基于FIR濾波的GPS動(dòng)態(tài)變形多路徑效應(yīng)提取研究

吳豐波

(佛山市測繪地理信息研究院，廣東 佛山 528000)

1 引 言

高層建筑在臺(tái)風(fēng)、地震及溫度變化等因素作用下，會(huì)產(chǎn)生一定幅度的振動(dòng)變形，這種外力荷載引起的形變對(duì)建筑物結(jié)構(gòu)安全具有一定隱患。高頻GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測可以實(shí)時(shí)掌握建筑物結(jié)構(gòu)健康狀況，GPS誤差模型中電離層延遲、對(duì)流層延遲、軌道誤差、衛(wèi)星和接收機(jī)鐘差等，利用其相關(guān)性特點(diǎn)，在短基線情況下均可通過差分技術(shù)，予以消除或通過精確的模型加以改正，但差分技術(shù)對(duì)多路徑效應(yīng)的影響卻無能為力[1，2]。因此，多路徑誤差就成為GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測中的主要誤差源。

多路徑誤差是由衛(wèi)星直射載波信號(hào)與經(jīng)接收機(jī)附近實(shí)體所反射的載波信號(hào)，產(chǎn)生干涉引起的，多路徑誤差與接收機(jī)所處環(huán)境和衛(wèi)星高度角有關(guān)[3]。GPS衛(wèi)星軌道運(yùn)行周期為12h恒星時(shí)[4]，在接收機(jī)位置固定的情況下，衛(wèi)星會(huì)在第二天提前236s重復(fù)站-星空間幾何關(guān)系，當(dāng)測站環(huán)境不變時(shí)，多路徑誤差模型不變。自適應(yīng)的有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波可以根據(jù)輸入的期望信號(hào)和參考信號(hào)，有效地分離兩者相關(guān)和不相關(guān)部分，具有強(qiáng)大的信號(hào)分離功能，利用多路徑誤差周日重復(fù)性特點(diǎn)，將前后兩個(gè)重復(fù)周期的監(jiān)測信號(hào)分別作為期望信號(hào)和參考信號(hào)，通過低通的FIR濾波器，提取出測站的多路徑誤差模型，從而大大提高GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測精度。

2 自適應(yīng)FIR濾波器設(shè)計(jì)

自適應(yīng)濾波算法有很多種，其中基于最小均方差(LMS)準(zhǔn)則的自適應(yīng)濾波算法以其計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)且效果較好等特點(diǎn)，被廣泛使用[5]。通過差分技術(shù)，GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測信號(hào)包含多路徑效應(yīng)、振動(dòng)信號(hào)、觀測噪聲，相對(duì)而言，建筑物振動(dòng)信號(hào)和觀測噪聲屬高頻信號(hào)，而多路徑效應(yīng)屬低頻信號(hào)[6]。因此，將FIR濾波器設(shè)置為低通濾波，閉合的自適應(yīng)濾波模型如圖1所示：

圖1 自適應(yīng)FIR濾波器

圖中，d(n)為期望響應(yīng)，這里稱為期望信號(hào)，x(n)為輸入信號(hào)，輸入信號(hào)經(jīng)過低通濾波器處理產(chǎn)生輸出信號(hào)y(n)，期望信號(hào)與輸出信號(hào)作差得到誤差信號(hào)e(n)；誤差信號(hào)e(n)與輸入信號(hào)x(n)基于LMS算法自適應(yīng)調(diào)整濾波器權(quán)系數(shù)，使濾波效果達(dá)到最佳，從而形成了一個(gè)自適應(yīng)閉環(huán)濾波器。

自適應(yīng)FIR濾波最主要的特點(diǎn)就在于自適應(yīng)算法模塊，可以依據(jù)誤差信號(hào)對(duì)濾波權(quán)系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。假設(shè)FIR濾波器權(quán)系數(shù)為w(n)，0≤n≤N-1，N即為濾波器的長度；輸入信號(hào)為x(n)，輸出信號(hào)為y(n)，其階數(shù)為M+1，則FIR濾波器表示為：

(1)

期望信號(hào)d(n)的主要作用是調(diào)節(jié)濾波器的權(quán)系數(shù)w(n)，步驟為：首先期望信號(hào)與輸出信號(hào)作差，公式為：

e(i)=d(i)-y(i)，i=0，…，M

(2)

然后誤差信號(hào)與輸入信號(hào)基于LMS算法自適應(yīng)調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)w(n)。濾波器權(quán)系數(shù)w(n)達(dá)到最佳的原則是使誤差序列的平方和最小，表達(dá)式為：

(3)

上式中，rdx為期望信號(hào)d(n)和輸入信號(hào)x(n)的互相關(guān)系數(shù)，rxx為輸入信號(hào)x(n)的自相關(guān)系數(shù)。式3的最小值即對(duì)w(k)求導(dǎo)：

(4)

可以發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器的最佳系數(shù)由兩個(gè)輸入序列的互相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)決定，基于最小均方差準(zhǔn)則的FIR濾波，利用最速下降算法，根據(jù)以上誤差序列平方和最小原理，確定最佳適應(yīng)權(quán)系數(shù)w(k)。

wi+1(k)=wi(k)+2μe(n)xi(i+k)，i=0，2，…，M

(5)

權(quán)系數(shù)w(k)收斂的最終解由輸入信號(hào)以及期望信號(hào)的先驗(yàn)信息決定，而實(shí)際計(jì)算中，這些先驗(yàn)信息并不能獲取到，權(quán)系數(shù)w(k)收斂速度最主要的決定因素是迭代步長和濾波階數(shù)。所以w(k)初始值理論上可以為任意值，本文的實(shí)驗(yàn)均假設(shè)權(quán)值初始值為零。式中μ為控制收斂速率的參數(shù)，即迭代步長，μ值不同，濾波效果也會(huì)大不相同。如果參數(shù)μ過小，自適應(yīng)系數(shù)w(k)變化很小，其控制FIR濾波效果變化緩慢，自適應(yīng)的時(shí)間會(huì)比較長；相反，參數(shù)μ過大，自適應(yīng)系數(shù)w(k)無法達(dá)到最佳，相應(yīng)的誤差信號(hào)平方和準(zhǔn)則失效，造成系統(tǒng)紊亂。所以，參數(shù)μ的選擇至關(guān)重要，可以根據(jù)以下準(zhǔn)則來確定其范圍：

(6)

式中，Px為輸入信號(hào)的能量，一般可取為：

(7)

另一個(gè)影響收斂速率的參數(shù)是濾波器階數(shù)，即N值，對(duì)于相同的輸入信號(hào)，濾波器階數(shù)越高，達(dá)到最佳濾波的迭代步長可取范圍也就越小，收斂條件越嚴(yán)格；濾波器階數(shù)越低，迭代步長可取范圍也就越大，收斂條件越寬松。對(duì)于不同信號(hào)，濾波器最佳長度不一樣，這就需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)信號(hào)的認(rèn)識(shí)來確定。一般做法是將濾波器長度設(shè)置為一個(gè)較大的值，以滿足濾波器長度要求。

3 模擬分析

根據(jù)以上理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器，通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M多路徑效應(yīng)，分析所設(shè)計(jì)的濾波器是否適用于提取多路徑模型。在動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測中，通過差分技術(shù)得到的流動(dòng)站坐標(biāo)序列包含有多路徑效應(yīng)為代表的低頻信號(hào)、高頻的振動(dòng)信號(hào)以及測量噪聲等，模擬實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)輸入信號(hào)為：

x(i)=5cos(i·pi/25+1)+10cos(i·pi/2)+rand(i)

d(i)=15cos(i·pi/25+2)+20cos(i·pi)+rand(i)

(8)

其中期望信號(hào)d(i)中15cos(i·pi/25+2)為兩輸入信號(hào)的相關(guān)部分，頻率為 0.02 Hz，在多路徑效應(yīng)的頻率范圍內(nèi)[7]；10cos(i·pi/2)為輸入信號(hào)的不相關(guān)部分，頻率為 0.25 Hz，在高層建筑物結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率范圍內(nèi)[8]。兩個(gè)序列都加入了不相關(guān)的隨機(jī)噪聲，以模擬實(shí)際的坐標(biāo)序列。實(shí)驗(yàn)中步長為0.08，濾波器階數(shù)為100，采樣頻率為 5 Hz，樣本數(shù)量為1000。

圖2 AF模擬實(shí)驗(yàn)

圖2為所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)濾波結(jié)果，由于信號(hào)含有高頻部分，采樣點(diǎn)過多會(huì)導(dǎo)致圖像顯示不出細(xì)節(jié)成分，所以不相關(guān)的高頻信號(hào)僅給出了100個(gè)采樣點(diǎn)的結(jié)果。分離結(jié)果為相關(guān)部分和不相關(guān)部分，并對(duì)期望信號(hào)中的相關(guān)部分和不相關(guān)部分的原始序列與濾波結(jié)果做了對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，濾波很快收斂，并且很好地分離出了兩個(gè)輸入信號(hào)的相關(guān)部分和不相關(guān)部分。分離出的相關(guān)信號(hào)為期望信號(hào)中的低頻部分，但仍含有小振幅的高頻信號(hào)；由于受噪聲影響，分離出的不相關(guān)部分在濾波收斂后，和期望信號(hào)中的高頻部分也有微小差別。下面從頻率域來分析濾波效果。

圖3為模擬實(shí)驗(yàn)的頻譜圖，從圖中可以看出，相關(guān)部分主要為期望信號(hào)中的低頻部分，頻率為 0.02 Hz，同時(shí)包含頻率為 0.5 Hz的高頻信號(hào)；不相關(guān)輸出主要為期望信號(hào)中的高頻部分，頻率為 0.5 Hz，同時(shí)包含頻率為 0.02 Hz的低頻信號(hào)，這和圖2分析的結(jié)果是一致的。

圖3 AF模擬實(shí)驗(yàn)頻譜

4 實(shí)驗(yàn)分析

運(yùn)用自適應(yīng)濾波器對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)經(jīng)過相關(guān)延遲分析并進(jìn)行了相關(guān)延遲校正，以某高樓第一天數(shù)據(jù)作為期望信號(hào)，第二天相同時(shí)段數(shù)據(jù)為輸入信號(hào)。由于篇幅有限，只羅列天頂方向坐標(biāo)序列實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖4 AF實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖5 AF實(shí)驗(yàn)結(jié)果頻譜

圖4和圖5為流動(dòng)站天頂方向坐標(biāo)分量的AF試驗(yàn)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻譜圖。圖4中第三行數(shù)據(jù)為兩輸入序列的相關(guān)部分，即為多路徑效應(yīng)在天頂方向的誤差模型，第四行數(shù)據(jù)為提取的噪聲等不相關(guān)部分，提取的相關(guān)部分為系統(tǒng)性的誤差，主要是多路徑效應(yīng)引起的。從頻譜圖5也可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)信號(hào)多路徑效應(yīng)集中在低頻部分，去除多路徑效應(yīng)的不相關(guān)部分，低頻部分削弱了很多，說明該不相關(guān)信號(hào)多路徑效應(yīng)大大減小。此外，將第二天和第三天數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，提取多路徑誤差模型，兩次提取得誤差模型最大相關(guān)系數(shù)為0.895，相比輸入數(shù)據(jù)最大相關(guān)系數(shù)0.782，相關(guān)性加強(qiáng)了，說明實(shí)驗(yàn)效果好。

5 結(jié) 論

本文從多路徑效應(yīng)特性作為切入點(diǎn)，在動(dòng)態(tài)監(jiān)測中環(huán)境不變的情況下，信號(hào)入射角基本保持周日不變，測站多路徑效應(yīng)具有周日重復(fù)性。利用GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測中多路徑效應(yīng)的這種特點(diǎn)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)的FIR濾波器分離連續(xù)兩天的坐標(biāo)信號(hào)，其相關(guān)部分即為多路徑誤差，從而將多路徑效應(yīng)提取出來。首先通過模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了濾波器分離信號(hào)的有效性，然后對(duì)實(shí)測的連續(xù)三天數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過濾波器分離后的信號(hào)，相關(guān)的低頻成分減弱了，而且提取的低頻信號(hào)即多路徑誤差相關(guān)性也提高了，說明所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)濾波器在多路徑誤差處理中具有較好的效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自適應(yīng)的FIR濾波可以在GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測中有效地提取多路徑效應(yīng)。