基于蒙特卡羅法的輕氣炮射擊精度評(píng)估

張治彬, 李新洪, 安繼萍

航天工程大學(xué)，宇航科學(xué)與技術(shù)系，北京 101416.

0 引 言

輕氣炮能將相對(duì)更大、性能良好的彈丸發(fā)射至超高速，相比于傳統(tǒng)火炮和電磁軌道炮結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，性能穩(wěn)定，更易于實(shí)現(xiàn)小型化[1-2].目前輕氣炮主要用于進(jìn)行超高速撞擊實(shí)驗(yàn)[3]，尤其是模擬高速空間碎片對(duì)航天器的損傷效果研究[4].基于輕氣炮易于小型化的特點(diǎn)，李新洪等[5-6]提出利用航天器平臺(tái)搭載輕氣炮載荷進(jìn)行空間碎片清除以及作為天基動(dòng)能武器的方案.該方案實(shí)施的首要前提是天基輕氣炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行精確打擊，因此需要對(duì)天基輕氣炮射擊精度進(jìn)行研究.射擊精度評(píng)估在天基輕氣炮系統(tǒng)設(shè)計(jì)、優(yōu)化及性能評(píng)估中起著至關(guān)重要的作用.利用原型機(jī)進(jìn)行打靶試驗(yàn)不僅周期長(zhǎng)、費(fèi)用高、可重復(fù)性差，而且很難在空間中進(jìn)行試驗(yàn)，因此建立模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真打靶試驗(yàn)完成射擊精度評(píng)估是更加高效可行的手段.

射擊精度評(píng)估是一個(gè)跨學(xué)科的問題，包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)、外彈道仿真以及統(tǒng)計(jì)分析.Melissa[7]將武器火控系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行量化，分析了各誤差源對(duì)脫靶量的影響.WANG等[8]系統(tǒng)研究了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度圓誤差概率(CEP)的計(jì)算方法.宋天莉等[9]提出球誤差概率用于導(dǎo)彈武器三維射擊精度評(píng)估.HSU等[10]提出對(duì)特定面目標(biāo)命中概率計(jì)算的數(shù)值方法.由于影響射擊精度的不確定因素較多，因此需要結(jié)合多個(gè)射擊精度評(píng)估指標(biāo)衡量天基輕氣炮作戰(zhàn)性能.馬萍等[11]提出一種多準(zhǔn)則優(yōu)化的拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)法對(duì)電磁軌道炮射擊精度進(jìn)行評(píng)估，并且建立了電磁軌道炮射擊精度評(píng)估的一般框架，為新型武器射擊精度評(píng)估提供了有效的方法.

由于空間環(huán)境與地面環(huán)境的巨大差異，常規(guī)武器射擊精度評(píng)估框架不完全適用于天基輕氣炮.為此作者確定射擊準(zhǔn)確度、射擊密集度、命中概率等評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立天基輕氣炮的射擊精度評(píng)估框架并對(duì)其射擊精度進(jìn)行了評(píng)估.

1 天基輕氣炮射擊精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

武器系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)包括射擊準(zhǔn)確度、射擊密集度、命中概率等.為了全面準(zhǔn)確對(duì)天基輕氣炮作戰(zhàn)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，以上指標(biāo)將作為天基輕氣炮射擊精度評(píng)價(jià)指標(biāo)在文章中被仔細(xì)研究.

1.1 射擊誤差

射擊誤差是彈丸相對(duì)預(yù)期命中點(diǎn)的偏差，由諸元誤差和散布誤差兩部分構(gòu)成[12].諸元誤差是彈丸命中點(diǎn)相對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)位置誤差的平均值，表征射擊的準(zhǔn)確度.屬于系統(tǒng)誤差，即無論發(fā)射多少發(fā)彈丸該誤差都要重復(fù)出現(xiàn).散布誤差是彈丸任一命中點(diǎn)對(duì)散布中心的偏離程度，它描述了射擊的密集度.散布誤差為隨機(jī)誤差，每發(fā)射彈的散布誤差都是相互獨(dú)立的.在一次射擊過程中，如果以相同的射擊諸元進(jìn)行射擊，諸元誤差是相同并且重復(fù)的，但是散布誤差是隨機(jī)的非重復(fù)誤差.由于其本質(zhì)的隨機(jī)性，散布誤差是普遍存在且無法消除的[13].

諸元誤差產(chǎn)生于射擊諸元的決定過程，包括對(duì)天基輕氣炮平臺(tái)與目標(biāo)的測(cè)定軌誤差、射擊諸元求解模型誤差、攝動(dòng)力影響誤差以及輕氣炮載荷本身的制造缺陷導(dǎo)致的誤差.散布誤差產(chǎn)生于射擊過程中各個(gè)階段具有的完全偶然、不可預(yù)測(cè)的干擾和誤差，包括天基輕氣炮姿態(tài)角誤差、彈丸初速誤差以及時(shí)間響應(yīng)誤差等.根據(jù)國內(nèi)測(cè)定軌技術(shù)及姿態(tài)控制技術(shù)現(xiàn)狀，將誤差源分布確定為表1.

誤差的大小用脫靶量E[14]表示，定義為慣性系下彈丸軌跡DC(t)到目標(biāo)軌跡DT(t)間的最短距離矢量.則脫靶量E的范數(shù)為

‖E‖=min‖DC(t)-DT(t)‖(1)

E=ES+ER(2)

圖1 射擊脫靶量的表示Fig.1 Miss distance of shooting

1.2 準(zhǔn)確度指標(biāo)

準(zhǔn)確度定義為：彈丸命中點(diǎn)相對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)位置誤差的平均值.準(zhǔn)確度表征了天基輕氣炮射擊的準(zhǔn)確程度，受到諸元誤差的影響.可以通過改進(jìn)航天器系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理、改善制造精度、提高對(duì)航天器測(cè)定軌精度、提高彈道模型精度以及對(duì)射擊諸元的閉環(huán)校射等手段不斷地提高射擊準(zhǔn)確度.

1.3 密集度指標(biāo)

密集度是彈丸散布點(diǎn)相對(duì)于散布中心的偏離程

度，受到隨機(jī)誤差的影響.對(duì)于二維密集度問題通常使用圓概率誤差CEP作為衡量密集度的指標(biāo).在《GJB102A-98 彈藥系統(tǒng)術(shù)語》中，圓概率誤差CEP的定義為：以目標(biāo)點(diǎn)為圓心，彈著概率為50%的圓域半徑[15].通常將滿足90%，95%，99%置信水平的圓概率誤差記為R90，R95，R99.

1.4 命中概率

脫靶量、射擊準(zhǔn)確度、射擊密集度等指標(biāo)是單方面從武器角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，實(shí)際上天基輕氣炮射擊性能還與目標(biāo)形狀，大小以及材質(zhì)有關(guān).命中概率是指彈丸命中目標(biāo)的概率，是更加綜合性和更加直觀的評(píng)價(jià)指標(biāo)，反應(yīng)了天基輕氣炮針對(duì)不同目標(biāo)的射擊性能.

2 射擊精度評(píng)估框架

天基輕氣炮射擊精度評(píng)估包括射擊準(zhǔn)確度評(píng)估、密集度評(píng)估和命中概率評(píng)估.天基輕氣炮射擊精度評(píng)估的一般框架如圖2所示，包括進(jìn)行仿真打靶試驗(yàn)并通過外彈道軌跡計(jì)算脫靶量，對(duì)脫靶量進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理(包括奇異值檢驗(yàn)、正態(tài)性檢驗(yàn)、相關(guān)性檢驗(yàn))，根據(jù)處理后的脫靶量進(jìn)行射擊精度評(píng)估.

圖2 天基輕氣炮射擊精度評(píng)估框架Fig.2 General framework for firing accuracy evaluation of space-based light gas gun

2.1 設(shè)計(jì)試驗(yàn)

影響射擊精度的不確定性因素包括天基輕氣炮姿態(tài)角、彈丸發(fā)射速度、時(shí)間響應(yīng)等，因此有必要通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)將各種誤差因素影響考慮進(jìn)天基輕氣炮外彈道仿真，從而進(jìn)行射擊精度評(píng)估，進(jìn)一步可以通過對(duì)仿真數(shù)據(jù)的多因素分析，定量的得到各項(xiàng)誤差源對(duì)射擊精度的影響程度.試驗(yàn)設(shè)計(jì)法是通過制訂適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)方案，以利于對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行有效統(tǒng)計(jì)分析的方法，包括蒙特卡羅法，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)法(LHD)[16].為了更加準(zhǔn)確的對(duì)天基輕氣炮射擊精度進(jìn)行評(píng)估，本文采用蒙特卡羅法進(jìn)行仿真打靶試驗(yàn).

2.2 脫靶量計(jì)算

過目標(biāo)點(diǎn)(T)有且僅有一個(gè)與彈丸和目標(biāo)相對(duì)存速(Vd*)垂直的平面，該平面被稱為迎彈面，彈丸軌跡與迎彈面的交點(diǎn)被稱為穿越點(diǎn)(C)，根據(jù)脫靶量的定義可得穿越點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的偏差即脫靶量，由此可見脫靶量并非是三維獨(dú)立矢量，而是迎彈面上的二維獨(dú)立矢量.

(3)

其中x1稱為方向偏差，x2稱為高低偏差.

圖3 射擊誤差坐標(biāo)系Fig.3 Shooting error coordinate system

2.3 數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于天基輕氣炮仿真打靶試驗(yàn)的輸出數(shù)據(jù)受到輸入數(shù)據(jù)、計(jì)算方法以及其他不確定因素的影響，試驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)存在一定的噪聲，直接利用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行精度評(píng)估會(huì)導(dǎo)致評(píng)估結(jié)果的精確度降低.因此需要對(duì)仿真的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理.數(shù)據(jù)預(yù)處理包括正態(tài)性檢驗(yàn)、奇異值檢驗(yàn)、相關(guān)性檢驗(yàn).

1) 正態(tài)性檢驗(yàn)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)的方法有偏度峰度聯(lián)合檢驗(yàn)，W 檢驗(yàn)，K-S檢驗(yàn)，Lilliefors檢驗(yàn)(LF檢驗(yàn))等.LF檢驗(yàn)[17]是將K-S檢驗(yàn)改進(jìn)用于一般性的正態(tài)性檢驗(yàn)，適用于假設(shè)分布參數(shù)未知的情況.本文選取LF正態(tài)性檢驗(yàn).考慮樣本數(shù)為n的觀測(cè)值，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義為：

(4)

2) 奇異值檢驗(yàn)

|x1i-u1|>3σ,則可疑值x1i含有粗大誤差，應(yīng)該剔除.

|x1i-u1|≤3σ,則可疑值x1i為正常值，予以保留.

將可疑值剔除后重復(fù)以上過程，直至將所有奇異值剔除.每一組脫靶量包含方向偏差和高低偏差，因此將方向偏差剔除的同時(shí)也需要剔除該組的高低偏差.

3) 相關(guān)性檢驗(yàn)[18]

用樣本相關(guān)系數(shù)r作為ρ的點(diǎn)估計(jì)量.檢驗(yàn)假設(shè)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

(5)

服從自由度為n-2的t分布.對(duì)于顯著性水平α，使

(6)

(7)

2.4 射擊精度評(píng)估

對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理之后，檢驗(yàn)出方向偏差與高低偏差服從相互獨(dú)立的二維正態(tài)分布，便可以根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行射擊精度評(píng)估.

1) 準(zhǔn)確度檢驗(yàn)

根據(jù)準(zhǔn)確度的定義可知，對(duì)脫靶量求取均值即是準(zhǔn)確度.

(8)

2) 密集度評(píng)估

f(x1,x2)=

(9)

則滿足下式的R即圓概率誤差

(10)

3) 命中概率評(píng)估

命中概率評(píng)估包括統(tǒng)計(jì)法和數(shù)值積分法，本文利用數(shù)值積分法計(jì)算命中概率.如圖4所示，在射擊誤差坐標(biāo)系Tx1x2內(nèi)，矩形為目標(biāo)，T為目標(biāo)幾何中心，長(zhǎng)度為l1，寬為l2，面積ST；橢圓形為彈丸散布，T′為彈丸散布中心，均值為μ1，μ2，標(biāo)準(zhǔn)差為σ1，σ2.根據(jù)彈丸脫靶量概率密度公式(9)，單發(fā)彈丸對(duì)目標(biāo)命中概率為

圖4 命中概率計(jì)算Fig.4 Calculation of hit probability

3 仿真試驗(yàn)結(jié)果及討論

本節(jié)針對(duì)某中高軌目標(biāo)進(jìn)行仿真打靶試驗(yàn)，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行射擊精度評(píng)估.目標(biāo)位于高度10 354 km的圓形軌道上，軌道傾角為55°，天基輕氣炮軌道比目標(biāo)軌道高50 km，并在接近目標(biāo)時(shí)對(duì)目標(biāo)實(shí)施精確打擊.目標(biāo)與天基輕氣炮軌道初始參數(shù)如表2.

天基輕氣炮收到指令后，對(duì)自身與目標(biāo)進(jìn)行測(cè)定軌并通過火控系統(tǒng)解算射擊諸元，隨后開始調(diào)整姿態(tài)進(jìn)行瞄準(zhǔn)，15秒鐘后發(fā)射初速度為1 500 m/s的彈丸對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊.每組試驗(yàn)進(jìn)行300次蒙特卡羅仿真打靶，每組試驗(yàn)的系統(tǒng)誤差保持不變，如表3.隨機(jī)誤差滿足表1中的分布.

表2 目標(biāo)與天基輕氣炮軌道參數(shù)Tab.2 Orbital elements of the target and space-based light gas gun

表3 系統(tǒng)誤差大小Tab.3 Values of system errors

表4給出部分有代表性的仿真數(shù)據(jù)，每列數(shù)據(jù)的粗體表示最大值和最小值.圖5為仿真打靶試驗(yàn)散點(diǎn)圖.紅色點(diǎn)表示散布中心，坐標(biāo)(295.4， 339.8)，由于存在系統(tǒng)誤差，散布中心不在坐標(biāo)原點(diǎn).

表4 仿真打靶數(shù)據(jù)Tab.4 Data of simulation shooting

圖5 仿真打靶試驗(yàn)散點(diǎn)圖Fig.5 Scatter diagram of simulated shooting test

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理

1) 正態(tài)性檢驗(yàn)

在1%的顯著性水平下，臨界值為0.060 5.方向偏差x1的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.034 4，不在拒絕域內(nèi)，因此接受原假設(shè)即方向偏差服從正態(tài)分布.高低偏差x2的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.029 1，不在拒絕域內(nèi)，因此接受原假設(shè)即高低偏差服從正態(tài)分布.圖6為樣本的累計(jì)分布函數(shù)圖，藍(lán)色曲線為方向誤差EDF，虛線為PDF，紅色曲線為高低誤差的EDF，虛線為PDF.

圖6 樣本的累計(jì)分布函數(shù)圖Fig.6 Cumulative distribution function diagramof samples

2) 奇異值檢驗(yàn)

根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行奇異值檢驗(yàn)，得到系統(tǒng)的十個(gè)奇異值為3(-314.861 0，-59.591 8)，25(-15.583 4，-290.421 7)，68(-242.509 1，-94.176 9)，133(213.420 7，-97.508 6)，158(29.477 3，-257.356 8)，197(-238.438 0，-3.605 8)，254(-174.897 4，-251.351 4)，273(170.242 6，-8.043 9)，298(-115.616 1，-259.210 1)，300(-273.381 8,9.850 7).如圖5所示，綠色*號(hào)表示10個(gè)奇異值點(diǎn).

3) 獨(dú)立性檢驗(yàn)

對(duì)剩下的290組數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，x1與x2的相關(guān)系數(shù)為0.104 1，統(tǒng)計(jì)量t=1.776 2,臨界值為2.593 0，因此統(tǒng)計(jì)量不在拒絕域內(nèi)，原假設(shè)成立，即x1和x2相互獨(dú)立.

3.2 天基輕氣炮射擊精度評(píng)估

根據(jù)第三節(jié)的天基輕氣炮射擊精度評(píng)估框架，將經(jīng)過預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行射擊精度評(píng)估，脫靶量均值和方差如表5第一列.因此系統(tǒng)準(zhǔn)確度為：

(12)

對(duì)于不同尺寸和形狀的平面目標(biāo)， 命中概率如表5.可以看出，在本文設(shè)定的射擊誤差與目標(biāo)尺寸下，由積分法得到的命中概率比較小.一方面，系統(tǒng)誤差的存在導(dǎo)致散布中心偏離目標(biāo)，另一方面，彈丸的散布特性導(dǎo)致了命中概率的降低.由于射程達(dá)到了352.89 km，誤差因素的影響因累積效應(yīng)而被放大，根據(jù)上一章的分析，對(duì)目標(biāo)的位置測(cè)量誤差和速度測(cè)量誤差是制約天基輕氣炮射擊精度的最主要因素，因此為提高射擊精度必須提高對(duì)目標(biāo)的測(cè)位和測(cè)速精度.

圖7 圓概率誤差計(jì)算Fig.7 Calculation of circle probability error

表5 命中概率計(jì)算結(jié)果Tab.5 Calculation results of hit probability

彈丸脫靶量點(diǎn)估計(jì)準(zhǔn)確度密集度(CEP)目標(biāo)參數(shù)長(zhǎng)度l1/m寬度l2/m命中概率(P)μ1=-31.720 4μ2=-37.004 5σ1=70.212 5σ1=77.881 8-31.7204-37.004587.1472m或0.2358mil4610204810200.000 3760.001 130.002 340.009 35

4 結(jié) 論

確定了準(zhǔn)確度、密集度、命中概率等射擊精度評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別衡量系統(tǒng)誤差影響、隨機(jī)誤差影響以及系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響.提出天基輕氣炮射擊精度評(píng)估一般框架，包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)與仿真，根據(jù)外彈道仿真數(shù)據(jù)計(jì)算脫靶量，對(duì)脫靶量進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，分別進(jìn)行準(zhǔn)確度評(píng)估、密集度評(píng)估及命中概率評(píng)估.建立了天基輕氣炮誤差源模型并對(duì)其射擊精度進(jìn)行了有效的評(píng)估，結(jié)果表明目前對(duì)中高軌非合作目標(biāo)測(cè)軌精度差是影響射擊精度的一項(xiàng)重要因素.

下一步將進(jìn)行天基輕氣炮射擊精度分析，定量的分析每一項(xiàng)誤差源對(duì)射擊精度的影響，從而在研制過程中有針對(duì)性的進(jìn)行優(yōu)化.由于射程較遠(yuǎn)，誤差影響隨著射程增加而被放大，通過彈丸末制導(dǎo)、子母彈、校射等手段提高天基輕氣炮射擊精度也是將來的研究重點(diǎn).