基于后悔理論的不確定風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策VIKOR方法

譚春橋，張曉丹

（中南大學(xué) 商學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083）

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)遇到的一類決策問(wèn)題，如要進(jìn)行新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)或者選擇某一投資項(xiàng)目[1]，它們往往具有多種自然狀態(tài)和多個(gè)屬性，而各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率能夠事先預(yù)估，但在不同的自然狀態(tài)下備選方案的屬性值各有不同。因此，決策時(shí)需要綜合考慮各種自然狀態(tài)，從而在有限的方案中進(jìn)行抉擇。由于風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題的復(fù)雜性和不確定性，屬性值的表現(xiàn)形式越來(lái)越多樣化，不僅僅是確切的數(shù)值，還包括區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等信息形式，如何科學(xué)有效的處理模糊化形式的信息也顯得尤為重要。

但是，當(dāng)決策者參與某一決策過(guò)程時(shí)，決策者往往表現(xiàn)出有限行為理性，他們會(huì)受到各種心理因素的影響，如損失厭惡或風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，進(jìn)而影響到?jīng)Q策時(shí)的選擇。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，同時(shí)考慮到?jīng)Q策者的有限行為理性，一些學(xué)者和專家也給出了相應(yīng)的研究成果。如王堅(jiān)強(qiáng)和周玲[2]通過(guò)建立前景決策矩陣和構(gòu)建離差最大化的優(yōu)化模型對(duì)屬性權(quán)重不確定的灰色風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行排序；Liu,Jin等[3]通過(guò)構(gòu)建不確定語(yǔ)言短語(yǔ)的前景價(jià)值函數(shù)和區(qū)間概率權(quán)重函數(shù)對(duì)屬性值為語(yǔ)言變量且狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行排序；張曉、樊治平和陳發(fā)動(dòng)[4]通過(guò)構(gòu)建綜合感知效應(yīng)最大化模型求解屬性值和自然狀態(tài)概率信息形式為區(qū)間數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題。不過(guò)，這些研究成果計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程也有一定困難。

在1998年，南斯拉夫的Opricovic[5，6]提出來(lái)一種妥協(xié)折衷排序法——VIKOR，并指出VIKOR方法是綜合考慮群體效用值最大化和個(gè)體遺憾值最小化，從而使得決策結(jié)果更為合理。隨著VIKOR模型研究的進(jìn)一步發(fā)展，Sayadi等[7]提出了一種VIKOR拓展變形體解決區(qū)間數(shù)形式信息的決策問(wèn)題；索瑋嵐和樊治平[8]通過(guò)范數(shù)概念對(duì)數(shù)值、區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)形式信息進(jìn)行規(guī)范化處理，應(yīng)用E-VIKOR方法求解混合型多屬性決策問(wèn)題；Huang等[9]基于后悔理論提出了一種修正的VIKOR方法，新定義了無(wú)選擇效應(yīng)和不滿效應(yīng)兩種形式的后悔，簡(jiǎn)稱為R-VIKOR方法，驗(yàn)證了在決策時(shí)考慮后悔心理因素的影響，有助于提高決策質(zhì)量；Wu等[10]將語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)化為模糊數(shù),通過(guò)模糊加權(quán)平均算子對(duì)多個(gè)決策者的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行集結(jié)，提出了一種模糊VIKOR模型，用于解決具有語(yǔ)言變量和模糊數(shù)形式信息的大群體決策問(wèn)題；江文奇[11]將前景理論與VIKOR方法相結(jié)合，解決屬性值為模糊數(shù)形式信息的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題。因此，本文基于后悔理論，考慮決策者的有限行為理性，針對(duì)自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)，屬性值為三角模糊數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題給出了一種基于后悔理論的VIKOR方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 后悔理論

近年來(lái)，后悔理論[12，13]越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于決策問(wèn)題，它是1982年由Bell，Loomes和Sugden提出的一種行為決策理論。該理論認(rèn)為，人們往往不僅關(guān)心自己可以得到的，而且會(huì)將要選擇方案的結(jié)果與其他備選方案可獲得的結(jié)果進(jìn)行比較。例如：有備選方案集可表示為A=(A1，A2，…，Am)，Aj表示第j個(gè)備選方案，aj表示相應(yīng)備選方案Aj的結(jié)果，備選方案的效用值表示為v=(v(a1)，v(a2)，…，時(shí)，選擇方案Aj會(huì)感到欣喜，當(dāng)時(shí)，選擇方案Aj則會(huì)感到后悔，而選擇Af則結(jié)果反之。因此，基于期望效應(yīng)理論[14]，決策者的感知效應(yīng)將會(huì)有所變動(dòng)，會(huì)由當(dāng)前選擇方案的效用值和基于該方案的后悔值和欣喜值三部分組成。例如，方案Aj的感知效用為：

表示方案Aj的欣喜值。在這里R?()是后悔欣喜函數(shù)，它是單調(diào)遞增的凹函數(shù)，滿足

1.2VIKOR模型

Opricovic在1998年提出了一種妥協(xié)折衷排序方法——VIKOR方法，該決策方法分別定義了群體效用值和個(gè)體遺憾值，其決策原理如下：

其中ωi為屬性Ci的權(quán)重，x*i和x_

i分別為屬性Ci的正負(fù)理想點(diǎn)，定義群體效用值Sj和個(gè)體遺憾值Rj分別如下所示：

其中：

上述式子中Nb和Nc分別代表效益型屬性和成本型屬性，依據(jù)式（3）和式（4）得到相應(yīng)的Sj和Rj，然后依據(jù)下面式子計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)Qj：

1.3 模糊數(shù)

定義1（模糊集）[15]：設(shè)X是給定的一個(gè)論域，則X上的一個(gè)模糊子集A為:

定義2（三角模糊數(shù)）：模糊數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的凸模糊集，若對(duì)于某一模糊數(shù)r?，其隸屬度函數(shù)滿足如下：

定義3[16]：假設(shè)為任意兩個(gè)三角模糊數(shù)，其基本運(yùn)算法則如下：

2 基于后悔理論的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性VIKOR決策方法

2.1 問(wèn)題描述

本文研究屬性值為三角模糊數(shù)，屬性權(quán)重已知，自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)形式信息的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題。為了方便起見(jiàn)，記 M=(1,2,3,…,m)，N=(1,2,3,…,n)，T=(1,2,3,…,t)。記備選方案集合為A=(A1,A2,A3,…,Am)，則其中Aj表示第j個(gè)備選方案，j∈M；屬性集合為C=(C1,C2,C3,…,Cn)，其中Ci表示第i個(gè)屬性，i∈N；屬性的權(quán)重向量為ω=(ω1,ω2,ω3,…,ωn)，其中ωi表示屬性Ci的權(quán)重或重要性，且；自然狀態(tài)集合為W=(W1,W2,W3,…,Wk)，其中Wk表示第k種可能發(fā)生的自然狀態(tài)，表示自然狀態(tài)W發(fā)生的概率，且0≤

k；風(fēng)險(xiǎn)型決策矩陣表示，其中表示在狀態(tài)Wk下方案Aj對(duì)于屬性 Ci的結(jié)果，為三角模糊數(shù)，即，滿足此外，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題來(lái)說(shuō)，屬性可以分為兩種，即效益型屬性和成本型屬性，下標(biāo)集合分別表示為Nb和Nc，效益型屬性的屬性值越大越好，反之，成本型的屬性值則越小越好，且滿足

2.2 決策步驟

為了解決上述風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，從有限個(gè)備選方案中選擇出最為滿意的方案，具體決策步驟如下：

步驟1：首先應(yīng)該確定各備選方案對(duì)于不同自然狀態(tài)下各屬性的屬性值的正理想點(diǎn)，定義各屬性最滿意的屬性值為正理想點(diǎn)，記作表示如下：

步驟2：為了方便將各屬性值進(jìn)行比較，利用下述公式可以對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，能夠消除不同量綱對(duì)決策結(jié)果的影響，從而得到規(guī)范化決策矩陣，其規(guī)范化公式表示如下：

在這里，符號(hào)“∧”表示最小化算子。

步驟3：然后，基于后悔理論，依據(jù)文獻(xiàn)[13]，方案中各屬性的后悔欣喜函數(shù)可表示為：

其中，δ(δ＞0)為后悔規(guī)避系數(shù)，△b?表示兩個(gè)方案的效用值之差，依據(jù)文獻(xiàn)[4]可知決策者對(duì)-△b?的感知比△b?更為敏感，且δ越大，決策者的敏感程度越大，因此在決策過(guò)程中可以不考慮欣喜值，只計(jì)算后悔值。從而得到方案中各屬性的感知屬性值為：

步驟5：在此基礎(chǔ)上計(jì)算決策指標(biāo)Qj值，其計(jì)算公式表示如下：

步驟6：對(duì)于每個(gè)備選方案來(lái)說(shuō)，其Qj值越小越好，但這里為區(qū)間數(shù)，無(wú)法直接得到Qj值，需要將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率Pk，因此建立如下優(yōu)化模型求解點(diǎn)概率向量 p(p1,p2,…,pt)：

該模型表示求解最小化Q值，用lingo11.0求解此模型，可以得到最優(yōu)點(diǎn)概率向量Pk，然后代入式（18），得到各方案的Q值，將得到的結(jié)果按照升序排列得到最終方案排序結(jié)果，顯然Qj越小，表示方案Aj越好，從而得到最滿意的方案。

表2規(guī)范化決策矩陣

表3后悔感知決策矩陣

3 算例分析

某公司打算開(kāi)發(fā)一個(gè)新產(chǎn)品投入市場(chǎng)，現(xiàn)在有3個(gè)備選項(xiàng)目（A1,A2,A3），其中A1表示手機(jī)，A2表示平板電腦，A3表示筆記本電腦?？紤]的評(píng)價(jià)屬性有3個(gè)（C1,C2,C3），其中C1代表市場(chǎng)占有率，C2代表收益率，C3代表預(yù)算成本。C1和C2是效益型屬性，C3是成本型屬性，且屬性值為三角模糊數(shù)。不過(guò)，因?yàn)槭袌?chǎng)具有不確定性，未來(lái)市場(chǎng)環(huán)境可能有3種情況，記作（W1,W2,W3），其中W1表示市場(chǎng)環(huán)境較好，W2表示市場(chǎng)環(huán)境一般，W3表示市場(chǎng)環(huán)境較差。其各自發(fā)生的概率為區(qū)間數(shù)，分別為p3=[0.15,0 .25]。假設(shè)已知各屬性權(quán)重，權(quán)重向量為ωj=(0.3,0.3,0.4)T。風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策矩陣如表1所示，為了選擇更好的開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，按照如上所述方法進(jìn)行決策。

表1 風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策矩陣

首先，依據(jù)上述式（10）和式（11）對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，得到如表2所示的規(guī)范化決策矩陣。然后，依據(jù)后悔理論的思想，依據(jù)上述式（13）將規(guī)范化決策矩陣調(diào)整為如表3所示的后悔感知決策矩陣，其中，參數(shù)δ的取值參照文獻(xiàn)[4]，取δ=0.3 。按照式（15）和式（16）分別計(jì)算各備選方案在不同屬性和不同自然狀態(tài)下相應(yīng)的和，并取v=0.5計(jì)算值，得到計(jì)算結(jié)果如表4所示。

對(duì)于該優(yōu)化模型，可以運(yùn)用lingo11.0優(yōu)化軟件進(jìn)行求解，計(jì)算得到最優(yōu)點(diǎn)概率向量為p*=(0.45,0.4,0.15)，在此基礎(chǔ)上求解出各方案最終的決策指標(biāo)Q值，得到Q1=0.368;Q2=0.518;Q3=0.5，從而得到方案最終排序結(jié)果：A1?A3?A2。也就是說(shuō)，按照此決策思路，公司選擇開(kāi)發(fā)項(xiàng)目A1（手機(jī)）較好，需要指出的是，這是取v=0.5得到的方案排序結(jié)果，而v值的選取是決策者事先商量確定的，如果v選取不同數(shù)值，可能將得到不一樣的排序結(jié)果，相關(guān)計(jì)算在此不再贅述。

表4 決策指標(biāo)矩陣

4 結(jié)論

本文運(yùn)用VIKOR模型對(duì)屬性權(quán)重已知，屬性值為三角模糊數(shù)，自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行求解，考慮到?jīng)Q策者的有限理性，將后悔理論融進(jìn)模型中，引入決策機(jī)制系數(shù)來(lái)折衷衡量最大群體效用值和最小個(gè)體遺憾值對(duì)決策結(jié)果的影響，并構(gòu)建優(yōu)化模型進(jìn)行求解，從而得到最終的方案排序結(jié)果。首先，相較于傳統(tǒng)VIKOR模型來(lái)說(shuō)，其考慮了后悔心理對(duì)決策者感知屬性值的影響，更符合決策者的心理，也更貼近實(shí)際情況，得到的決策結(jié)果也更為科學(xué)。其次，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，本文給出了一種新的決策方法，思路清晰，計(jì)算過(guò)程較為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用于實(shí)際生活中。