數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用解析

張海貝

摘要：高中數(shù)學(xué)的相關(guān)知識較為復(fù)雜，且隨著學(xué)生年齡的增長以及教學(xué)的需要，學(xué)生也應(yīng)該學(xué)習(xí)一些更加深奧的知識，掌握一些更加有效的解決問題的方法，提升解決問題的能力和效率。在實踐教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題當(dāng)中較為常用，可以起到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、洞察能力、邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力的作用。因此，需要在有關(guān)方面進行深入研究，增強這一方法的使用能力，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 高中數(shù)學(xué) 能力提升

數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)證明題解析過程中較為常用，尤其是在不等式證明和幾何問題證明方面，可以提高解決問題的效率。但是，數(shù)學(xué)歸納法仍然具有一定的局限性，適用范圍僅限于一些與正整數(shù)有關(guān)的命題，為此，還需要進行改進。在實際應(yīng)用過程中，這一方法屬于重點內(nèi)容，需要學(xué)習(xí)者對其進行深刻理解和正確使用，避免理論化的學(xué)習(xí)，要體現(xiàn)一種實踐操作能力，這也是素質(zhì)化教育時期的要求。下面筆者結(jié)合相關(guān)的經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)歸納法的特點，并基于高中學(xué)生的思維特征，對于數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用、在幾何問題中的應(yīng)用進行詳細(xì)論述。

一、數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

根據(jù)相關(guān)資料的介紹，有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式可以從以下幾個角度來理解：

第一，使用驗證性思維模式，當(dāng)n取第一個值時，證明命題是正確的；第二，對于n的取值進行變化，假設(shè)當(dāng)n取值為k時，證明命題是正確的，其中k的取值不固定，由此可以得出，n取值k+1時，命題也是正確的；第三，根據(jù)以上的假設(shè)和驗證結(jié)果，得出的結(jié)論為n取值為全體自然數(shù)時，命題都是正確的[1]。

通過數(shù)學(xué)歸納法的使用，可以對其進行進一步理解，簡單的概述為一種遞推思想的展現(xiàn)。在這一過程中，n取值為1的假設(shè)和驗證屬于后續(xù)遞推和工作開展的基礎(chǔ)，也是進行假設(shè)驗證過程的一種介紹，然后在此基礎(chǔ)之上，進行拓展研究，將n的取值進行變化，得出相應(yīng)的驗證結(jié)果，為無限次遞推的可能性提供保障，這屬于整個數(shù)學(xué)歸納法中的核心部分。由此可見，這一方法的使用屬于一種量的積累，從而達到了質(zhì)的飛越[2]。

二、數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用

對于數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的介紹主要從不等式證明、幾何問題解決兩個方面進行詳細(xì)論述，將理論與實踐結(jié)合在一起，增強對這一方法實際應(yīng)用的操作能力。

（一）數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用

在不等式證明中使用數(shù)學(xué)歸納法，可以保證過程的邏輯清晰，降低問題解決難度，增強問題解決效率。在應(yīng)用過程中，如果直接進行證明，會增加問題的復(fù)雜性，這樣就需要借助于不等式的可加性和傳遞性，進行思維的拓展，發(fā)揮想象力，假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式之間的特征關(guān)系，分析問題，解決問題[3]。

案例：證明：在n為正整數(shù)的情況下，假設(shè)n個正整數(shù)的乘積等于1（b1.b2.b3.....bn=1），那么對它們進行求和，結(jié)果是不小于n（b1+b2+b3.....bn≥n）

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用：第一，當(dāng)n等于1 的情況下，可以得出b1=1，命題是成立的；第二，假設(shè)當(dāng)n等于k的情況下，命題是成立的，那么k個正數(shù)的乘積等于1，這樣一來，可以得到b1+b2+b3.....bk≥k。當(dāng)n取值為k+1時，那么b1，b2，b3...bk，bk+1可以滿足假設(shè)條件，即b1，b2，b3...bk，bk+1=1，如果這k+1個正數(shù)都相等，那么他們將都是1，和為k+1，命題成立。與之相反，如果這k+1個正數(shù)并不都相等，那么將會存在大于1和小于1的情況，否則將會與b1.b2.b3.....bk+1=1相矛盾；第三，假設(shè)b1>1，b2<1，b1b2看做一個數(shù)，得出b1.b2.b3.....bk+1=1，借助歸納法對其進行假設(shè)，得出的結(jié)論為b1+b2+b3.....bk+ bk+1≥k，所以b3.....bk+ bk+1≥k- b1b2，b1+b2+b3.....bk+bk+1-（k+1）≥b1+b2+k-b1b2-（k+1）=-（b1-1）（b2-1）.由于b1>1，b2<1，那么-（b1-1）（b2-1）>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1-k-1>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1>k+1，這就證明了當(dāng)n取值為k+1時，命題是成立的；第四，將以上的論證進行綜合，可以得到的結(jié)論是一切正整數(shù)n，如果n個正整數(shù)的乘積等于1，那么它們的和會大于n。

總結(jié)：在對以上問題解決的過程中，首先需要對問題進行分析，明確推理思路，然后，分析該問題解決的關(guān)鍵點所在，即需要由假設(shè)不等式成立推導(dǎo)出目標(biāo)不等式成立，如何保證這一推理具有較強的因果關(guān)系，使得出的結(jié)論具有可信性是關(guān)鍵。因此，需要使用中間不等式，將其作為問題解決的紐帶，完成推理。

（二）數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用

對于幾何問題的解決，主要是進行特殊問題的轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為一般性問題。需要進行假設(shè)，得出一般性結(jié)論，然后作為假設(shè)條件運用到解題當(dāng)中。在完成特殊性驗證之后，對于假設(shè)命題n等于k成立進行證明，得出n取值為k+1時，命題也依然成立。

案例：證明凸n邊形有多少條對角線，f（3）=n（n-3）.（n≥5）

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用：第一，當(dāng)n取值為3的情況下，f（3）=0，而在實踐當(dāng)中，三角形是不存在對角線的，所以說，原有的命題是成立的；第二，假設(shè)n取值為k時，命題依然成立，那么f（k）=k（k-3）如果n的取值為k+1，原有的凸k邊型的頂點會增加一個，由頂點Bk-1與其不相鄰的另外的k-2個頂點之間進行對角線繪制，總計的條數(shù)為B2，B3，...Bk-1，總計k-2條對角線，原有的凸k邊形的一條邊B1Bk形成了一條對角線，由此可見，當(dāng)圖形的邊數(shù)增加時，k條邊到k+1條邊中共增加k-1條對角線，得出f（k+1）= f（k）+（k+1）=k（k-3）+（k-1）=（k2-k-2）=（k+1）（k-2）=（k+1）[（k+1）-3]，這就證明了，當(dāng)n取值為k+1時，命題成立。

總結(jié)：在使用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，需要理性，不能盲目，要根據(jù)問題的實際情況來判定是否使用數(shù)學(xué)歸納法，是否能夠保證使用這一方法最為優(yōu)質(zhì)高效，避免過程的繁瑣性，尤其是在升學(xué)考試的過程中，解題方法選擇是否科學(xué)合理，會直接影響答題速度和最終的成績，因此，要合理選擇方法。

三、使用數(shù)學(xué)歸納法解題的注意事項

數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生是為了服務(wù)于學(xué)習(xí)中問題的解決，屬于一種工具，為了有效的利用這一工具，提高學(xué)生在高中數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)能力，并能夠有效的利用數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)該注重以下幾點：

（一）學(xué)生需要樹立“歸納、猜想、證明”的解題思想，這屬于一種邏輯性較強的思維，是使用數(shù)學(xué)歸納法解題的基礎(chǔ)、如果有關(guān)方面的邏輯思維模式和習(xí)慣形成存在問題，那么學(xué)生在解題的過程中，對于數(shù)學(xué)歸納法將會有所疏遠(yuǎn)，并且應(yīng)用過程難度也會增加。為了在有關(guān)方面進行強化，需要老師向?qū)W生介紹什么是數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的由來，數(shù)學(xué)歸納法對于解題的重要性、優(yōu)勢，數(shù)學(xué)歸納法在生活中的體現(xiàn)等等，使學(xué)生拉近與數(shù)學(xué)歸納法之間的距離，加強對其的了解和熟悉程度，這樣更有利于增強對其的興趣，為后續(xù)使用做鋪墊。

（二）進行問題證明過程中，要具有“目標(biāo)意識”，善于進行問題的轉(zhuǎn)化，使思維更加靈活，不能盲目的進行有關(guān)方法的使用。比如說對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)歸納法時，可以根據(jù)由簡入繁、由小問題解決逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇髥栴}解決，由小目標(biāo)實現(xiàn)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇竽繕?biāo)實現(xiàn)等等，要逐漸展開，層層遞進，這也是數(shù)學(xué)問題解決的基本思路，不能好大喜功，任何方法都存在一定的不足，應(yīng)該相互結(jié)合，有效使用。

（三）在高考過程中，對于一些與“數(shù)學(xué)歸納法”相關(guān)的題目多數(shù)會與數(shù)列結(jié)合起來進行考察，且與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容之間聯(lián)系密切，日常的教學(xué)培養(yǎng)要注重在有關(guān)方面進行訓(xùn)練和拓展，加強學(xué)生的應(yīng)試能力。與此同時，老師對于數(shù)學(xué)歸納法方面的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計要注重的是學(xué)生實踐能力的增強，可以通過競賽的模式增強學(xué)生的積極性，或者是使用微課的模式，通過微信、qq等等來講數(shù)學(xué)歸納法解題的全過程進行錄制，然后將視頻傳送至師生交流的平臺之上，使學(xué)生加強對其的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生感官的認(rèn)識，這樣會強于完全語言講解和理論闡述的效果。

四、結(jié)語

通過以上的介紹，數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為普遍，要對其進行深入了解，注重實踐能力，并保證使用這一方法時能夠提高解題的速度，盡量降低解題的難度，保持較強的邏輯性思維，逐步推導(dǎo)。與此同時，老師也要加強有關(guān)方面教學(xué)模式的改進，從多角度提升學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力。

參考文獻：

[1]袁喜平.如何提高初中語文教學(xué)的趣味性[J].西部素質(zhì)教育，2016，（03）：155-155.

[2]石彬華.如何提高初中語文教學(xué)的趣味性[J].科研，2016，（12）：00043-00043.

[3]郜春燕.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運用數(shù)學(xué)歸納法[J].數(shù)理化解題研究，2017，（06）：45-46.

（作者單位：河南省鄭州市第四十七中學(xué)高二三班）