基于最小二乘法的NAR模型及其在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

范成成，張俊

(貴州大學(xué)礦業(yè)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

1 引 言

現(xiàn)代建筑物的地基壓力不斷增大，必然會(huì)引起建筑物地基及周邊環(huán)境的形變，當(dāng)變形達(dá)到一定的極限，就會(huì)對(duì)建筑物主體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞，間接對(duì)周圍環(huán)境造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。目前，針對(duì)不同建筑的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理預(yù)報(bào)，不同的研究人員提出了不同的方法。對(duì)于軟土路基礦區(qū)等監(jiān)測(cè)多見(jiàn)AR模型[1，2]對(duì)其進(jìn)行處理分析。對(duì)于隧道的基坑監(jiān)測(cè)多使用灰色模型[3，4]進(jìn)行處理。當(dāng)然，也有利用其他模型來(lái)進(jìn)行平差處理及預(yù)報(bào)，如Gompertz模型、Verhulst優(yōu)化模型、Lstsvr模型等[5，6]。

本文在AR模型的基礎(chǔ)上，提出了NAR模型[7，8]的最小二乘法解算方法解算模型的參數(shù)并用所求參數(shù)帶入模型對(duì)所觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和模擬預(yù)報(bào)及精度評(píng)定，再與AR模型所處理的數(shù)據(jù)及原始觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，由二者對(duì)比結(jié)果分析得出，NAR模型在沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)中的可行性，且與AR模型所預(yù)報(bào)值相比較為穩(wěn)定。

2 模型簡(jiǎn)介

2.1 AR模型的最小二乘法

AR模型是一種線性時(shí)間序列模型，在工程實(shí)踐和定位導(dǎo)航等方面都有著廣泛應(yīng)用[9，10]。AR模型公式如下：

(1)

對(duì)式(1)用矩陣形式可以寫為：

L=BX

(2)

(3)

X=(BTPB)BTPL

(4)

以上就是AR模型的最小二乘解法。其單位權(quán)中誤差可用下式進(jìn)行評(píng)定：

(5)

其中V=BX-L。P為權(quán)陣，定權(quán)需要根據(jù)實(shí)際觀測(cè)情況。一般觀測(cè)都是在同等條件下進(jìn)行，故P可視為單位權(quán)矩陣。

2.2 基于SVD的AR模型總體最小二乘解法

總體最小二乘平差方法是一種顧及系數(shù)矩陣誤差的一種解算方法，此方法的提出是因?yàn)閮H用經(jīng)典最小二乘平差會(huì)忽略掉系數(shù)矩陣的誤差，因此，總體最小二乘的提出大大解決了此問(wèn)題。

結(jié)合AR模型，其總體最小二乘的函數(shù)模型可以寫成下列形式：

(A+△A)X=L+△L

(6)

式中△A表示系數(shù)矩陣的誤差，△L表示觀測(cè)值誤差。將模型進(jìn)一步表示為：

(A+EA)X=L+e

(7)

式(7)中：

將增廣矩陣進(jìn)行奇異值分解：

(8)

上式中，

所以，總體最小二乘的參數(shù)解便可由VT的最后一列求得，即：

(9)

以上就是AR模型的總體最小二乘奇異值解法，其單位權(quán)中誤差也可用下式進(jìn)行評(píng)定[11]：

(10)

同樣V=AX-L。

3 NAR模型及其最小二乘解法

NAR模型也是一種時(shí)間序列的非線性自回歸模型，其模型公式為：

zt=g(zt-1，zt-2，…，zt-p)+εt

(11)

式中g(shù)(zt-1，zt-2，…，zt-p)表示非線性函數(shù)，t為時(shí)間序列，其值為1，2，…N。上式可用多項(xiàng)式的非線性AR模型進(jìn)行逼近[8]，即：

(12)

利用式(12)結(jié)合最小二乘法，將其寫為矩陣形式：

L=BX+ε

(13)

S為多項(xiàng)式階數(shù)。所以由系數(shù)矩陣B，觀測(cè)值L，利用經(jīng)典最小二乘平差得出參數(shù)求解公式：

(14)

其余部分與AR模型最小二乘解法一致。

4 算例分析

4.1 實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證此模型的可行性與精度，本文采用文獻(xiàn)[11]中的例題5.6的實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)NAR模型進(jìn)行驗(yàn)證，并與AR模型進(jìn)行對(duì)比。此實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用AR(3)模型進(jìn)行擬合，故在NAR模型中也效仿AR模型采用3階進(jìn)行參數(shù)求解。

用本文模型的最小二乘算法、AR最小二乘法及其SVD法三種方法所引用的數(shù)據(jù)所求得的參數(shù)估值及單位權(quán)中誤差如表2所示。表1所示的是三種平差方法所求得的平差值和實(shí)測(cè)觀測(cè)沉降數(shù)據(jù)。圖1顯示了三種方法平差結(jié)果和原始觀測(cè)值的殘差絕對(duì)值的對(duì)比。

形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù) 表1

三種方法的參數(shù)值及單位權(quán)中誤差 表2

從表2可以看出AR模型的最小二乘法和其SVD法所求的單位權(quán)中誤差明顯大于NAR模型所求得的單位權(quán)中誤差，由表1和圖1可知，NAR模型的最小二乘和AR模型的最小二乘平差結(jié)果比較接近，而AR模型的SVD法的結(jié)果與前兩者相差較大。一方面可能是由于總體最小二乘方法的奇異值分解理論未完善，另一方面可能由于本文所引用的數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)的自回歸時(shí)間序列[9]。在其他期兩種模型的最小二乘法走勢(shì)相對(duì)一致時(shí)，可以看出第13期、17期、16期的NAR模型處理的結(jié)果較好。

圖1 三種方法平差結(jié)果與原始觀測(cè)值的比較

4.2 預(yù)報(bào)分析

前文檢測(cè)了NAR模型方法的內(nèi)符合精度，接下來(lái)用前30期的觀測(cè)值來(lái)驗(yàn)證NAR模型的外符合精度。也是采用兩種模型的最小二乘法和AR模型的SVD法求解系數(shù)并預(yù)測(cè)31期到36期的沉降數(shù)據(jù)。根據(jù)前30期的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)所求得的參數(shù)及預(yù)報(bào)值如表3所示，圖2所表示的是NAR模型LS法、AR模型的LS法和AR模型SVD法的預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)測(cè)觀測(cè)值的殘差絕對(duì)值對(duì)比，圖3是三種方法與原始值的走勢(shì)對(duì)比。

四種方法的預(yù)報(bào) 表3

圖2 三種方法預(yù)報(bào)結(jié)果的殘差絕對(duì)值比較

圖3 三種方法預(yù)報(bào)值與原始值對(duì)比

經(jīng)過(guò)計(jì)算，NAR模型LS法、AR模型LS和SVD法預(yù)報(bào)值的單位權(quán)中誤差分別為 0.775 0、0.809 1、1.036 2?？梢?jiàn)NAR的單位權(quán)中誤差最小。由表3和圖2可以看出，在第31期～第36期的數(shù)據(jù)中，NAR模型所預(yù)報(bào)的值與真值相比，效果相對(duì)于AR模型來(lái)說(shuō)較穩(wěn)定，波動(dòng)性小。AR模型的SVD方法所預(yù)報(bào)的效果波動(dòng)性大且效果最差；圖3可以看出NAR模型預(yù)測(cè)值的折線比較靠近原始觀測(cè)值，且結(jié)合圖2、圖3，在第34期可以看出當(dāng)AR模型的波動(dòng)較大時(shí)，NAR模型預(yù)測(cè)結(jié)果較好，可見(jiàn)NAR模型在處理此類3階數(shù)據(jù)時(shí)的抗差力較強(qiáng)于AR模型。所以，NAR模型的外符合精度在此也能得以驗(yàn)證。

5 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)以上的結(jié)果證明，NAR模型應(yīng)用在沉降變形監(jiān)測(cè)的工程實(shí)例中是可行的，無(wú)論是NAR模型還是AR模型，由于其模型的特殊性可知，其觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的誤差同源，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)迭代，系數(shù)矩陣元素誤差也會(huì)影響觀測(cè)向量。盡管經(jīng)典最小二乘平差法理論上不能處理系數(shù)矩陣誤差，宜采用整體最小二乘法，但是，由于整體最小二乘法的理論仍未完善導(dǎo)致基于SVD法的AR模型總體最小二乘結(jié)果較差。本文對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果可以看出基于最小二乘的NAR模型在變形沉降數(shù)據(jù)處理中可以得到比AR模型更高更穩(wěn)定的預(yù)測(cè)外符合精度。