基于優(yōu)化K-GM(1，1)在橋梁變形預測中的應用研究

羅少歡，豆紅磊

(1.珠海市測繪院，廣東 珠海 519000； 2.湘潭大學土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105)

1 引 言

變形監(jiān)測是對監(jiān)視對象或物體進行測量，以確定其空間位置隨時間的變化特征[1]。橋梁工程變形監(jiān)測是為了及時了解在施工過程中支護結(jié)構(gòu)和鄰近建(構(gòu))筑物的變形規(guī)律及動態(tài)發(fā)展趨勢，并對橋梁體系的穩(wěn)定性、可靠性和安全性進行預測預報。分析變形監(jiān)測的方法很多[2～5]，其中灰色系統(tǒng)GM(1，1)模型[6]以其顯著的優(yōu)勢被廣泛應用于變形監(jiān)測中，并取得了顯著的效果。文獻[7]指出，在穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列中，采用傳統(tǒng)GM(1，1)模型預測，可以很好地反映數(shù)據(jù)序列的變化趨勢。文獻[8]指出傳統(tǒng)GM(1，1)模型，數(shù)據(jù)序列初始值過舊導致預測精度不高，采取更新數(shù)據(jù)序列的初始值對傳統(tǒng)模型進行了改進，建立新陳代謝GM(1，1)模型，雖然驗證了方法的可行性，但是對于原始序列呈現(xiàn)波動較大的情況下，依然存在問題。文獻[9～11]基于傳統(tǒng)GM(1，1)模型建模機理，從原始序列、初始值、背景值等方面對其優(yōu)化，但該方法對含噪聲較大的數(shù)據(jù)擬合精度并不高?？柭鼮V波是一種能夠從觀測量中估計出所需數(shù)據(jù)信號的濾波算法，對數(shù)據(jù)具有消噪和平滑作用，能對動態(tài)系統(tǒng)進行實時數(shù)據(jù)處理，該濾波最大的特點是剔除隨機干擾噪聲[12]。本文參考了文獻[13，14]的設計思路，利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪能力，對原始數(shù)據(jù)進行濾波降噪處理，基于灰色模型建模機理，分別對濾波后的初始值、背景值進行優(yōu)化，建立了基于K-GM(1，1)模型，以角比西大橋沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行預測分析，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進行對比，工程實例分析表明，基于優(yōu)化K-GM(1，1)模型的預測精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，為以后同類橋梁變形監(jiān)測提供參考。

2 模型分析

2.1 卡爾曼濾波模型

不考慮控制作用，離散系統(tǒng)卡爾曼濾波方程可表示為：

(1)

式中：Xk是系統(tǒng)的n維狀態(tài)序列；Zk是系統(tǒng)的m維觀測序列；Wk-1是p維系統(tǒng)過程噪聲序列；Vk是m維觀測噪聲序列；Φk，k-1是系統(tǒng)的n×n維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk，k-1是n×p維噪聲輸入矩陣；Hk是m×n維觀測矩陣。系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計特征為：

(2)

式中：Qk是系統(tǒng)過程噪聲Wk的p×p維對稱非負定方差矩陣；Rk是系統(tǒng)觀測噪聲Vk的m×m維對稱正定方差矩陣；δkj是Kronecker-δ函數(shù)。

狀態(tài)一步預測：

(3)

狀態(tài)估計：

(4)

2.2 傳統(tǒng)GM(1，1)模型的建立

(3)建立影子方程

(5)

式中參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關系。

(6)

(7)

(5)對式(7)進行累減，得到原始序列x(0)的還原式：

(8)

2.3 優(yōu)化GM(1，1)模型[15]

2.4 GM(1，1)模型的精度檢驗

為判斷GM(1，1)模型進行預測的可靠性，需要對模型精度進行檢驗，常用的灰色預測模型檢驗方法一般有殘差檢驗合格模型、均方差比合格模型和小誤差概率合格模型。

(1)殘差檢驗合格模型

殘差序列：

(9)

相對誤差序列：

(10)

(2)均方差比和小誤差概率合格模型

分別為殘差的均值、方差。

精度檢驗等級參照表 表1

3 實例分析

角比西大橋位于蘇洼龍水電站工程區(qū)上游角比西村溝口上游約 500 m處。主橋設計為三跨預應力混凝土連續(xù)鋼構(gòu)橋，3號4號橋墩為主橋橋墩，承臺高 73 m。以2017-8-1～2017-8-9監(jiān)測點實測數(shù)據(jù)為例，選取具有代表性的CT3監(jiān)測點9期數(shù)據(jù)進行分析，第一步對原始序列進行卡爾曼濾波降噪處理，第二步對處理后的數(shù)據(jù)按照文獻[15]對初始值、背景值進行改進，建立優(yōu)化的K-GM(1，1)模型，最后以前5期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，后4期數(shù)據(jù)進行模型預測，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型預測結(jié)果對比，分析監(jiān)測點CT3的沉降變化趨勢，兩種模型對監(jiān)測數(shù)據(jù)擬合預測結(jié)果如表2所示。其中實際觀測數(shù)據(jù)為累計沉降值，單位為mm。

監(jiān)測點CT3擬合預測結(jié)果檢驗表 表2

在沉降監(jiān)測建模過程中，卡爾曼濾波模型認為監(jiān)測點位移速度的均值不變，并在濾波中將監(jiān)測點的位置及其位移速度作為狀態(tài)參數(shù)，將唯一加速度視為動態(tài)噪聲[16]，設tk時刻監(jiān)測點的位移量為xk，位移速度向量為uk，位移加速度為Wk，則卡爾曼濾波方程為：

(11)

其中△tk=tk-tk-1，式中，I為單位矩陣，當其為一維向量時I=1。本文取初始參數(shù)Qk=1，Rk=1，初始狀態(tài)向量X0=[2.06，0]T初始估計誤差協(xié)方差陣為P0=[0.01，0；0，0.001]，利用Matlab編程[17]并執(zhí)行卡爾曼濾波，計算結(jié)果如表2所示，單位為mm。

監(jiān)測點CT3的預測效果精度評定表 表3

圖1 CT3實測值與擬合預測值對比圖

圖2 CT3兩種模型的殘差曲線

4 結(jié) 論

(1)本文通過用卡爾曼濾波對原始沉降數(shù)據(jù)進行降噪處理，基于灰色模型建模機理，對降噪后的數(shù)據(jù)序列分別進行初始值和背景值的優(yōu)化，建立優(yōu)化的K-GM(1，1)模型，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進行對比分析，確定了優(yōu)化的K-GM(1，1)模型應用于橋梁變形監(jiān)測的可行性。

(2)結(jié)合工程實例分析，兩種模型預測值與實測值的殘差基本都在零附近波動，優(yōu)化的K-GM(1，1)模型精度高于傳統(tǒng)灰色模型，更具有動態(tài)變形的適應性，提高了橋梁變形預測與變形分析的可靠性。