移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合分形維數(shù)的旋轉(zhuǎn)梁損傷檢測(cè)

韓偉，毛崎波，田文昊

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063)

0 引 言

在航空工程中，有很多梁結(jié)構(gòu)處于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，例如螺旋槳、渦輪葉片等。這些結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期在復(fù)雜惡劣的自然環(huán)境中處于高強(qiáng)度、高負(fù)荷運(yùn)行狀態(tài)，容易出現(xiàn)裂紋損傷，因此，對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)十分必要?；谡駝?dòng)的損傷檢測(cè)技術(shù)具有無(wú)損、實(shí)時(shí)、高效等優(yōu)點(diǎn)[1]，已得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。常見的檢測(cè)方法大都圍繞模態(tài)振型或者固有頻率而展開[2-3]。基于模態(tài)振型的方法(例如曲率模態(tài)法、柔度曲率法等)雖然能夠有效地定位損傷，但是其損傷指標(biāo)的獲取需依靠模態(tài)振型，必須進(jìn)行大量試驗(yàn)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，其固有頻率會(huì)發(fā)生變化，因此利用損傷前后固有頻率的變化可以進(jìn)行損傷識(shí)別。相比模態(tài)振型，固有頻率在試驗(yàn)中更容易獲得，而且精度較高。然而基于固有頻率的損傷檢測(cè)方法存在一定的局限性：(1) 易受環(huán)境噪聲影響，抗噪能力較弱；(2) 難以識(shí)別損傷位置和損傷程度。為了解決上述問題，Zhang Y等[4-5]、Zhong Shuncong等[6]提出了一種通過移動(dòng)質(zhì)量塊得到系統(tǒng)的固有頻率曲線的方法，用以檢測(cè)圓筒管道結(jié)構(gòu)的損傷情況，且通過實(shí)驗(yàn)表明移動(dòng)質(zhì)量法能夠有效地識(shí)別出損傷位置，所需傳感器少，布置靈活方便，實(shí)用性較強(qiáng)；2016年，Wang L等[7]利用移動(dòng)質(zhì)量法對(duì)幾種鐵路軌道的損傷情況進(jìn)行了研究；Chen Y等[8]也提出了基于固有頻率曲線和小波分析相結(jié)合的方法來(lái)檢測(cè)梁結(jié)構(gòu)的損傷情況。但是關(guān)于旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別研究仍相對(duì)較少，李錄平等[9]提出了風(fēng)機(jī)葉片裂紋損傷定位方法，通過比較擺振方向上的前兩階振型的振型變化量對(duì)損傷進(jìn)行定位。

上述關(guān)于移動(dòng)質(zhì)量法的研究均是通過與小波分析相結(jié)合的方式，由于旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)的損傷通常發(fā)生在局部位置，而分形維數(shù)在幾何上能表征一個(gè)物體的局部不規(guī)則性，本文采用移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合分形維數(shù)理論進(jìn)行旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)的損傷檢測(cè)，研究裂紋位置、損傷程度、附加質(zhì)量塊大小以及轉(zhuǎn)速對(duì)損傷檢測(cè)的影響，最后討論多裂紋情況的損傷檢測(cè)。

1 質(zhì)量塊-裂紋梁模型

以變截面旋轉(zhuǎn)梁為基礎(chǔ)建立質(zhì)量塊-裂紋梁模型，如圖1所示。梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，梁的密度和彈性模量分別為ρ、E，轉(zhuǎn)軸半徑為r，轉(zhuǎn)速為Ω，梁截面為矩形，其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小，可以表示為

(1)

(2)

式中：h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度；ch和cb分別為高度和寬度的漸變系數(shù)。

圖1 質(zhì)量塊-裂紋梁系統(tǒng)

梁上含有h個(gè)開口裂紋和一個(gè)可移動(dòng)質(zhì)量塊，第i個(gè)裂紋距梁固定端的距離為xi，深度為hi；質(zhì)量塊質(zhì)量為m，距梁固定端的距離為xm。由文獻(xiàn)[10]可知，裂紋可用無(wú)質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬，如圖2所示。

圖2 離散模型

基于歐拉-伯努利梁理論，第i段完整梁的橫向自由振動(dòng)微分方程[11]為

(3)

式中：x∈[xi-1,xi]；A(x)和I(x)分別為橫截面積和慣性矩。

A(x) =b(x)h(x)

(4)

(5)

T(x)為旋轉(zhuǎn)梁所受離心力，可表示為

(6)

根據(jù)振動(dòng)分析理論可知，梁的橫向位移函數(shù)可分離為空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)，即方程(3)的解具有如下形式：

w(x,t)=φ(x)eiωt

(7)

將式(7)代入式(3)進(jìn)行變量分離并將變量無(wú)量綱化，可得：

(8)

根據(jù)Frobenius理論[12]，第i段完整梁的自由振動(dòng)位移為

Φi(X)=N1iF1(X)+N2iF2(X)+N3iF3(X)+

N4iF4(X)

(9)

裂紋梁邊界條件為

(10)

(11)

由文獻(xiàn)[10]可知，在第i條裂紋處連續(xù)性條件為

(12)

式中：Xi為裂紋相對(duì)位置，Xi=xi/L；θi為梁的第i條裂紋引起的無(wú)量綱柔度[13]。

θi=5.346h0·J(si)

(13)

(14)

式中：si為相對(duì)裂紋深度，si=hi/h0。

由于式(13)中的無(wú)量綱柔度θi為J(si)和固定端截面高度h0的函數(shù)，必須給定梁的固定端截面高度h0才能得到無(wú)量綱柔度θi。

質(zhì)量塊處連續(xù)性條件為

(15)

聯(lián)合邊界條件、裂紋處連續(xù)性條件、質(zhì)量塊處連續(xù)性條件可以得到由4(n+2)個(gè)方程組成的齊次線型方程組：

K(λ)N=0

(16)

式中：

N=[N11N21N31N41…N1,n+2N2,n+2N3,n+2N4,n+2]T。

因?yàn)榉匠?16)存在非零解，故得到頻率方程：

|K(λ)|=0

(17)

由式(17)可解出無(wú)量綱固有頻率λ。

2 數(shù)值模擬

當(dāng)質(zhì)量塊在梁上移動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率會(huì)發(fā)生改變。當(dāng)質(zhì)量塊移動(dòng)到裂紋位置附近時(shí)，由于局部質(zhì)量增加，引起局部剛度下降，裂紋附近的固有頻率降低。質(zhì)量塊會(huì)放大裂紋損傷對(duì)固有頻率的影響。因此，利用移動(dòng)質(zhì)量法所得的固有頻率曲線包含結(jié)構(gòu)損傷信息。

2.1 分形維數(shù)理論

分形理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性[14]。目前，分形維數(shù)理論[14-17]在幾何、地理、生物等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。Higuchi通過修改Burlage和Klein的算法，提出了一種用于計(jì)算時(shí)間序列分形維數(shù)的算法[18]。具體計(jì)算步驟如下：

(18)

每一個(gè)重構(gòu)序列的曲線長(zhǎng)度為

可用重構(gòu)序列長(zhǎng)度的平均值近似表示初始序列長(zhǎng)度：

(19)

對(duì)于不同的k值，可求出k與L(k)的關(guān)系：

L(k)～k-FD

(20)

對(duì)式(20)兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

(21)

式中：C為常數(shù)；FD為該時(shí)間序列的分形維數(shù)。

在時(shí)間序列曲線上開設(shè)定尺度窗口，計(jì)算窗口內(nèi)曲線段的FD，均勻拖動(dòng)窗口，可得到關(guān)于FD的曲線，稱為HFD曲線。

2.2 損傷檢測(cè)

選取質(zhì)量塊-裂紋梁系統(tǒng)(如圖1所示)為研究對(duì)象，假定無(wú)量綱轉(zhuǎn)軸半徑R=0，固定端截面高度h0=0.02 m，高度漸變系數(shù)ch=0.3，寬度漸變系數(shù)cb=0.1。應(yīng)用移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合Higuchi分形理論進(jìn)行損傷檢測(cè)，并分別討論裂紋位置、損傷程度、質(zhì)量塊大小以及轉(zhuǎn)速對(duì)損傷檢測(cè)的影響。

2.2.1 損傷位置識(shí)別

假設(shè)裂紋梁的無(wú)量綱轉(zhuǎn)速U=3，無(wú)量綱質(zhì)量α=0.3，相對(duì)裂紋深度s=0.3，裂紋相對(duì)位置分別在Xc=0.2～0.8處，畫出Xc分別為0.2、0.4、0.6、0.8這四種損傷工況下的第一階無(wú)量綱固有頻率曲線，如圖3(a)所示，可以看出：隨著裂紋位置向自由端移動(dòng)，固有頻率逐漸增大，然而卻無(wú)法直接判斷裂紋位置。

根據(jù)Higuchi分形理論計(jì)算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖3(b)所示。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同裂紋位置的HFD曲線

從圖3(b)可以看出：在各裂紋處HFD曲線均有明顯峰值出現(xiàn)，曲線峰值隨著裂紋位置向自由端移動(dòng)而呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，表明Higuchi分形方法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷位置。

2.2.2 分形方法對(duì)損傷程度的敏感性

假設(shè)裂紋梁轉(zhuǎn)速U=3，無(wú)量綱質(zhì)量α=0.3，裂紋相對(duì)位置在Xc=0.3處，相對(duì)裂紋深度s依次為0.1、0.2、0.3、0.4，計(jì)算第一階無(wú)量綱固有頻率曲線，如圖4(a)所示，可以看出：隨著裂紋深度的增加，其固有頻率呈減小趨勢(shì)。

運(yùn)用Higuchi分形方法計(jì)算固有頻率曲線的HFD曲線，其結(jié)果如圖4(b)所示，可以看出：隨著裂紋深度的增加，HFD曲線峰值逐漸升高，可見Higuchi分形方法對(duì)裂紋損傷程度具有很好的敏感性。

HFD曲線峰值與裂紋深度的關(guān)系如圖4(c)所示，可以看出：HFD曲線峰值隨裂紋深度的增加而呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，表明Higuchi分形方法能夠定性地反映損傷程度。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同損傷程度的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與裂紋深度的關(guān)系

2.2.3 質(zhì)量塊大小對(duì)損傷檢測(cè)的影響

設(shè)定裂紋梁轉(zhuǎn)速U=3，裂紋相對(duì)位置在Xc=0.3處，相對(duì)裂紋深度s=0.3，無(wú)量綱質(zhì)量α依次為0.1、0.2、0.3、0.4，計(jì)算第一階固有頻率曲線，如圖5(a)所示，可以看出：第一階固有頻率從Xm=0.2附近開始隨著無(wú)量綱質(zhì)量的增加而呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，且變化率逐漸增大。

運(yùn)用Higuchi分形方法計(jì)算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖5(b)所示，可以看出：隨著無(wú)量綱質(zhì)量α增大，HFD曲線在裂紋處的峰值也逐漸增大。

HFD曲線峰值與質(zhì)量塊大小的關(guān)系如圖5(c)所示，可以看出：HFD曲線峰值隨α單調(diào)遞增，且當(dāng)0.1≤α≤0.5時(shí)，曲線變化率增大；當(dāng)α>0.5時(shí)，曲線變化率減小。因此，α取0.4～0.6為宜。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同質(zhì)量塊大小時(shí)的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與質(zhì)量塊大小的關(guān)系

2.2.4 轉(zhuǎn)速對(duì)損傷檢測(cè)的影響

假設(shè)裂紋相對(duì)位置在Xc=0.3處，相對(duì)裂紋深度s=0.3，無(wú)量綱質(zhì)量α=0.3，無(wú)量綱轉(zhuǎn)速U依次為1、2、3、4，計(jì)算第一階固有頻率曲線，如圖6(a)所示，可以看出：隨著轉(zhuǎn)速的提升，第一階固有頻率隨之增大，各轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的固有頻率隨著質(zhì)量塊的右移而呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，且從Xm=0.4開始，固有頻率曲線變化率逐漸增大。

計(jì)算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖6(b)所示，可以看出：隨著轉(zhuǎn)速升高，HFD曲線峰值也隨之增大。

HFD曲線峰值與轉(zhuǎn)速的關(guān)系如圖6(c)所示，可以看出：當(dāng)轉(zhuǎn)速?gòu)?遞增至8時(shí)，HFD曲線峰值單調(diào)遞增；當(dāng)轉(zhuǎn)速?gòu)?遞增至13時(shí)，曲線峰值單調(diào)遞減。因此，當(dāng)轉(zhuǎn)速為8時(shí)損傷檢測(cè)效果最佳。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同轉(zhuǎn)速時(shí)的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

2.2.5 雙裂紋損傷檢測(cè)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法對(duì)多裂紋損傷梁的有效性，以雙裂紋損傷工況為例進(jìn)行研究。假設(shè)裂紋1位于X1=0.2處，裂紋2位于X2=0.7處，相對(duì)裂紋深度s從0.1漸變至0.6。運(yùn)用Higuchi分形方法進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，結(jié)果如圖7所示。(為了更清楚地看出相對(duì)裂紋深度s=0.1、s=0.2的損傷檢測(cè)結(jié)果，給出局部放大圖，如圖7(b)、圖7(c)所示。)

從圖7(a)可以看出：隨著裂紋深度的增加，HFD曲線的峰值逐漸增大，表明在雙裂紋損傷工況下，Higuchi分形方法對(duì)損傷程度仍然具有敏感性。

(a) 不同損傷程度時(shí)的HFD曲線

(b) s=0.1

(c) s=0.2

3 結(jié) 論

(1) 本文提出的將移動(dòng)質(zhì)量法與分形維數(shù)理論相結(jié)合來(lái)進(jìn)行損傷檢測(cè)的方法，能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷位置，并且對(duì)裂紋損傷程度具有很好的敏感性，能夠定性地反映出損傷程度。

(2)HFD曲線峰值隨無(wú)量綱質(zhì)量α單調(diào)遞增，且當(dāng)0.1≤α≤0.5時(shí)，曲線變化率增大；當(dāng)α>0.5時(shí)，曲線變化率減小，因此，α取0.4～0.6為宜；當(dāng)轉(zhuǎn)速?gòu)?遞增至8時(shí)，HFD曲線峰值單調(diào)遞增，當(dāng)轉(zhuǎn)速?gòu)?遞增至13時(shí)，曲線峰值單調(diào)遞減，因此當(dāng)轉(zhuǎn)速為8時(shí)損傷檢測(cè)效果最佳。

(3) 對(duì)于多裂紋損傷工況，本文方法同樣適用，對(duì)損傷程度仍然具有敏感性。