一道物理競(jìng)賽題的深度探討

摘 要：文章以分類討論和反證法的形式對(duì)一道物理競(jìng)賽題進(jìn)行了深度探討。

關(guān)鍵詞：競(jìng)賽題；分類討論；反證法；3N+1

一、 模型簡(jiǎn)化

【試題】 一質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，其初始坐標(biāo)為x=x0（x0為大于零的正整數(shù)），質(zhì)點(diǎn)按如下的規(guī)則運(yùn)動(dòng)：如果初始坐標(biāo)是奇數(shù)，則下一步運(yùn)動(dòng)到x=3x0+1處，如果初始坐標(biāo)是偶數(shù)，則下一步運(yùn)動(dòng)到x=x02處；質(zhì)點(diǎn)到達(dá)新位置以后，再把該點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)成下一過(guò)程的初始坐標(biāo)，按照上述規(guī)則不停運(yùn)動(dòng)。求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)無(wú)窮多個(gè)步驟以后，可能的位移為多少？

【模型簡(jiǎn)化】求質(zhì)點(diǎn)的位移，關(guān)鍵是求質(zhì)點(diǎn)的末坐標(biāo)在哪里？為了討論方便，上述試題可表述成：任意寫出一個(gè)自然數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換，如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3N+1；如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成N/2。得到一個(gè)結(jié)果之后，再重復(fù)規(guī)則運(yùn)算，則變換無(wú)窮多個(gè)步驟之后的結(jié)果可能為？先舉一個(gè)例子。

若起始數(shù)為5，則有如下的變換流程：

從上述例子可以看出，“5”最終跌入了“4-2-1-4”循環(huán)，那么其他數(shù)值是否也會(huì)跌入這個(gè)循環(huán)？答案是肯定的，感興趣的讀者可以再舉幾例試試，下面筆者給出一般性的證明。

二、 筆者的證明

（一） “3N+1”與倍數(shù)的關(guān)系

對(duì)于任意奇數(shù)N，根據(jù)變換規(guī)則，它的第一步將變?yōu)?N+1，此時(shí)放大了多少倍？

倍數(shù)=3N+1N=3+1N

①當(dāng)N=1時(shí)，倍數(shù)=4；②當(dāng)N為大于1的奇數(shù)時(shí)，“乘3加1”變換相當(dāng)于把奇數(shù)放大了三點(diǎn)幾倍。

（二） 任意自然數(shù)經(jīng)過(guò)多步變換之后，能回到自身？

為了討論的方便，我們?cè)O(shè)起始數(shù)為偶數(shù)。因?yàn)閷?duì)奇數(shù)實(shí)施“乘3加1”變換時(shí)，它將變成偶數(shù)，只要證明偶數(shù)經(jīng)過(guò)多次角谷變換之后都后回到谷底1，則奇數(shù)同樣如此。

①自然數(shù)經(jīng)過(guò)兩步變換能回到自身？

設(shè)x1為起始偶數(shù)項(xiàng)，x1要想回到自身，只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù)，顯然“乘3加1”放大的倍數(shù)不等于“除以2”縮小的倍數(shù)，因此一切自然數(shù)不可能經(jīng)過(guò)兩步變換回到自身。

②自然數(shù)經(jīng)過(guò)三步變換能回到自身？

設(shè)x1為起始偶數(shù)項(xiàng)，x1要想回到自身，只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù)，所以流程中只能有兩次“除以2”變換和一次“乘3加1”變換，根據(jù)流程可列如下方程：

x14×3+1=x1，解得x1=4，x2=x12=2，x3=x22=1

結(jié)論：在一切自然數(shù)中，只有1、2、4三個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)三步變換能回到自身。

③自然數(shù)經(jīng)過(guò)四步及其以上的變換時(shí)，能回到自身？

當(dāng)變換過(guò)程有四個(gè)及其以上的步驟時(shí)，流程至少包含兩個(gè)“乘3加1”變換，否則放大倍數(shù)遠(yuǎn)小于縮小倍數(shù)，但是一旦出現(xiàn)兩次“乘3加1”變換，至少有一次的放大倍數(shù)為“三點(diǎn)幾倍”，出現(xiàn)小數(shù)，而縮小倍數(shù)只能是偶數(shù)，兩者不可能相等。所以一切自然數(shù)經(jīng)過(guò)四步及其以上的都不可能回到自身。

綜上所述，1、2、4除外的一切自然數(shù)按規(guī)則變換后都不能回到自身，無(wú)論過(guò)程有多少步。

（三） 用反證法證明角谷猜想

假設(shè)自然數(shù)x按規(guī)則變換后沒有落入“4-2-1-4”循環(huán)，則該數(shù)將無(wú)限度演變下去，因?yàn)?、2、4除外的一切自然數(shù)按規(guī)則變換時(shí)都不能回到自身。設(shè)演變過(guò)程中出現(xiàn)m次“乘3加1”變換和n次“除以2”變換（說(shuō)明：對(duì)奇數(shù)進(jìn)行“乘3加1”變換為偶數(shù)，每次“乘3加1”變換之后必為“除以2”變換，所以n>m），演變的結(jié)果為

f（x）=3mx2n+3m2n+3m-12n-1+3m-22n-2+…

令n=m+k，則有

f（x）=12k3mx2m+3m2m+3m-12m-1+3m-22m-2+…+32=12k3mx2m+321-32m1-32=12k32m（x+3）-3=12k32m（x+3）-32k

顯然，當(dāng)式中的k與m無(wú)限度遞增取值下去時(shí)，演變到某步時(shí)將會(huì)出現(xiàn)小數(shù)。這與變換的規(guī)則是矛盾的（按照規(guī)則變換的結(jié)果只能是整數(shù)），因此假設(shè)不成立，即一切自然數(shù)按規(guī)則變換后都要落入“4-2-1-4”循環(huán)。

三、 答案揭曉

根據(jù)上述討論的結(jié)果，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)無(wú)窮多個(gè)步驟以后，其末坐標(biāo)可能是x=1、x=2或x=4，所以質(zhì)點(diǎn)可能的位移有Δx=x0-1、Δx=x0-2或Δx=x0-4。

作者簡(jiǎn)介：

蔣金團(tuán)，中學(xué)一級(jí)教師，云南省保山市，云南省保山市施甸縣第一完全中學(xué)。