約束阻尼結(jié)構(gòu)阻尼效果的有限元預(yù)測方法研究

伍先俊

(中國科學(xué)院 聲學(xué)研究所，北京 100190)

機械系統(tǒng)振動消除的方法除減小源振動外，還有隔振和阻尼消振。阻尼消振是在結(jié)構(gòu)覆蓋阻尼層來約束結(jié)構(gòu)振動，使得結(jié)構(gòu)振動能量轉(zhuǎn)換為阻尼材料變形的熱能，因而消耗掉振動能量的方法。阻尼消振技術(shù)在汽車、飛機、鐵路運輸、船舶中都有應(yīng)用，特別是結(jié)構(gòu)的共振區(qū)，阻尼材料的貼覆能夠極大減小振動，降低噪聲。

常用約束阻尼結(jié)構(gòu)，是將黏彈性阻尼材料粘合在本體金屬板和剛度較大的約束層（通常是金屬板）之間，當(dāng)結(jié)構(gòu)彎曲變形時，本體金屬板與約束層產(chǎn)生相對滑移，黏彈性阻尼材料產(chǎn)生剪切應(yīng)變使一部分機械能損耗的結(jié)構(gòu)。阻尼消振結(jié)構(gòu)有無約束面板的阻尼消振結(jié)構(gòu)和含約束面板的阻尼消振結(jié)構(gòu)，阻尼材料的厚度通常取本體板厚度的2倍左右，選用的約束面板層彈性模量通常遠(yuǎn)大于阻尼層的彈性模量，厚度為本體金屬的1/2～1/4。

對于無約束面板的兩層結(jié)構(gòu)和含阻尼面板的三層結(jié)構(gòu)阻尼目前有一些針對梁的簡單預(yù)報方法[1]，Torvik P J等[2]用復(fù)模量描述黏彈材料的本構(gòu)關(guān)系，并用模態(tài)應(yīng)變能法對夾層板進(jìn)行阻尼振動分析；文獻(xiàn)[3]分析提出一種基于GHM模型（由格羅斯曼和哈特(Gross man&Hart,1986)、哈特和莫爾(Hart&Moore，1990)等共同創(chuàng)立的）的有限元計算方法，GHM模型實質(zhì)是測量了阻尼材料的頻域曲線后擬合出阻尼材料的傳遞函數(shù)，文獻(xiàn)[4]提出了一種基于GHM模型的有限元理論實現(xiàn)方法，目前的主流商業(yè)軟件對諧波分析的阻尼處理還是基于復(fù)模量的理論，文獻(xiàn)[5]根據(jù)復(fù)模量的理論對多層阻尼圓板的損耗因子進(jìn)行了分析，選取它們的倒數(shù)和為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行有限元優(yōu)化設(shè)計，不考慮自然頻率的導(dǎo)數(shù)和對于寬帶激勵不太適用。本文將對采用有限元法的阻尼因子計算法進(jìn)行研究，基于模態(tài)應(yīng)變能提出一種新的復(fù)合阻尼的快速計算方法，同時結(jié)合統(tǒng)計能量分析理論提出一種不同的結(jié)構(gòu)阻尼優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并提出基于該函數(shù)的有限元優(yōu)化設(shè)計方法。通過經(jīng)典算例的仿真討論，驗證了基于模態(tài)應(yīng)變能的阻尼計算方法的正確性。對某含約束面板的阻尼層厚度進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，最后根據(jù)諧波響應(yīng)分析驗證了基于新的阻尼效果評價函數(shù)的優(yōu)化計算的合理性。

1 復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元計算理論和步驟

對阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼效果分析有諧波分析法和模態(tài)分析法，其中諧波分析法可以將阻尼參數(shù)代入諧波計算中，直接獲得有阻尼響應(yīng)，是精確的方法。但是諧波計算需要進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)所有自由度的響應(yīng)，計算耗時長，不適于優(yōu)化分析。另外一種方法是基于模態(tài)應(yīng)變能的阻尼計算方法，即先計算出各階模態(tài)，通過材料參數(shù)和模態(tài)變形能計算獲得各階模態(tài)阻尼，這種方法比諧波分析計算量小很多。下面將先介紹諧波分析矩陣阻尼模型，然后給出基于模態(tài)應(yīng)變能的阻尼計算方法。

1.1 諧波分析阻尼模型

對于諧波分析的響應(yīng)，阻尼矩陣可以寫為[6]

式中：符號含義如下：[C]結(jié)構(gòu)總阻尼矩陣；α阻尼質(zhì)量乘子，[M]質(zhì)量矩陣，β阻尼剛度乘子，g常量結(jié)構(gòu)阻尼因子，Ω激勵頻率，[K]剛度矩陣，Nm有阻尼材料個數(shù)，gj對應(yīng)于材料j的常量結(jié)構(gòu)阻尼因子，[Kj]基于材料的剛度矩陣，Ne具有阻尼輸入的單元，[Ck]單元阻尼矩陣，Ng有科式或者陀螺阻尼的單元個數(shù)，[Gl]科式或者陀螺阻尼矩陣（科式或者陀螺阻尼在一般平動結(jié)構(gòu)中不存在，所以本文不予考慮）。

諧波響應(yīng)分析的方法有完全諧波分析、縮減諧波分析、模態(tài)疊加諧波分析和QR阻尼模態(tài)疊加分析法。在多種材料的結(jié)構(gòu)諧波響應(yīng)分析中，要求計算支持配比不同材料的βj，gj和Ck，才可以考慮不同材料阻尼對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，對以上阻尼都支持的有完全諧波分析法或者QR阻尼模態(tài)疊加分析法。

完全諧波分析法計算量比較大，QR阻尼模態(tài)疊加分析法可以減小計算量，因此本文采用后一方法。

根據(jù)動力學(xué)方程

對于QR阻尼模態(tài)疊加分析法，[K]、[C]可以是非角對稱矩陣，QR阻尼模態(tài)疊加分析法將[K]矩陣重新排列分出對稱部分和非對稱部分，通過略去[C]矩陣和[K]矩陣的非對稱部分，求得特征值和特征向量，通過以下公式進(jìn)行坐標(biāo)變換

[Φ]為對質(zhì)量歸一化模態(tài)振型向量矩陣，{y}為模態(tài)坐標(biāo)，通過以上公式可獲得以下式子

盡管 [Φ]T[C][Φ]和 [Φ]T[Kunsys][Φ]為對角陣，但是模態(tài)坐標(biāo)數(shù)目得到減少，計算量得到降低。[Λ2]為對角特征值平方，[Kunsys]為剛度矩陣非對稱部分。

1.2 模態(tài)阻尼計算

對于具有多種材料，各材料阻尼因子不相同，可以采用基于變形能計算出一個有效模態(tài)阻尼因子，在擴展模態(tài)時計算單元結(jié)果(采用APDL命令MXPAND,NMODE,FREQB,FREQE,Elcalc,SIGNIF，而Elcalc取1表示計算單元結(jié)果)

其中：N為材料個數(shù)，βj為材料阻尼因子，Ej為對應(yīng)材料j的模態(tài)變形能，Ej={φi}[Kj]{φi} ，{φi}為振型函數(shù)，[Kj]對應(yīng)于材料j的剛度矩陣。

1.3 阻尼評價函數(shù)

本文基于統(tǒng)計能量分析的理論，得出一種針對寬帶激勵的阻尼情形，比較適用于通用場合。受隨機激勵單自由度振動物體的振速寫為[7]

其中：Sf為輸入力自功率譜，ωi為單自由振子模態(tài)頻率，M為被分析結(jié)構(gòu)質(zhì)量，ηi為單自由振子模態(tài)阻尼損耗因子ηi。

多階模態(tài)為多個振動物體，其總的響應(yīng)為

對于多自由度系統(tǒng)，ωi為各模態(tài)頻率，ηi為模態(tài)阻尼損耗因子ηi。

該值越小阻尼效果越好，這種評價與過去的各模態(tài)阻尼平均或者倒數(shù)和都不相同[5]。

1.4 有限元計算關(guān)鍵過程

有限元分析采用單層實體殼單元代替梁單元，中間層采用實體殼單元，覆蓋層采用面殼體單元。各部分單元類型、材料類型、阻尼設(shè)置的APDL命令見表1。

Solsh190為3-D8節(jié)點實體殼單元，是一種看上去象實體的殼單元，可以模擬從薄到中等厚度的殼結(jié)構(gòu)，薄殼結(jié)構(gòu)無需抽中面，直接劃分單元，只需一層Solid-shell單元，并能保證精度。

建立有限元模型，計算模態(tài)頻率，并擴展獲得模態(tài)能量值：

2 阻尼計算方法和結(jié)果討論

2.1 對于單層梁計算結(jié)果的討論

圖1 自由阻尼約束層示意圖

對于兩層阻尼結(jié)構(gòu)，損耗因子解析計算式為

算例：模型基礎(chǔ)層采用長0.5 m，截面積為H×B=7 mm×7 mm的鋁梁，阻尼材料厚度分別從0.002變化到0.01，阻尼材料彈性模量7×106，密度1 000，泊松比0.4，結(jié)構(gòu)阻尼因子1，兩端自由。（為了只比較約束方向模態(tài)阻尼，因此約束梁非彎曲方向振動。）

表2是對一個梁結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)采用有限元方法和解析方法計算對比，兩層阻尼梁解析方法忽略了材料泊松比、梁寬度以及阻尼層質(zhì)量的影響，在約束層厚度增大時計算誤差增大。

有限元計算阻尼層厚度大的結(jié)構(gòu)阻尼因子與解析法差別較大，因此工程中使用解析式（3）需要格外注意。

2.2 對于含約束面板三層阻尼梁計算結(jié)果討論

對于含約束的三層阻尼結(jié)構(gòu)如下

圖2 約束阻尼層示意圖

表1 各部分單元類型

對于三層梁結(jié)構(gòu)，有以下解析計算公式

對于兩端自由梁自然頻率計算如下

對于兩端自由梁，有λ1l=4.73，λ2l=7.85，…λil≈(2i+1)π/2，ρ為梁材料密度，A為梁截面積，I

模型基礎(chǔ)層采用長0.5 m，截面為H×B=7 mm×7 mm的鋁梁，阻尼材料厚度0.003，阻尼材料彈性模量7×106Pa，密度1 000 kg/m3，泊松比0.4，其結(jié)構(gòu)阻尼因子為1，兩端自由，約束層為鋼，厚度0.000 5。（為了只比較約束方向模態(tài)阻尼，因此約束梁非彎曲方向振動。）

由于約束阻尼層與波長有關(guān)系，所以計算前5階模態(tài)（公式（4）計算的模態(tài)頻率為：147.08 Hz，364.29 Hz，697.31 Hz，1 136.1 Hz，1 680.2 Hz）阻尼大小對比，表3是對一個含約束面板三層阻尼梁結(jié)構(gòu)采用解析法和有限元法的計算結(jié)果對比。

有限元計算高階模態(tài)的阻尼因子與解析法差別較大，因此工程中使用解析式（4）需要格外注意。

為了驗證有限元計算結(jié)果的正確性，采用另外一種方法獲得阻尼因子作為驗證。即類似于通過實驗獲得傳遞函數(shù)曲線，通過傳遞函數(shù)曲線辨識阻尼的方法。對于集中點力情況同時計算諧波響應(yīng)，從而獲得傳遞函數(shù)曲線。取距離梁中部0.06 m的位置計算加速度傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)曲線見圖3。圖中給出了用最小二乘法[8]與以及原始計算獲得的傳遞函數(shù)實部和虛部的對比。

圖3 計算獲得傳遞函數(shù)和最小二乘擬合傳遞函數(shù)對比

表2 解析方法和有限元計算方法對比

表3 解析方法和有限元計算方法對比

采用最小二乘法迭代法[8]識別出模態(tài)頻率、阻尼因子和解析解計算的對應(yīng)數(shù)值見表4，可以看出采用有限元傳遞函數(shù)辨識出的各階模態(tài)頻率與解析解符合很好，同時各階模態(tài)的阻尼與采用有限元及公式（1）計算結(jié)果符合很好，因此驗證了采用有限元及公式（1）計算結(jié)果的正確性。

說明模態(tài)分析得到阻尼與諧波分析得到的阻尼比是對應(yīng)的，驗證了分析結(jié)果的正確性。

2.3 板的計算結(jié)果和優(yōu)化

具體優(yōu)化方法參考文獻(xiàn)[9]。

優(yōu)化解：hd1=0.001，hd2=0.000 69，mas=1.595 5 kg，rs=0.396。為了檢驗?zāi)B(tài)阻尼計算結(jié)果的正確性，采用完全諧波響應(yīng)計算優(yōu)化結(jié)果與非優(yōu)化結(jié)果響應(yīng)曲線對比。

hd1=0.001，hd2=0.000 69，隨機取5個點激勵，對平板平均速度做平均，優(yōu)化前后響應(yīng)譜對比如下圖4所示。

表4 傳遞函數(shù)分析辨識獲得各階模態(tài)頻率和阻尼因子

對一個平板進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，由于平板模型沒有解析方法可以計算，本文先基于模態(tài)應(yīng)變能的阻尼計算方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，然后采用完全諧波分析法進(jìn)行驗證。鋁板四端固支，鋁平板尺寸：0.5 m×0.5 m×0.007 m，阻尼材料彈性模量7×106Pa，密度1 000，泊松比0.4，其結(jié)構(gòu)阻尼因子為1，約束層為鋼。

初始厚度為：APDL設(shè)計變量為阻尼層厚度hd1，約束層鋼板厚度hd2；阻尼層和約束板總質(zhì)量限制條件為小于1.6 kg，即以下APDL代碼中的狀態(tài)變量mas小于1.6，以下APDL的目標(biāo)函數(shù)為rs。初始設(shè)計hd1=0.002 5 m，hd2=0.000 5 m，而初始設(shè)計目標(biāo)值rs=0.486；

對于優(yōu)化計算，關(guān)鍵優(yōu)化代碼如下，定義兩個優(yōu)化變量：

圖4 約束阻尼層平板優(yōu)化前后諧波響應(yīng)譜對比

從圖4可以看出，通過合理分配阻尼板約束層和非約束層厚度，目標(biāo)值獲得了1 dB左右的降噪效果。計算兩條曲線下的陰影面積，面積相比按分貝取對數(shù)，結(jié)果為減振1.1 dB，這與目標(biāo)函數(shù)的變化基本對應(yīng)，說明采用簡化方法的合理性。但是采用簡化方法優(yōu)化計算時長有大幅度降低：一次完整諧波法需要時長80 s；采用模態(tài)分析法計算阻尼效果評價函數(shù)法需要時長18 s，節(jié)省時間量為77.5%；預(yù)計對于復(fù)雜大模型的計算，優(yōu)化后速度可提高更多。

3 結(jié)語

本文進(jìn)行了一種基于有限元的阻尼因子計算方法，提出總響應(yīng)最小的模態(tài)阻尼優(yōu)化計算方法，對三層平板阻尼鋪設(shè)進(jìn)行了計算，并采用諧波響應(yīng)對優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行了檢驗。該方法基于商業(yè)軟件ANSYS提出，具有比較好的工程可操作性，可供實際阻尼優(yōu)化設(shè)計參考。