部分觀測(cè)下結(jié)構(gòu)質(zhì)量及非線性恢復(fù)力免模型識(shí)別

李 靖，許 斌,2

（1.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門 361021；2.華僑大學(xué) 福建省結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361021）

對(duì)工程結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力荷載作用下的損傷位置與程度進(jìn)行識(shí)別，進(jìn)而對(duì)其安全性、剩余承載力和剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)及災(zāi)后狀態(tài)評(píng)估的主要內(nèi)容[1]。依靠從結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)中抽取結(jié)構(gòu)特征值和特征向量，識(shí)別結(jié)構(gòu)剛度變化來(lái)描述結(jié)構(gòu)損傷，是傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的基本思路。嚴(yán)格來(lái)講這種思路僅僅適用于線性結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，非線性廣泛存在于工程結(jié)構(gòu)中，如裂縫的開(kāi)展、構(gòu)件中鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移以及鋼結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)的松動(dòng)等都導(dǎo)致土木工程非線性[2]。結(jié)構(gòu)恢復(fù)力是結(jié)構(gòu)非線性行為發(fā)生發(fā)展過(guò)程的最直接表征，不同時(shí)刻結(jié)構(gòu)的損傷分布有助于幫助理解結(jié)構(gòu)破壞模式的轉(zhuǎn)變過(guò)程，并可定量描述結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中的耗能[3-4]。但由于土木工程材料和結(jié)構(gòu)形式的多樣性，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力模型的參數(shù)化形式及其參數(shù)難以事先準(zhǔn)確獲得。因此，開(kāi)展不依賴于結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的參數(shù)化模型的結(jié)構(gòu)非線性行為識(shí)別的一般化方法研究具有重要意義。

相對(duì)于線性系統(tǒng)，由于非線性行為復(fù)雜且多樣，非線性系統(tǒng)的識(shí)別難度較大。Masri和Caughey[5]最早提出了恢復(fù)力曲面法，并將其運(yùn)用到非線性多自由度動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別[6]。Xu等[7-8]利用激勵(lì)和結(jié)構(gòu)完整動(dòng)力響應(yīng)信息，分別基于等效線性理論和冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力，并通過(guò)裝有磁流變阻尼器的四層剪切型框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該方法的有效性。此外，許斌等[9-10]利用切比雪夫多項(xiàng)式表征非線性恢復(fù)力，通過(guò)含磁流變阻尼器(Magnetorheological，MR)和形狀記憶合金阻尼器(Shape Memory Alloy，SMA)的非線性多自由度系統(tǒng)驗(yàn)證了該方法的有效性。

針對(duì)激勵(lì)以及測(cè)量信息不完整的情況，Xu等[11]提出了一種自適應(yīng)加權(quán)迭代算法，在部分輸入未知情況下識(shí)別線性構(gòu)件的參數(shù)和荷載，并將其與冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了部分激勵(lì)未知的非線性系統(tǒng)識(shí)別[12]。王云等[13]考慮識(shí)別結(jié)構(gòu)質(zhì)量的必要性，提出利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)和切比雪夫多項(xiàng)式的迭代算法，通過(guò)迭代識(shí)別了結(jié)構(gòu)質(zhì)量和非線性恢復(fù)力。何明煜[14]將冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式引入無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)，提出一種部分響應(yīng)未知的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法。

本文提出一種不依賴于結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的參數(shù)化模型，僅利用結(jié)構(gòu)部分加速度響應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力和質(zhì)量進(jìn)行同時(shí)識(shí)別的迭代方法。在一個(gè)多自由度集中質(zhì)量結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型中，引入兩種不同模型的磁流變阻尼器，考慮不同的初始質(zhì)量以及一處和多處存在非線性元件情況，通過(guò)數(shù)值模擬識(shí)別結(jié)構(gòu)恢復(fù)力和質(zhì)量。識(shí)別結(jié)果與理論值的比較驗(yàn)證了所提出方法的有效性和魯棒性。

1 非線性恢復(fù)力及質(zhì)量識(shí)別迭代算法

1.1 等效線性化

對(duì)于一多自由度的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，在外激勵(lì)作用下的平衡方程可寫成

其中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，(t)為加速度響應(yīng)，Rnon(t)為非線性恢復(fù)力，F(xiàn)(t)為外激勵(lì)。式(1)的等效線性系統(tǒng)的動(dòng)力方程為

其中：ME、CE、KE分別表示系統(tǒng)的等效線性質(zhì)量、等效線性阻尼和等效線性剛度，x?(t)和x(t)分別為速度位移響應(yīng)。一般認(rèn)為，在非線性發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中，結(jié)構(gòu)質(zhì)量不存在非線性以及變化，因此，式(2)中ME可認(rèn)為是體系M的識(shí)別值。系統(tǒng)非線性恢復(fù)力可表示為

1.2 引入等效線性的無(wú)跡卡爾曼濾波質(zhì)量迭代識(shí)別

相較于EKF對(duì)非線性函數(shù)的1階線性化處理，UKF使用無(wú)跡變換來(lái)處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞，計(jì)算精度較高，不需要計(jì)算EKF中繁瑣的Jacobian矩陣，且能適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)。

本文構(gòu)建UKF的方法不同于文獻(xiàn)[13－14]，將等效線性參數(shù)引入U(xiǎn)KF狀態(tài)向量中，避免狀態(tài)向量中非線性模型參數(shù)或冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型系數(shù)數(shù)量過(guò)多。特別是結(jié)構(gòu)出現(xiàn)多處非線性時(shí)，有效減少狀態(tài)矩陣維數(shù)，避免參數(shù)過(guò)多而導(dǎo)致的收斂困難。在結(jié)構(gòu)損傷定位后有效識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力。

對(duì)于一般質(zhì)量位置的n自由度動(dòng)力系統(tǒng)，本文將質(zhì)量引入狀態(tài)向量中，其定義如下

其中：xn，x?n分別代表結(jié)構(gòu)的第n個(gè)自由度的位移和速度，kEn，cEn，mn分別代表第n個(gè)自由度的等效線性剛度、等效線性阻尼和質(zhì)量。狀態(tài)向量的均值為，協(xié)方差為P，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程滿足以下非線性方程

其中：g和h分別為狀態(tài)方程和觀測(cè)方程函數(shù)，vk表示協(xié)方差為Rk的觀測(cè)噪聲矩陣。

狀態(tài)向量中結(jié)構(gòu)速度、位移和質(zhì)量的識(shí)別過(guò)程如下。

(1)第k-1時(shí)刻2L+1個(gè)樣本點(diǎn)的確定

(2)樣本點(diǎn)的權(quán)值的確定

其中：Xi,k-1表示第k-1時(shí)刻第i個(gè)樣本點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)第i個(gè)樣本點(diǎn)均值和協(xié)方差的權(quán)值，δ和η分別對(duì)應(yīng)均值和協(xié)方差。L為狀態(tài)向量維數(shù)；γ=α2(L+κ)-L為縮放比例參數(shù)，α決定樣本點(diǎn)與均值點(diǎn)的距離，通常取10-4≤α≤1；κ為另一個(gè)比例參數(shù)，通常設(shè)為0；β結(jié)合了狀態(tài)χ的分布先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)高斯分布，一般取β=2；()i表示矩陣平方根第i列。

(3)時(shí)間更新

(4)量測(cè)更新

至此，通過(guò)一次循環(huán)可得到狀態(tài)向量中結(jié)構(gòu)速度、位移、等效線性參數(shù)及質(zhì)量的更新值。若質(zhì)量識(shí)別結(jié)果收斂，則終止循環(huán)，否則將質(zhì)量迭代更新值代入式(4)中，繼續(xù)循環(huán)迭代。

1.3 基于等效線性和UKF的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力及質(zhì)量識(shí)別迭代算法

本文提出的基于等效線性和UKF的結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力及質(zhì)量識(shí)別迭代算法的步驟如圖1所示。

(1)假設(shè)質(zhì)量初始值m；

(2)引入等效線性的理論，利用UKF得到結(jié)構(gòu)質(zhì)量識(shí)別值，同時(shí)得到結(jié)構(gòu)速度與位移響應(yīng)；

(3)收斂判斷：根據(jù)式(23)計(jì)算誤差ε，若滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)，則停止迭代；否則令m=，重復(fù)以上步驟，本文質(zhì)量收斂判斷準(zhǔn)則為前后兩次迭代誤差小于1%

(4)利用等效線性理論識(shí)別非線性恢復(fù)力。

圖1 結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力與質(zhì)量識(shí)別流程圖

2 數(shù)值算例

為了研究初始誤差較大時(shí)算法的適用性，本文取質(zhì)量初始值誤差為±20%，并向已知加速度中混入4%的白噪聲，以檢驗(yàn)算法的抗噪性。采用的隨機(jī)激勵(lì)時(shí)程如圖2所示。荷載作用時(shí)間和步長(zhǎng)分別為2秒和0.001秒。結(jié)構(gòu)響應(yīng)采用Newmark-β法計(jì)算。

圖2 結(jié)構(gòu)隨機(jī)外激勵(lì)荷載時(shí)程

在本文中，結(jié)構(gòu)層間總恢復(fù)力包含有線彈性恢復(fù)力、黏性阻尼力以及非線性構(gòu)件MR阻尼器提供的非線性阻尼力。在識(shí)別的總恢復(fù)力中扣除結(jié)構(gòu)的線彈性恢復(fù)力和粘性阻尼力得到阻尼器的阻尼力，并與其理論值進(jìn)行比較。體系中非線性構(gòu)件MR阻尼器提供的恢復(fù)力可以根據(jù)下式確定

式中：Fnon為非線性構(gòu)件MR的阻尼力。

2.1 算例一

在一個(gè)4自由度的集中質(zhì)量結(jié)構(gòu)的第二層引入一個(gè)磁流變阻尼器MR的模擬結(jié)構(gòu)非線性行為。不失一般性，考慮結(jié)構(gòu)僅在第4個(gè)自由度受外激勵(lì)作用，如圖3所示。

圖3 計(jì)算模型

線性結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量為400kg，剛度為3.0×105N/m，阻尼為220 N?s/m。MR阻尼器采用Bingham模型[15]，其表達(dá)式為

3.2.1.完善單位內(nèi)部控制環(huán)境，進(jìn)行全面的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。完善單位內(nèi)部控制環(huán)境，首先明確董事會(huì)職責(zé)及成員的產(chǎn)生方式，通過(guò)民主的方式產(chǎn)生董事會(huì)成員，建立科學(xué)的激勵(lì)與約束機(jī)制，以組織文化為基調(diào)規(guī)范人員行為[6]。同時(shí)，需要專業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估人員建立專業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估機(jī)制。單位應(yīng)懂得適時(shí)規(guī)避財(cái)務(wù)、信息、策略等方面的風(fēng)險(xiǎn)，并及時(shí)運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法，判斷出風(fēng)險(xiǎn)的大小與性質(zhì)。

式中：FnBohn為MR阻尼器的恢復(fù)力，fc，C0及f0為模型系數(shù)，取值為fc=20N，C0=600N?s/m，f0=0。

假設(shè)4個(gè)自由度質(zhì)量的初始誤差為真實(shí)值的±20%，并假設(shè)第三層加速度響應(yīng)為未知。質(zhì)量迭代識(shí)別結(jié)果如圖4所示。

經(jīng)過(guò)幾次迭代，質(zhì)量在較大的初始誤差下實(shí)現(xiàn)快速收斂，結(jié)果如表1所示。結(jié)構(gòu)質(zhì)量識(shí)別誤差在0.5%以內(nèi)。

圖5給出了識(shí)別的結(jié)構(gòu)第二、第三層速度、位移與真實(shí)值對(duì)比圖。可見(jiàn)采用UKF能準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)的速度和位移響應(yīng)。

表2給出了識(shí)別的等效線性參數(shù)結(jié)果。由結(jié)果可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)等效剛度值與真實(shí)值相差不大，說(shuō)明MR阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)剛度影響很小。

而第二層等效線性阻尼值與線性結(jié)構(gòu)的阻尼值差別較大，這與MR阻尼器位于結(jié)構(gòu)第二層相吻合。根據(jù)識(shí)別的結(jié)構(gòu)等效線性參數(shù)，利用式(24)可以識(shí)別阻尼器提供的非線性恢復(fù)力。

圖4 質(zhì)量迭代識(shí)別圖

表1 質(zhì)量識(shí)別結(jié)果/kg

表2 等效線性參數(shù)識(shí)別結(jié)果

MR阻尼器的識(shí)別值與理論值的比較如圖6所示。

結(jié)果表明，恢復(fù)力識(shí)別值與真實(shí)值吻合良好。在兩種不同的質(zhì)量初始值下，真實(shí)值與識(shí)別值之間的均方根誤差分別為12.6 N和13.2 N，說(shuō)明算法在較大初始質(zhì)量誤差下系統(tǒng)恢復(fù)力識(shí)別值均具有較好精度。

為了將本文方法與EKF進(jìn)行比較，將等效線性和質(zhì)量矩陣引入EKF中進(jìn)行質(zhì)量迭代識(shí)別，收斂準(zhǔn)則不變。

從圖7可看出，相較于UKF識(shí)別方法，EKF算法質(zhì)量識(shí)別迭代過(guò)程收斂較慢，即使經(jīng)過(guò)多次迭代，誤差依然較大。通過(guò)兩種方法對(duì)比，說(shuō)明本文提出的方法在較大的初始質(zhì)量誤差下質(zhì)量識(shí)別的收斂性能較好。

圖5 結(jié)構(gòu)第二、三層位移、速度響應(yīng)識(shí)別結(jié)果

圖6 MR阻尼器恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果

圖7 EKF質(zhì)量迭代過(guò)程

2.2 算例二

工程結(jié)構(gòu)在強(qiáng)荷載作用下往往會(huì)出現(xiàn)多處損傷，為驗(yàn)證本文所提出的算法在結(jié)構(gòu)出現(xiàn)多處損傷時(shí)的適用性，在一個(gè)6個(gè)自由度集中質(zhì)量結(jié)構(gòu)的第四、第六層均引入的MR阻尼器。

不同于以上算例，本算例中阻尼器恢復(fù)力采用Dahl模型[16]，其表達(dá)式為

其中：K0,C0,Fd,f0,σ為模型參數(shù)，Z為無(wú)量綱滯回量。各參數(shù)取值為，K0=20N/m，C0=500N?s/m，F(xiàn)d=35 N，σ=200s/mf0=0。結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量、剛度和阻尼值與算例一相同。不失一般性，外激勵(lì)作用于結(jié)構(gòu)的第五層。令第二、四層加速度未知，其中第四層為非線性所在層。并同樣向已知加速度響應(yīng)中加入4%的白噪聲。假設(shè)質(zhì)量初始值為真實(shí)值的80%。質(zhì)量迭代識(shí)別過(guò)程如圖8所示，質(zhì)量和等效線性參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出當(dāng)結(jié)構(gòu)存在多處非線性時(shí)，本文算法依然可精確識(shí)別結(jié)構(gòu)質(zhì)量，最大誤差僅為0.85%。將UKF識(shí)別的等效線性參數(shù)與線性值對(duì)比，可判斷非線性特性存在于結(jié)構(gòu)第四、第六層，與真實(shí)情況相符。

圖8 質(zhì)量迭代識(shí)別收斂結(jié)果

表3 質(zhì)量和等效線性參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖9 MR阻尼器恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果

同時(shí)，利用UKF識(shí)別的結(jié)構(gòu)等效線性參數(shù)及速度位移響應(yīng)可識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性層的恢復(fù)力。MR阻尼器提供的非線性恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值得對(duì)比如圖9所示，二者吻合較好。

兩個(gè)MR阻尼器阻尼力的識(shí)別結(jié)果的誤差均方值分別為6.7 N和4.6 N，說(shuō)明結(jié)構(gòu)在多處存在非線性時(shí)，該方法能有效地識(shí)別系統(tǒng)的質(zhì)量和非線性恢復(fù)力。結(jié)合算例一，可見(jiàn)該方法對(duì)不同的非線性模型具有較好的適用性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種僅利用結(jié)構(gòu)部分加速度響應(yīng)測(cè)量和外激勵(lì)的結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力及質(zhì)量的免參數(shù)化模型的識(shí)別方法。該方法最為明顯的優(yōu)勢(shì)是不需要已知結(jié)構(gòu)質(zhì)量及非線性行為的參數(shù)化模型，并且減少了算法對(duì)完整動(dòng)力響應(yīng)的依賴。將等效線性參數(shù)以及結(jié)構(gòu)質(zhì)量加入U(xiǎn)KF的狀態(tài)向量中，通過(guò)循環(huán)迭代實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的非線性行為和質(zhì)量的識(shí)別。避免擴(kuò)展向量和矩陣維度過(guò)大，對(duì)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)多處非線性的情況特別有意義。

在兩個(gè)多自由度鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的數(shù)值模型中引入不同恢復(fù)力模型的MR阻尼器，構(gòu)成非線性系統(tǒng)。通過(guò)數(shù)值模擬表明，在較大質(zhì)量初始誤差、量測(cè)噪音影響以及結(jié)構(gòu)出現(xiàn)多處非線性行為的一般情況下，基于結(jié)構(gòu)部分自由度上的加速度響應(yīng)測(cè)量，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)質(zhì)量和非線性恢復(fù)力的有效識(shí)別，該算法具有較強(qiáng)一般性和抗噪性。

本文提出的多自由度系統(tǒng)非線性行為的時(shí)域算法能對(duì)系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行定位和定量評(píng)估，對(duì)工程結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，特別是必須考慮結(jié)構(gòu)非線性行為的災(zāi)后評(píng)估提供了有效方法。