AHP中指數(shù)標(biāo)度下的區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造及其一致性自動調(diào)整方法

艾春安，奉非東，李 劍，劉凱旋

（火箭軍工程大學(xué) 601教研室，西安 710025）

0 引言

層次分析法（AHP）[1]是一種利用專家知識和經(jīng)驗，在對受評屬性進(jìn)行分層的基礎(chǔ)上將定性分析與定量分析相結(jié)合的主觀決策方法。因其具有系統(tǒng)性、實用性、簡潔性和有效性的優(yōu)點，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、管理、軍事等領(lǐng)域的決策中去。但不可否認(rèn)的是，該方法自上世紀(jì)80年代提出以來，在國內(nèi)外爭議一直比較大[2-5]，爭議的焦點除逆序外，主要集中在判斷矩陣的構(gòu)造以及一致性問題上。對于前者，許多學(xué)者提出了利用不同標(biāo)度（1-9標(biāo)度，指數(shù)標(biāo)度，三標(biāo)度等）、不同矩陣類型（互補(bǔ)型，互反型）、不同矩陣元素（整數(shù)，灰數(shù)，模糊數(shù)，殘缺型等）來構(gòu)造判斷矩陣，以期更準(zhǔn)確地將專家主觀判斷與指標(biāo)客觀重要性差別匹配起來，但各種構(gòu)造方式都有其不足[6-9]，特別是對區(qū)間數(shù)決策的研究重點主要集中在一致性與求權(quán)理論上，忽視了對區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造的研究；對于后者，目前應(yīng)用最普遍的一致性檢驗標(biāo)準(zhǔn)是Saaty[1]提出的相對一致性指標(biāo)CR，但因其以0.1作為臨界值并沒有相應(yīng)的理論依據(jù)，因此受到很多學(xué)者的質(zhì)疑。此外，利用統(tǒng)計方法對一致性進(jìn)行檢驗[10]也較為常見，但該方法同樣存在統(tǒng)計量選擇和其臨界值設(shè)置的合理性問題。而在一致性調(diào)整方面，目前應(yīng)用的方法主要有：一是由評價者根據(jù)自身的經(jīng)驗知識進(jìn)行調(diào)整；二是返回專家進(jìn)行調(diào)整；三是通過變換找出對一致性影響最大的元素進(jìn)行調(diào)整；四是直接構(gòu)造一個完全一致的判斷矩陣；五是通過向元素加入擾動，得到滿足一致性要求的判斷矩陣。但無論采用哪種檢驗與調(diào)整的方式，都會增加AHP法的復(fù)雜程度，更為重要的是，上述判斷矩陣的調(diào)整方法會使原本就受專家主觀影響的AHP法，再一次加入了決策者調(diào)整時的主觀影響。因此，最好的處理方式是合理地繞開一致性的檢驗，并尋求盡可能忠實于專家的判斷信息的一致性自動優(yōu)化方法。

1 區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣的構(gòu)造

應(yīng)用AHP法的關(guān)鍵在于給出能夠真實反映專家判斷意圖的判斷矩陣。但在實際評價中，由于受到專家專業(yè)、知識、經(jīng)驗、主觀偏好的影響，以及客觀世界本身所具有的模糊性與復(fù)雜性，使得專家在判斷中往往存在一定的不確定性，無法準(zhǔn)確地用精確值給出判斷矩陣。而區(qū)間數(shù)作為一個實數(shù)集，表示的是一個取值范圍，可以很好地描述專家判斷中的不確定性。因此，本文將專家的判斷值與對該判斷值的不確定度結(jié)合起來，構(gòu)造出包含專家不確定度信息的區(qū)間數(shù)判斷矩陣。

此外，選擇合適的標(biāo)度來準(zhǔn)確量化專家的判斷意圖也十分重要，不合適的標(biāo)度不但會造成判斷矩陣的不一致，歪曲專家意圖，還會對最終評價結(jié)果造成不容忽視的影響[11]。而基于韋伯定律提出的指數(shù)標(biāo)度能夠很好地將專家的主觀判斷與指標(biāo)實際重要性比值對應(yīng)起來[12]，本文將其作為區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造的基礎(chǔ)。具體構(gòu)造方法如下。

表1 主觀感覺重要性比較標(biāo)度

表2 不確定性比較標(biāo)度

表2中不確定性標(biāo)度的取值范圍，可由評價者根據(jù)特定評價的需要選取，也可以通過征詢專家的意見選取。本文取1.8作為不確定度的最大值是因為目前多數(shù)文獻(xiàn)中的判斷矩陣元素區(qū)間長度都不超過3.6，如此取值可保證該方法構(gòu)造出判斷矩陣，其元素的區(qū)間長度與大部分評價案例相符。

2 區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣的一致性討論

得出區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣以后就要對其一致性進(jìn)行討論。但是目前學(xué)術(shù)界對判斷矩陣的一致性檢驗沒有一個公認(rèn)的較為圓滿的方法，加之本文所采用的區(qū)間數(shù)判斷矩陣屬于非確定型判斷矩陣，劉開第等[13]指出了對其進(jìn)行一致性檢驗是不必要的。因此本文采用如下方法對區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣進(jìn)行一致性調(diào)整。

2.1 常規(guī)主觀感覺判斷矩陣的一致性自動調(diào)整

對于常規(guī)感覺判斷矩陣一致性的相關(guān)定義見文獻(xiàn)[14],本文將在此基礎(chǔ)上給出一種主觀感覺判斷矩陣的一致自動性調(diào)整方法。

其中α為該指數(shù)標(biāo)度的比例參數(shù)。為正互反判斷矩陣，其完全一致時滿足：

將式（2）帶入式（3）得：當(dāng)A=(aij)n×n完全一致時，有：

證：由式（4）可知存在ξ1，ξ2，…，ξn≥0 ，使得對應(yīng)元素差距之和的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

求minJ有：

由式（7）可知：

所以：

證畢。

綜上可知，對于常規(guī)主觀感覺判斷矩陣可利用式（1）進(jìn)行變換得到與原矩陣最接近的完全一致主觀感覺判斷矩陣。

2.2 區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣的一致性自動調(diào)整

其中：

不難看出，M1代表專家對的直接判斷信息，M2代表專家對的間接判斷信息。

其中：

此時得出的C′為滿足專家意圖的最優(yōu)一致性區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣。下面討論式（13）的合理性，并對式（14）給出證明。

首先討論式（13）的合理性：在常規(guī)主觀感覺判斷矩陣中，式（9）中M1、M2可改寫為：

不難看出λ1、λ2分別為直接、間接判斷信息的均值，θ1、θ2分別為λ1、λ2在cˉ′ij中所占的比例，且該比例當(dāng)2＜n＜4時側(cè)重直接判斷信息，當(dāng)n＞4時側(cè)重間接判斷信息，原因是當(dāng)n＞4時用于間接判斷的矩陣元素要比用于直接判斷的多，因此這樣的信息構(gòu)成比例在常規(guī)主觀感覺判斷矩陣中是合理的。而本文所給的區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣中，專家已經(jīng)給出了直接判斷值的可靠性，更好的做法是取來讓專家自己決定的信息構(gòu)成比例。綜上所述式（13）的提出是合理的。

接下來證明式（14）。

證明：因為為對應(yīng)的不確定度，不妨視其為的誤差，綜合式（10）、式（11）、式（13）三式可以得出：

將式（17）帶入式（16）即得：

證畢。

3 本文方法的優(yōu)勢

3.1 區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造的優(yōu)勢

（1）判斷值與不確定度匹配靈活，且取值符合心理物理學(xué)定律

目前的區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造方法上，主要有以下幾個思路：一是將多個精確值判斷矩陣融合成區(qū)間數(shù)判斷矩陣，如Mazurek[15]將各專家給出的判斷矩陣取最小值最大值構(gòu)成區(qū)間數(shù)判斷矩陣，該方法的缺陷是區(qū)間數(shù)僅起到融合專家意見的作用，而未包含專家在指標(biāo)相對重要性判斷上的不確定性；二是將用于判斷矩陣賦值的比較標(biāo)度值用區(qū)間數(shù)代替，如Abdullah和Najib[16]給出了與saaty1-9標(biāo)度相對應(yīng)的三角型直覺模糊數(shù)的AHP比較標(biāo)度，Abdullah和Zulkifli[17]給出了梯形區(qū)間數(shù)比較標(biāo)度，該方法雖然在一定程度上包含了專家在判斷中的不確定度，但其判斷值與不確定度匹配是唯一固定的，不如本文方法靈活；三是給出帶可變參數(shù)的區(qū)間數(shù)標(biāo)度值，使區(qū)間標(biāo)度值隨專家確定度的不同而變化，如Dragan等[18]將saaty1-9標(biāo)度中的標(biāo)度值k替換為 (kγij，k，k( )2-γij)，其中γij為元素aij的不確定度。該方法雖然彌補(bǔ)了前兩種方法的不足，但用取值連續(xù)的γij來描述專家的主觀不確定度，并不符合Saaty[19]在選取標(biāo)度時的心理物理學(xué)定律：比例標(biāo)度值的確定應(yīng)該符合感覺反應(yīng)量的變動規(guī)律[20]，而從式中可以看出區(qū)間長度不僅受不確定度的影響，也受區(qū)間中點值的影響，這是不合理的。而本文將不確定度分為9個等級，并未超出人們對變量的分辨極限，且不確定度的取值不受專家判斷值大小的影響。

（2）所得客觀差別判斷矩陣完全滿足區(qū)間型正互反判斷矩陣的要求

3.2 判斷矩陣一致性自動調(diào)整的優(yōu)勢

（1）調(diào)整忠實于專家的判斷

在眾多對AHP的改進(jìn)方法中，不乏有巧妙繞過判斷矩陣一致性檢驗的，G1法就是其中較有代表性的一種，但是此類方法拋棄了AHP方法的精髓：通過冗余的比較信息，來保證在專家對某一關(guān)系認(rèn)知出現(xiàn)較大偏差的情況下，還可以通過間接的判斷信息來糾正。此外，不少學(xué)者也通過在AHP中設(shè)置自動調(diào)整算法來繞過一致性檢驗，但均未將專家判斷信息中的直接判斷與間接判斷區(qū)分開來看。極端地，假設(shè)現(xiàn)有如下區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣需要調(diào)整專家對c12所代表的相對重要性關(guān)系非常確定，而對其他的關(guān)系均極端不確定，則幾乎可以肯定，若要使判斷矩陣求出的權(quán)向量忠實于該專家的判斷，那么在調(diào)整時c12的調(diào)整幅度要遠(yuǎn)小于其他元素的調(diào)整幅度。本文方法就充分滿足了這一點，使調(diào)整更忠實于專家的判斷。

（2）一致性調(diào)整結(jié)果科學(xué)可靠

保證調(diào)整結(jié)果的科學(xué)可靠是每一種調(diào)整方法的前提，下面將分兩種情況來論證。

當(dāng)原有判斷矩陣滿足一致性要求時：對判斷矩陣進(jìn)行一致性調(diào)整要遵循兩個原則，一是使原有判斷矩陣的一致性得到改進(jìn)；二是盡可能多地保留專家的原始判斷信息。因此，通常不對滿足一致性要求的判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，但這樣一來就必須對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗，而目前學(xué)術(shù)界并沒有一個公認(rèn)的滿意一致性判定臨界值，特別是對基于指數(shù)標(biāo)度的區(qū)間數(shù)主觀感覺判斷矩陣更是如此。本文調(diào)整方法的一大優(yōu)點就是充分忠實于專家的判斷，并且還將其他調(diào)整方法未加以重視的專家判斷不確定度信息也考慮了進(jìn)來，使調(diào)整后的矩陣更加符合專家判斷，并未減少專家的原始判斷信息。加之從判斷矩陣的調(diào)整經(jīng)驗來看，原判斷矩陣一致性越好，則需要調(diào)整的幅度就越小。因此，利用本文方法對此類判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整是合理的。

當(dāng)原有判斷矩陣不滿足一致性要求時：通過算來例驗證，不妨以文獻(xiàn)[21]中算例2的重要性判斷作為依據(jù)，對每一判斷值隨機(jī)引入不確定度，得出如下主觀感覺判斷矩陣：

經(jīng)本文方法調(diào)整后得到如下矩陣：

可以看出，對關(guān)系判斷值的調(diào)整幅度基本與專家的不確定度大小成正相關(guān)，同時由誤差傳遞理論計算出的調(diào)整后各判斷關(guān)系不確定度均有所降低，說明了調(diào)整后的判斷矩陣各元素都是朝著更符合專家判斷意圖的方向發(fā)展的。接下來采用葉躍祥[22]論證過的區(qū)間數(shù)判斷矩陣一致性檢驗方法給出檢驗結(jié)果如表3所示。

表3 本文方法調(diào)整前后判斷矩陣一致性檢驗結(jié)果

檢驗結(jié)果說明該調(diào)整顯著提高了判斷矩陣的一致性。

4 結(jié)論

本文給出了一種基于指數(shù)標(biāo)度下的區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造方法，并給出與之相適應(yīng)的區(qū)間數(shù)判斷矩陣一致性自動調(diào)整方法。該方法具有以下優(yōu)點：

（1）將指數(shù)標(biāo)度與專家不確定度巧妙融合，得出包含盡可能多專家信息的主觀感覺判斷矩陣。

（2）一致性自動調(diào)整方法簡便可行，且忠實于專家原始判斷信息。

（3）與現(xiàn)有區(qū)間數(shù)決策理論相容度高，可直接與其結(jié)合使用，也可進(jìn)行相互驗證。