數(shù)過多又會使得重構(gòu)信號存在更多的噪聲和冗余特征。本文迭代終止條件不再是信號殘差小于某個閾值，而是采用信號包絡(luò)譜峭度最大準(zhǔn)則[10]，即對信號的包絡(luò)譜進(jìn)行峭度的求解。由于故障沖擊成分存在規(guī)律性，反映在包絡(luò)譜中則表現(xiàn)為峰值的有序性，信號的包絡(luò)譜峭度越大，重構(gòu)信號中的隨機波動的幅值越低。與設(shè)定閾值相比，該方法能夠更大程度地保留沖擊成分，減少噪聲和冗余信息，根據(jù)原信號自適應(yīng)地確定原子數(shù)。

3 實驗研究

3.1 仿真測試

為了驗證本文所提方法的有效性，根據(jù)實際振動信號構(gòu)造如下故障軸承仿真模型：

(11)

其中，第一部分表示由滾動軸承故障引起的沖擊信號;Ta為相鄰沖擊的標(biāo)準(zhǔn)時間間隔；τi為隨機變量，表示由于滑移導(dǎo)致兩個沖擊之間的時間滯后現(xiàn)象，通常為Ta的1%～2% ；Ai用來模擬信號的幅值；Dj為幅值參數(shù)；Td為時間參數(shù)；sj(t)為沖擊響應(yīng)函數(shù)。等式右邊第二部分用來仿真由外部敲擊以及電磁干擾導(dǎo)致的混入信號，由于混入信號的不可預(yù)知性，時間參數(shù)Td和幅值參數(shù)Dj為隨機變量。等式右邊第三部分是由葉片、軸等部件產(chǎn)生的離散諧波干擾。n(t)為高斯白噪聲。

sj(t)表示如下：

si(t)=e-Bitcos(2πfit+φi)

(12)

其中,fi為沖擊引起的共振頻率；Bi為阻尼系數(shù)；φi為相位。

設(shè)定仿真故障頻率為135 Hz，仿真原信號見圖1。應(yīng)用本文方法對仿真信號進(jìn)行稀疏表示。首先對原信號進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)：將信號按照一定重疊率分割成300個樣本，每個樣本長度為32，訓(xùn)練后得到32×300的冗余字典。然后采用HBW-OOMP進(jìn)行原子的選取以及稀疏系數(shù)的求?。簩⒃盘柗殖砷L度為32的塊，且各個塊之間無重疊部分。由于迭代次數(shù)越多，重構(gòu)信號越逼近原信號，導(dǎo)致重構(gòu)信號中逐漸包含噪聲信息，所以限制最大迭代次數(shù)為100。每次迭代時重構(gòu)信號的包絡(luò)譜峭度見圖2，可以看出在原子數(shù)為42時包絡(luò)譜峭度最大，故最終迭代次數(shù)為42。重構(gòu)信號的時域圖以及包絡(luò)譜見圖3、圖4。本文所提方法運行時間為1.129 s。對同一段原信號采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，終止條件是該方法得到的殘差與本文方法得到的殘差一致，重構(gòu)信號見圖5。該方法運行時間為23.992 s，選取原子數(shù)103?？梢钥闯霰疚姆椒ㄔ诒硎窘Y(jié)果和運行時間上比傳統(tǒng)的Gabor-OMP算法有很大改進(jìn)。

圖1 仿真原信號Fig.1 Simulation of the original signal

圖2 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號的包絡(luò)譜峭度(仿真信號)Fig.2 The envelop spectrum kurtosis in each step (simulation signal )

圖3 本文方法重構(gòu)信號(仿真信號)Fig.3 The reconstructed signal by the method proposed (simulation signal)

圖4 重構(gòu)信號包絡(luò)譜(仿真信號)Fig.4 The envelop spectrum for the reconstructed signal (simulation signal)

圖5 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(仿真信號)Fig.5 The reconstructed signal by Gabor-OMP (simulation signal)

3.2 實驗研究

實驗采用的振動信號來自天馬軸承廠試驗臺所測實驗數(shù)據(jù)。表1給出了所用軸承的基本參數(shù)。設(shè)置4種軸承狀態(tài)：正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動體故障。采用電火花加工方法在外圈、內(nèi)圈和滾動體上加工出寬0.1 mm、深0.43 mm的劃痕來模擬故障。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 The specifications of tested bearings

電機設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 169 r/min，采樣頻率5 120 Hz。根據(jù)故障特征頻率計算公式可得到：外圈故障頻率f0=141 Hz,內(nèi)圈故障頻率f1=193.2 Hz,滾動體故障頻率f2=133 Hz。

3.2.1外圈故障特征提取

軸承外圈故障時的時域信號見圖6。外圈故障狀態(tài)下，故障位置固定不動，較高的轉(zhuǎn)速下時域沖擊信號變得非常密集。為了便于觀察重構(gòu)信號，取800樣本點進(jìn)行分析。將原信號分割成長度為20的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號包絡(luò)譜峭度曲線見圖7。迭代次數(shù)為23時可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為23。重構(gòu)的外圈故障信號見圖8，包絡(luò)譜見圖9。圖中表明特征頻率為f0=140 Hz，與理論值相符。對同一段原信號采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，通過使該方法得到的殘差與本文方法得到的殘差相一致作為終止條件，重構(gòu)信號見圖10。該方法運行時間7.102 s，選取原子數(shù)89。

圖6 外圈故障時域信號Fig.6 Vibration signal of outer race fault

圖7 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號的包絡(luò)譜峭度(外圈故障)Fig.7 The envelop spectrum kurtosis in each step (outer race fault)

圖8 外圈故障重構(gòu)信號Fig.8 The reconstructed signal of outer race fault

圖9 外圈故障重構(gòu)信號包絡(luò)譜Fig.9 The envelop spectrum of the reconstructed signal of outer race fault

圖10 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(外圈故障)Fig.10 The reconstructed signal by Gabor-OMP(outer race fault)

3.2.2軸承內(nèi)圈故障特征提取

軸承內(nèi)圈故障時的時域信號見圖11。將原信號分割成長度為32的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號包絡(luò)譜峭度曲線見圖12。迭代次數(shù)為107時可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為107。重構(gòu)的內(nèi)圈故障信號見圖13，包絡(luò)譜見圖14。圖中表明特征頻率為f1=191.3 Hz，與理論值一致。對同一段原信號采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，重構(gòu)信號見圖15。該方法運行時間為462.187 s，選取原子數(shù)397。

圖11 內(nèi)圈故障時域信號Fig.11 Vibration signal of inner race fault

圖12 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號的包絡(luò)譜峭度(內(nèi)圈故障)Fig.12 The envelop spectrum kurtosis in each step (inner race fault)

圖13 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號Fig.13 The reconstructed signal

圖14 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號包絡(luò)譜Fig.14 The envelop spectrum of the reconstructed signal of inner race fault

圖15 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(內(nèi)圈故障)Fig.15 The reconstructed signal by Gabor-OMP (inner race fault)

3.2.3軸承滾動體故障特征提取

軸承滾動體故障時的時域信號見圖16。將原信號分割成長度為32的塊，并進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)得到冗余字典。通過本文方法得到的各迭代次數(shù)下重構(gòu)信號包絡(luò)譜峭度曲線見圖17。迭代次數(shù)為92時可得到峭度最大的包絡(luò)譜，故最終迭代次數(shù)為92。重構(gòu)的內(nèi)圈故障信號見圖18，包絡(luò)譜見圖19。圖中表明特征頻率為f2=133 Hz，與理論值一致。對同一段原信號采用Gabor-OMP方法進(jìn)行稀疏表示，重構(gòu)信號見圖20。該方法運行時間為332.984s，選取原子數(shù)293。

圖16 滾動體故障時域圖Fig.16 Vibration signal of rolling element fault

圖17 不同迭代次數(shù)下重構(gòu)信號的包絡(luò)譜峭度(滾動體故障)Fig.17 The envelop spectrum kurtosis in each step (rolling element fault)

圖18 滾動體故障重構(gòu)信號Fig.18 The reconstructed signal of rolling element fault

圖19 滾動體故障重構(gòu)信號包絡(luò)譜Fig.19 The envelop spectrum of the reconstructed signal of rolling element fault

圖20 Gabor-OMP方法重構(gòu)信號(滾動體故障)Fig.20 The reconstructed signal by Gabor-OMP (rolling element fault)

不同故障狀態(tài)下兩種方法運行結(jié)果對比見表2。從表中可以看出，傳統(tǒng)的Gabor-OMP方法需要從冗余度很高的字典中通過計算內(nèi)積的方式選取原子，當(dāng)原信號長度增加時，構(gòu)造字典所需時間以及信號與原子之間內(nèi)積運算的時間都會顯著增加。相比Gabor-OMP方法，本文所提出的基于K-SVD和HBW-OOMP的方法無論是運行時間還是原子數(shù)目都有明顯縮減，其原因在于K-SVD字典是一種依靠原信號的自學(xué)習(xí)訓(xùn)練方法，其原子結(jié)構(gòu)與原信號相似度更高；另外，HBW-OOMP方法的分塊思想也極大降低了進(jìn)行內(nèi)積運算的數(shù)據(jù)長度，從而減少了計算時間。從表示結(jié)果上看，本文方法由于選用的原子數(shù)量小，所以重構(gòu)信號具有更高的稀疏度，并且對沖擊信號特征的表示能力更強，更接近于原信號。

表2 兩種方法運行結(jié)果對比Tab.2 Comparison of the two methods

魯棒性是評價算法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)，本文通過將不同強度高斯白噪聲添加到滾動體故障信號來驗證算法的魯棒性。采用峭度作為衡量信號沖擊特征強弱的指標(biāo)，原信號和重構(gòu)信號的峭度值見圖21?？梢钥闯?，在不同的信噪比下，重構(gòu)信號的峭度值始終高于原信號，說明本文方法對不同強度的含噪信號均能準(zhǔn)確地提取出故障沖擊特征，具有較強的魯棒性和適應(yīng)性。

圖21 不同信噪比下的信號峭度Fig.21 The kurtosis in different SNR

4 結(jié)語

本文提出了一種基于K-SVD和HBW-OOMP的軸箱軸承故障診斷方法。仿真研究表明本文方法對沖擊響應(yīng)信號的發(fā)生時刻以及幅值都能夠準(zhǔn)確表達(dá)，對旋轉(zhuǎn)機械中的干擾信號有較強的抑制能力。將本文方法應(yīng)用于軸承試驗臺，所得實際信號的故障特征提取結(jié)果表明，該方法能有效提取出外圈、內(nèi)圈、滾動體信號的故障特征，具有較強的適應(yīng)性和魯棒性。相比Gabor-OMP方法在運行時間和表示結(jié)果上都有很大優(yōu)勢，具有一定的應(yīng)用前景。本文方法目前以臺架試驗數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，針對實際工程中復(fù)雜工況下的故障特征提取還需做更深入的研究和優(yōu)化。