地形起伏地區(qū)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及精度分析

馬海英，胡月明，姚朝龍，范亞南,，胡碧霞，張 偉

(1. 德令哈市國土資源局，青海 德令哈 817000； 2. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，廣東 廣州 510642；3. 國土資源部建設(shè)用地再開發(fā)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510642； 4. 廣東省土地利用與整治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510642； 5. 廣東省土地信息工程技術(shù)研究中心，廣東 廣州 510642； 6. 青海大學(xué)農(nóng)牧學(xué)院,青海 西寧 810016； 7. 廣州市華南自然資源科學(xué)技術(shù)研究院,廣東 廣州 510642； 8. 青海友元空間信息技術(shù)有限公司，青海 西寧 810008)

隨著測繪理論和技術(shù)的發(fā)展，我國在不同時(shí)期建立了不同的坐標(biāo)系，包括1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系。為了統(tǒng)一使用不同坐標(biāo)系下的成果，通常需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法包括直接進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[1]，以及通過平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[2]和高程擬合[3]來達(dá)到三維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的主要方法有四參數(shù)模型[4-5]、多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換模型[6]、格網(wǎng)插值[7]等，模型參數(shù)解算方法有最小二乘法[8]、總體最小二乘法[8-10]等。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度不僅受轉(zhuǎn)換模型的影響，還與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布、地形情況等因素有關(guān)。對(duì)于小范圍平坦地區(qū)，各模型的轉(zhuǎn)換精度都較高，而且差異不大[11]。即使在地形起伏較大的小范圍地區(qū)，各模型的轉(zhuǎn)換精度也能達(dá)到厘米級(jí)，能夠滿足普通工程應(yīng)用的要求[12-13]。而對(duì)于地形起伏較大的大范圍區(qū)域，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度受不同因素的影響較大。本文將探討四參數(shù)模型和二次曲面模型在地形起伏較大地區(qū)的適用性，以及公共點(diǎn)選取對(duì)模型轉(zhuǎn)換精度的影響。

1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

1.1 四參數(shù)模型

四參數(shù)模型[5,14]是一種相似變換，其計(jì)算公式為

(1)

式中，Δx、Δy、θ、m分別為平面上的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)。當(dāng)有兩個(gè)以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時(shí)，將此模型轉(zhuǎn)換為線性模型用最小二乘求解，即

(2)

1.2 二次曲面模型

二次多項(xiàng)式擬合[6,15]是多項(xiàng)式變換中的一種，其計(jì)算公式為

(3)

式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2、b3、b4、b5為轉(zhuǎn)換參數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)個(gè)數(shù)大于6時(shí)，可以通過最小二乘法結(jié)合線性回歸原理求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

1.3 精度評(píng)定

轉(zhuǎn)換殘差計(jì)算公式為：vx=x′-x，vy=y′-y。其中x′、y′為轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)值，x、y為同名點(diǎn)原坐標(biāo)值。

坐標(biāo)分量X、Y轉(zhuǎn)換中誤差為

計(jì)算內(nèi)符合精度時(shí)，n為轉(zhuǎn)換點(diǎn)個(gè)數(shù)；計(jì)算外符合精度時(shí)，n為檢驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

點(diǎn)位中誤差為

2 試驗(yàn)區(qū)和數(shù)據(jù)

青海高原地形起伏大，礦山分布較為零散，本文采用的礦業(yè)權(quán)核查坐標(biāo)數(shù)據(jù)范圍大，面積約為4000 km2，共有9個(gè)公共點(diǎn)，其中A02和A04的距離最遠(yuǎn)，約為108 km。圖1為公共點(diǎn)分布和地形起伏情況。地勢西低東高，海拔最低為3113 m(A08)，最高為4261 m(A02)，公共點(diǎn)最大高差達(dá)1148 m，而且受礦山分布的影響，公共點(diǎn)分布也不均。

3 試驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 兩種模型比較

雖然四參數(shù)模型只需要2個(gè)公共點(diǎn)即可求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，但由于二次曲面模型參數(shù)的求解至少需要6個(gè)公共點(diǎn)，因此，本文采用3種公共點(diǎn)組合方案對(duì)比四參數(shù)模型和二次曲面模型的適用性(見表1)，其他公共點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，檢驗(yàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的外符合精度。

表1 3種公共點(diǎn)組合方案

在組合1的方案中，公共點(diǎn)主要選取的是測區(qū)的邊界點(diǎn)(圖2中圓圈點(diǎn))，表2顯示四參數(shù)的X、Y分量的內(nèi)外符合精度在分米至米級(jí)(點(diǎn)位中誤差分別為1.362 m和1.262 m)，最小絕對(duì)偏差為0.136 m(A07)，最大絕對(duì)誤差達(dá)到了1.697 m(A04)。這樣的轉(zhuǎn)換精度顯然無法滿足高精度工程應(yīng)用的需要。而二次曲面模型的外符合轉(zhuǎn)換精度則要高很多，精度為厘米級(jí)(點(diǎn)位中誤差為6.8 cm)，外符合最大絕對(duì)偏差為7.6 cm(A05)。由于6個(gè)公共點(diǎn)剛好求解二次曲面模型的轉(zhuǎn)換參數(shù)，沒有多余觀測值，因此其內(nèi)符合轉(zhuǎn)換誤差為0。

組合2的方案將區(qū)域內(nèi)部的A05號(hào)點(diǎn)納入轉(zhuǎn)換點(diǎn)中，四參數(shù)模型坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小絕對(duì)偏差減少至9.1 cm(A07)，但是最大絕對(duì)偏差卻增加至1.759 m(A04)，內(nèi)外符合的點(diǎn)位中誤差分別為1.291 m和1.476 m。二次曲面模型的外符合精度中最大最小絕對(duì)偏差幾乎沒有變化，但坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的整體精度有所提高，外符合點(diǎn)位中誤差減小至5.5 cm。

組合3的方案將測區(qū)內(nèi)最低點(diǎn)A08(3113 m)納入到轉(zhuǎn)換點(diǎn)中，四參數(shù)模型坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的外符合精度反而明顯降低，點(diǎn)位中誤差達(dá)2.024 m。這說明對(duì)于大范圍區(qū)域，四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度不僅受公共點(diǎn)數(shù)量和分布的影響，而且地形因素對(duì)其也有著明顯的影響。但二次曲面模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度，無論是最大絕對(duì)偏差還是整體的點(diǎn)位中誤差都有較為明顯的減小。因?yàn)橛糜谇蠼庾鴺?biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的公共點(diǎn)越多，二次曲面模型越能反映測區(qū)坐標(biāo)的差異特征。

表2 不同組合方案兩種模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計(jì) m

續(xù)表2 m

3.2 二次曲面模型分析

由以上分析可知，二次曲面模型在地形起伏較大的地區(qū)適用性更強(qiáng)。為了進(jìn)一步分析該模型的外推能力，選取不同的公共點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)。圖3(a)和(b)中選取西南角6個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換點(diǎn)，東北角的A01、A02和A05作為檢驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。從圖中可以看出，檢驗(yàn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度很差，X分量的誤差超過10 m。由此可見，對(duì)于地形起伏大的大范圍區(qū)域，二次曲面模型的外推能力很弱。圖3(c)和(d)進(jìn)一步將最遠(yuǎn)、最高的A02納入轉(zhuǎn)換點(diǎn)中，檢驗(yàn)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度有了明顯的提高，處于區(qū)域內(nèi)部的A05號(hào)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度有了明顯提高，最大偏差為-0.700 m，而處于區(qū)域外部的A01號(hào)點(diǎn)的最大誤差達(dá)到-3.083 m，仍無法用于高精度的工程應(yīng)用中。這說明將區(qū)域邊界的點(diǎn)納入轉(zhuǎn)換點(diǎn)可以明顯改善區(qū)域內(nèi)部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度，但區(qū)域外部的轉(zhuǎn)換精度仍較差。圖3(e)和(f)進(jìn)一步將區(qū)域邊界的A01號(hào)點(diǎn)納入轉(zhuǎn)換點(diǎn)中，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的內(nèi)外符合精度均達(dá)到了厘米級(jí)的精度，最大偏差為7.8 cm。

4 結(jié) 論

本文研究了地形起伏大的大范圍區(qū)域兩種平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的適用性。研究結(jié)果表明：

(1) 四參數(shù)模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度在分米至米級(jí)，無法滿足高精度的工程應(yīng)用需求。受地形因素的影響，納入更多公共點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換點(diǎn)時(shí)反而可能會(huì)降低坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。

(2) 當(dāng)合理選擇轉(zhuǎn)換點(diǎn)時(shí)，二次曲面模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度為厘米級(jí)，而且增加轉(zhuǎn)換點(diǎn)的數(shù)量可以增加坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。然而，由于地形起伏較大，該模型的外推能力也很差，因此，通常要選取測區(qū)邊界的公共點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換點(diǎn)才能得到較高的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。