跳躍-擴(kuò)散模型基于拉普拉斯變換的參數(shù)估計(jì)

韓 瀟

（山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 會(huì)計(jì)學(xué)院，濟(jì)南 250100）

0 引言

近幾十年來(lái)，隨著金融產(chǎn)品的多樣化，尤其是金融衍生產(chǎn)品的不斷涌現(xiàn)，金融隨機(jī)模型的構(gòu)建打破了傳統(tǒng)假設(shè)，日益完善，與此同時(shí)模型的數(shù)學(xué)形式也更加復(fù)雜化。因此，對(duì)于模型參數(shù)的估計(jì)已不能滿足一些經(jīng)典估計(jì)方法的假設(shè)或由于模型過(guò)于復(fù)雜而沒(méi)有確切的解析式等，從而使經(jīng)典估計(jì)方法失效。為此，通過(guò)研究基于拉普拉斯變換的估計(jì)，獲得有效的拉普拉斯變換估計(jì)量，將其應(yīng)用于金融隨機(jī)模型跳躍-擴(kuò)散模型中，為解決實(shí)際金融產(chǎn)品及其衍生產(chǎn)品的定價(jià)等問(wèn)題的研究提供恰當(dāng)?shù)膮?shù)估計(jì)方法。

1 跳躍-擴(kuò)散模型

通過(guò)對(duì)幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程添加跳躍過(guò)程，莫頓提出了混合布朗-泊松過(guò)程[1]：

其中，B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，N(t)為強(qiáng)度參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，B(t)和N(t)兩者相互獨(dú)立，γ為瞬時(shí)漂移，σ為瞬時(shí)波動(dòng)率。

2 基于拉普拉斯變換的估計(jì)量及其漸進(jìn)分布

為了更方便地處理統(tǒng)計(jì)模型，令b為實(shí)數(shù)域中的拉普拉斯變換參數(shù)，這時(shí)的拉普拉斯變換為:

設(shè)x1,x2,…,xn為隨機(jī)變量X的n個(gè)觀察值，則經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換為：

2.1 獨(dú)立同分布的情況

設(shè)θ為參數(shù)向量，θ=(θ1,θ2,…,θp)T（其中，P＞1,T為轉(zhuǎn)置），則隨機(jī)變量X的拉普拉斯變換為其變換參數(shù)向量為以及其觀測(cè)值的經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換為

其中，fb是gb的反函數(shù)。

(b)的漸近分布表示為：

2.2 非獨(dú)立同分布的平穩(wěn)過(guò)程

用經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換估計(jì)嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程并不完全類似獨(dú)立同分布的情形，由于需要考慮到相關(guān)性，類似于邊際經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)，邊際經(jīng)驗(yàn)矩母函數(shù)在相關(guān)的數(shù)據(jù)的情況下可能無(wú)法定義所有的參數(shù)或者會(huì)導(dǎo)致效率的損失。因此，需要通過(guò)一些特殊手段來(lái)實(shí)現(xiàn)近似。

定義隨機(jī)過(guò)程數(shù)據(jù)X1,X2,…,XT的數(shù)據(jù)移動(dòng)塊為因此，每個(gè)數(shù)據(jù)塊包含m+1個(gè)觀測(cè)值，并且與其相鄰塊有m個(gè)重疊的時(shí)期。各塊的聯(lián)合拉普拉斯變換被定義為：

其中，b=(b1,b2,…,bm+1)T為m+1維變換向量變量。聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換定義為：

其中，n=T-m

其中，fb是函數(shù)gb的反函數(shù)。

當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為時(shí)齊獨(dú)立增量過(guò)程時(shí)，具有馬爾科夫性質(zhì)，則其不重疊區(qū)間上的增量相互獨(dú)立。若X(ti)為時(shí)齊獨(dú)立增量過(guò)程，則互不重疊的區(qū)間上的狀態(tài)增量相互獨(dú)立，并且其分布函數(shù)只依賴于時(shí)差Δt。

給出一組時(shí)間ti,i=0,1,…,n，滿足Δt=ti-ti-1，則為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則可以根據(jù)獨(dú)立同分布的情況進(jìn)行估計(jì)。

2.3 最小方差估計(jì)量

為了尋找基于拉普拉斯變換估計(jì)的最有效的估計(jì)，拉普拉斯變換參數(shù)的最佳選擇是令V(θ,b)最小化，定義為：

b*(θ)是令達(dá)到最小的最佳b值。如果b*(θ)獨(dú)立于θ,記為b*,可以直接獲得估計(jì)量：

更多情況下，b*(θ)依賴于θ。在這種情況下，提出了自適應(yīng)估計(jì)量和經(jīng)驗(yàn)最小方差估計(jì)量來(lái)克服這一問(wèn)題。

2.3.1 自適應(yīng)估計(jì)量

首先，在參數(shù)空間中任意選擇b1，并通過(guò)式（5）獲得估計(jì)量然后將中的θ更換為并最小化將得到的新值標(biāo)記為b2。接著得到然后計(jì)算b3，以此類推。重復(fù)迭代，最終獲得無(wú)限序列如 果 迭 代 收 斂 ，即當(dāng)k→∞，則并且θ可以通過(guò)估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)定義為自適應(yīng)估計(jì)量[2]。

其中，u是關(guān)于θ和b的方程，令u=h(b,θ)，則：

記u*為令v(u)最小的取值。因此，通過(guò)式（13）令獲得bA，然后從式（15）獲得

2.3.2 經(jīng)驗(yàn)最小方差估計(jì)量

用來(lái)估計(jì)θ的經(jīng)驗(yàn)最小方差估計(jì)中的bE是使最小化的b值，即在b=bE時(shí)，取最小值[3]。因此，通過(guò)式（5），經(jīng)驗(yàn)最小方差估計(jì)是：

通過(guò)證明，自適應(yīng)估計(jì)經(jīng)常被定義為經(jīng)驗(yàn)最小方差估計(jì)，他們的漸進(jìn)性質(zhì)是相同的[2]。

3 基于拉普拉斯變換的估計(jì)在跳躍-擴(kuò)散模型中的應(yīng)用

3.1 基于拉普拉斯變換的估計(jì)

則其理論拉普拉斯變換為：

其中，θ=(μ,σ,λ,ν,δ)T,b=(b1,b2,b3,b4,b5)T,Mθ(bi)參見(jiàn)式（18）。

經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換為：

θ的估計(jì)量是通過(guò)方程組2,…,5，求解θ所獲得的。

關(guān)于b=(b1,b2,b3,b4,b5)T的選取是令達(dá)到最小值。

3.2 模型的蒙特卡羅模擬

通過(guò)計(jì)算機(jī)（Matlab軟件）模擬數(shù)據(jù)過(guò)程:

首先模擬復(fù)合泊松過(guò)程，產(chǎn)生隨機(jī)指數(shù)分布變量T~expontial(λ),令

3.3 模型估計(jì)

基于拉普拉斯變換估計(jì)計(jì)算機(jī)（Matlab軟件）求解過(guò)程：

第一步：給出初始b值，計(jì)算估計(jì)量

第三步：用求解出的值替換初始b值，重復(fù)上述步驟。直至

在實(shí)際求解多參數(shù)過(guò)程中，由于拉普拉斯變換估計(jì)變換方式相同，唯獨(dú)變換參數(shù)取值不同，最小方差估計(jì)的判定矩陣選出的b的取值相近，而使參數(shù)估計(jì)矩陣接近奇異，難以準(zhǔn)確估計(jì)。

為解決該問(wèn)題，根據(jù)當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為時(shí)齊獨(dú)立增量過(guò)程時(shí)，具有馬爾科夫性質(zhì)，則其不重疊區(qū)間上的增量相互獨(dú)立。若X(ti)為時(shí)齊獨(dú)立增量過(guò)程，則互不重疊的區(qū)間上的狀態(tài)增量相互獨(dú)立，并且其分布函數(shù)只依賴于時(shí)差Δt。因此，略微調(diào)整數(shù)據(jù)的變換，計(jì)算5列數(shù)列Y1,Y2,Y3,Y4,Y5分別為時(shí)差1Δt,2Δt,3Δt,4Δt,5Δt的不重疊的區(qū)間上的狀態(tài)增量數(shù)列。

則其經(jīng)驗(yàn)拉普拉斯變換為：

3.4 蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)

選擇樣本量n=1000，分別選擇參數(shù)θ=(0,1,10,0,0.5)T；

θ=(0,1,15,0,0.5)T進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬。對(duì)每種情況重復(fù)實(shí)驗(yàn)2000次，其估計(jì)效果數(shù)值參見(jiàn)表1。

表1 參數(shù)估計(jì)值的蒙特卡羅模擬結(jié)果

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，通過(guò)改進(jìn)基于拉普拉斯變換的估計(jì)可以較好地估計(jì)跳躍擴(kuò)散模型的參數(shù)。

4 結(jié)論和討論

通過(guò)研究基于拉普拉斯變換的估計(jì)，獲得有效的拉普拉斯變換估計(jì)量，將其應(yīng)用于金融隨機(jī)模型跳躍-擴(kuò)散模型中，通過(guò)模擬分析，可以得到預(yù)期的估計(jì)效果。為解決實(shí)際金融產(chǎn)品及其衍生產(chǎn)品的定價(jià)等問(wèn)題的研究提供參數(shù)估計(jì)方法參考。

基于拉普拉斯變換的估計(jì)量在某些情況下具有一些理想的性質(zhì)，例如，當(dāng)樣本量非常大時(shí)，有一致性和漸近正態(tài)性[4]。而當(dāng)最大似然估計(jì)不可用的情況下，基于拉普拉斯變換的估計(jì)可獲得較為有效的估計(jì)結(jié)果。但值得注意的是基于拉普拉斯變換的估計(jì)并不總是可用的。此外，如果選擇變換參數(shù)b的判斷式的最小化依賴估計(jì)參數(shù)θ，則會(huì)導(dǎo)致效率的損失。并且在一些情況下所述變換參數(shù)b的增加并不總是提高估計(jì)的性能。在一些情況下，只用較少的變換參數(shù)得到最佳的效率，例如判斷式是凸函數(shù)，只有一點(diǎn)是合理有效的，由于這個(gè)原因，有時(shí)使用單點(diǎn)的情況是優(yōu)于使用多點(diǎn)的情況。

在對(duì)跳躍擴(kuò)散模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)，可以得到預(yù)期的估計(jì)效果。但由于參數(shù)較多，其拉普拉斯變換方程組為非線性方程組，沒(méi)有閉合的解析式，計(jì)算復(fù)雜。同時(shí)，漸近分布是沒(méi)有具體表達(dá)式的形式，需要在平衡效率和復(fù)雜性上做出選擇。在利用Matlab軟件求解時(shí)，變換參數(shù)的選擇矩陣由于含參數(shù)較多以及形式復(fù)雜，并且在某些取值下接近奇異陣而產(chǎn)生一系列影響數(shù)值求解精度的問(wèn)題。而且在求解選擇矩陣的最小值時(shí)，由于軟件解析所限，須驗(yàn)證是否是全局最小值，而非局部最小值，因此，需要驗(yàn)證解的真實(shí)性。由于以上種種原因?qū)е虑蠼膺^(guò)程耗時(shí)較長(zhǎng)。