十字型結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙及等效模型研究

賀子厚，趙靜波，姚 宏，蔣娟娜，張 帥

(空軍工程大學(xué) 研究生院，陜西 西安 710051)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在日常生活中、航空航天等高精尖領(lǐng)域內(nèi)，噪聲的影響得到人們的關(guān)注，強烈的噪聲會嚴(yán)重影響裝備的性能[1]，會破壞人類工作和生活的舒適性，降低生活品質(zhì)，危害人類的健康。因此對隔聲材料的需求越來越高，人們不僅要求隔聲材料的隔聲性能要好，還要求其質(zhì)量小，體積小。對于高頻噪聲，傳統(tǒng)的隔聲材料的吸收已很好，但因質(zhì)量作用定律的限制，對于大量存在的低頻噪聲，傳統(tǒng)隔聲材料難以有效地吸收與隔離。近年來出現(xiàn)的聲學(xué)超材料有望從根本上滿足隔離低頻噪聲的需求。

聲子晶體的概念類比于光子晶體提出。1993年，Kushwaha等[2]在鋁/鎳為材料的聲子晶體中獲得了剪切波完全帶隙，首次提出了聲子晶體的概念。1995年，R Martinez-Sala等[3]使用現(xiàn)代化手段測試了馬德里一座歷史雕塑“流動的旋律”的聲學(xué)特性，第一次觀測到聲帶隙的存在。2000年以前，所研究的聲子晶體大多屬于布喇格(Bragg)散射機理，其帶隙頻率對應(yīng)的彈性波波長與其晶格常數(shù)相當(dāng)。2000年，劉正猷等[4]首次提出了局域共振型聲子晶體，通過對單元結(jié)構(gòu)進行特殊的設(shè)計，實現(xiàn)波與單元結(jié)構(gòu)的共振，抑制波的傳播。結(jié)果表明，該聲子晶體的帶隙頻率所對應(yīng)的波長遠(yuǎn)大于晶格尺寸，達(dá)到了小尺寸控制大波長的目的。Kin等[5]根據(jù)局域共振機理設(shè)計出一種聲子晶體結(jié)構(gòu)，獲得了200～500 Hz的低頻帶隙。Li等[6]發(fā)現(xiàn)在局域共振型聲子晶體研究中出現(xiàn)了負(fù)的等效質(zhì)量密度和負(fù)的等效體積模量。Yang等[7]首次發(fā)現(xiàn)，薄膜型局域共振聲子晶體在50～1 000 Hz可以產(chǎn)生帶隙，并具有良好的隔聲特性。Mei等[8]和Lai等[9]設(shè)計了薄膜局域共振型超材料，解決了低頻降噪減震的控制問題。溫激鴻等[10]將聲子晶體結(jié)構(gòu)等效為“質(zhì)量塊-彈簧”系統(tǒng)，使得局域共振機理更易被人理解。后來還有人對聲子晶體的結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化和創(chuàng)新，從而獲得了更寬、更低的帶隙[11-19]。

本文提出了一種十字型局域共振聲子晶體，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在頻率30～197 Hz具有一個完全帶隙，并對帶隙上、下界頻率振動模態(tài)建立了“彈簧-振子”等效模型。通過調(diào)節(jié)局域共振單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)得出影響帶隙起始頻率與截止頻率的主要因素，同時驗證了等效模型的合理性，從而可以有針對性地對共振結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。

1 聲子晶體單元模型

圖1為十字型聲子晶體結(jié)構(gòu)單元模型和第一布里淵(Brillouin)區(qū)。聲子晶體單元結(jié)構(gòu)是由金屬芯體、帶狀包覆層、環(huán)氧樹脂基體組成，即由4條帶狀包覆層連接散射體與環(huán)氧樹脂基體，其中空白處為空氣。表1為對應(yīng)聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)[10]。

圖1 聲子晶體結(jié)構(gòu)

a/mmb/mmd/mmr/mm1.00.521.06.0

目前計算彈性波帶隙的方法有平面波展開法、集中質(zhì)量法、有限元展開法等。其中，有限元法概念清晰淺顯，適用性強，收斂性好，本文采用該方法來計算帶隙。已知理想的聲子晶體滿足Block定理，故可通過研究單個原胞在周期性邊界條件下的本征場問題來得到結(jié)構(gòu)的本征頻率。這里采用有限元計算軟件COMSOL Multiphysics對十字型聲子晶體的帶隙進行計算。

根據(jù)Block定理，一個原胞內(nèi)場的空間分布具有與晶格相同的周期性，場的分布滿足：

uκ(r+R)=eiκRuκ(r)

(1)

式中：κ為給定的波矢；uκ為其對應(yīng)的位移。

由式(1)構(gòu)造邊界條件。這里在單個原胞的x，y方向設(shè)置布洛赫周期邊界條件，并沿第一Brillion區(qū)路徑Μ-Γ-Χ-Μ對Block波矢κ進行掃描，求解結(jié)構(gòu)的固有頻率。

2 結(jié)果分析

使用COMSOL有限元計算軟件得到該結(jié)構(gòu)的能帶圖，如圖2所示。該結(jié)構(gòu)在30.98～196.46 Hz間形成較寬的低頻完全帶隙；在497.56～498.20 Hz、498.47～507.78 Hz會分別形成兩條較窄的完全帶隙，當(dāng)波矢κ處于?！丁瑫r，存在一個方向帶隙，且當(dāng)行波頻率接近497 Hz、1 052 Hz時，方向帶隙截止。當(dāng)行波的頻率接近晶體的共振頻率時，晶體將發(fā)生共振，與行波發(fā)生耦合作用，將行波的大部分能量局域化，使行波不再傳播，從而產(chǎn)生禁帶，實現(xiàn)聲波的屏蔽(見圖2灰色部分)。

圖2 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)

為進一步說明該帶隙的形成機理，對振動模態(tài)進行分析。選取第一布里淵區(qū)的A、B、B2、C、D1、D2點進行振動模態(tài)分析，其中A點處于最下方，B1點處于次下方，B2點位于二者之上，D2處于最上，D1處于其下，振動模態(tài)如圖3所示。

圖3 相應(yīng)共振頻率下的振動模態(tài)

1) A點振動模態(tài)對應(yīng)于散射體連同帶狀包覆層朝相同方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)共振模式，帶狀包覆層發(fā)生扭轉(zhuǎn)剪切變形，僅對基體產(chǎn)生扭矩作用，而未產(chǎn)生x或y方向的合力?；w中的長行波難以與該共振模式發(fā)生相互耦合，因此未能導(dǎo)致局域共振帶隙的產(chǎn)生。

2) B1、B2點處于帶隙的起始頻率，表現(xiàn)為金屬芯體的平動振動，可以等效為“質(zhì)量-彈簧”模型，其振子為散射體，固定端為基體，彈簧為帶狀包覆層。此共振模態(tài)與基體中傳播的長行波產(chǎn)生耦合作用，相鄰原胞以相同頻率、相反相位的模式振動，使原胞的外框靜止，整體系統(tǒng)處于動態(tài)平衡狀態(tài)，行波的能量被局域化，從而導(dǎo)致了帶隙的產(chǎn)生。

3) C點為基體的平移共振模式，當(dāng)外部激勵頻率接近共振單元的固有頻率時，局域共振模態(tài)被激發(fā)，此時，金屬芯體與基體被類似于彈簧的帶狀包覆層連接，二者振動相位相反。聲子晶體中的所有原胞同相位振動，使彈性波得以繼續(xù)傳播，故帶隙在此處截止。

4) D1，D2點金屬芯體和環(huán)氧樹脂基體都處于靜止?fàn)顟B(tài)，主要是橡膠帶狀包覆層的橫向振動。

3 等效模型的建立

由第2節(jié)模態(tài)分析可知，十字型局域共振聲子晶體的起始頻率取決于散射體平動振動的諧振頻率，可將其等效為“彈簧-振子”系統(tǒng)來估算其帶隙的起始頻率，如圖4(a)所示。在帶隙的起始頻率處，等效振子質(zhì)量Me、彈簧等效剛度ke組成單自由度系統(tǒng)發(fā)生共振。設(shè)單個金屬芯體質(zhì)量為mcore，單個周期內(nèi)基體質(zhì)量為mhost，有

(2)

式中：ρcore為金屬芯體密度；rcore為圓柱形金屬芯體的半徑；ρhost為基體的密度；D1、D2分別為基體外框和內(nèi)框的長度。

圖4 聲子晶體簡化模型

在計算帶隙的起始頻率時，由于金屬芯體質(zhì)量遠(yuǎn)大于帶狀包覆層質(zhì)量，故此Me可以等效為金屬芯體的質(zhì)量mcore。在計算等效彈簧剛度時，在金屬芯體振動方向的帶狀包覆層發(fā)生壓縮/拉伸形變，由于帶狀包覆層呈長條狀，故可忽略帶狀包覆層的剪切模量G，將其彈性模量k等效為楊氏模量E；同時，垂直于金屬芯體振動方向的帶狀包覆層發(fā)生剪切形變，同樣由于其呈長條狀，故可以忽略帶狀包覆層的E，將其彈性模量等效為G。因為金屬芯體的直徑遠(yuǎn)大于帶狀包覆層的寬度，所以可將帶狀包覆層看為長方形，其長度J為

(3)

等效彈簧相當(dāng)于4條帶狀包覆層串聯(lián)而成，故

(4)

式中S為帶狀包覆層的橫截面積。在帶隙截止頻率處，橡膠包覆層類似于彈簧，連接基體與金屬芯體，二者振動相位相反，可用圖4(b)來描述這一共振模式。其中，M1為單個金屬芯體的等效質(zhì)量塊，M2為基體的等效質(zhì)量塊。在帶隙的截止頻率處，質(zhì)點M1、M2在彈簧的連接下，以相對振動方式發(fā)生共振，彈簧上虛線所示位置靜止不動，即靜點。

在計算帶隙的截止頻率時，由于包覆層的等效質(zhì)量相對于基體而言并非小到可以忽略不計，故在計算截止頻率時，需考慮包覆層質(zhì)量。由模態(tài)分析可知，垂直于振動方向的包覆層大致隨基體一起運動，因此，該部分質(zhì)量mB應(yīng)歸入基體等效質(zhì)量中，而振動方向上的橡膠包覆層質(zhì)量mA應(yīng)當(dāng)按照靜點距兩質(zhì)點的比例分配，即為

(5)

求解式(5)可得

(6)

顯然，截止頻率時等效彈簧的剛度應(yīng)與起始頻率時等效彈簧的剛度相同。帶隙的起始頻率(f1)與截止頻率(f2)分別為

(7)

(8)

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料參數(shù)對帶隙的影響

為進一步探究該結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料參數(shù)對帶隙的影響，這里分別單獨改變結(jié)構(gòu)中金屬芯體的密度、填充率、帶狀包覆層的彈性模量，帶狀包覆層的寬度及基體的密度等參數(shù)，觀察結(jié)構(gòu)帶隙的變化，同時使用簡化模型對結(jié)構(gòu)的帶隙進行估算，以驗證簡化模型的合理性。所用材料參數(shù)如表2所示。

表2 材料參數(shù)

4.1 基體密度對帶隙的影響

圖5 基體密度對帶隙的影響

4.2 金屬芯體密度對帶隙的影響

圖6為帶隙隨金屬芯體材料密度的變化。由圖可見，隨著金屬芯體密度的增加，帶隙的起始頻率與截止頻率都出現(xiàn)不同程度的下降，且起始頻率的下降幅度大，故此使帶隙變寬。這是因為相較于帶狀包覆層和基體而言，金屬芯體的質(zhì)量較大，當(dāng)金屬芯體的密度變化時，帶隙起始頻率和截止頻率處模型的等效質(zhì)量都會出現(xiàn)顯著的變化。故可得金屬芯體的密度對帶隙的起始頻率和截止頻率都會產(chǎn)生影響，且隨著金屬芯體密度的增大，帶隙也會逐漸變寬。

圖6 金屬芯體密度對帶隙的影響

4.3 帶狀包覆層寬度對帶隙的影響

本結(jié)構(gòu)的一個顯著特征是包覆層由兩對互相垂直的帶狀彈性介質(zhì)組成。圖7為帶隙隨帶狀包覆層寬度的變化。由圖可知，隨著帶狀包覆層寬度的增加，帶隙的起始頻率和截止頻率都出現(xiàn)升高，但截止頻率隨帶狀包覆層升高快，這導(dǎo)致帶隙變寬。這是由于帶狀包覆層變寬會使系統(tǒng)的等效剛度變大，從而導(dǎo)致共振頻率上升。由此可得，帶狀包覆層的變寬會使帶隙的起始頻率和截止頻率都上升，并使帶隙變寬，這是十字型包覆層聲子晶體帶隙的特點之一。由圖7可知，隨著帶狀包覆層寬度的增加，簡化模型產(chǎn)生誤差越來越大，這是因為結(jié)構(gòu)中帶狀包覆層呈細(xì)長狀，故簡化模型忽略了振動方向縱向帶狀包覆層的剪切模量，及振動方向橫向帶狀包覆層的楊氏模量，而當(dāng)帶狀包覆層變得越來越寬，此二者的影響則會越來越大，故誤差越來越大。

圖7 帶狀包覆層寬度對帶隙的影響

4.4 填充率對帶隙的影響

填充率是散射體在聲子晶體中所占體積比(對于二維聲子晶體即面積比)。在研究過程中，常通過改變散射體的大小或改變晶格常數(shù)這兩種方式來改變填充率。這里采取改變散射體大小的方式，對聲子晶體帶隙隨填充率改變的變化情況進行研究，得到的結(jié)果如圖8所示。由圖可見，隨著填充率的增加，帶隙的截止頻率增大，同時起始頻率出現(xiàn)微小的先下降后上升的趨勢，簡化模型的趨勢與此相同。填充率增大，帶隙變寬，這與以往的研究相印證。

圖8 填充率對帶隙的影響

4.5 包覆層彈性模量對帶隙的影響

圖9 包覆層彈性模量對帶隙的影響

包覆層是連接金屬芯體和基體的重要介質(zhì)，因此，研究帶隙隨包覆層彈性模量的變化尤為重要。圖9為帶隙隨著包覆層彈性模量變化情況。由圖可見，隨著包覆層彈性模量的增大，帶隙的截止頻率迅速增大，帶隙的起始頻率緩慢增大，帶隙的帶寬也隨之增大。

簡化模型的估計頻率(虛線)和實際值(實線)基本吻合，說明該等效模型合理。

從上述計算結(jié)果中可以看出，通過調(diào)節(jié)晶胞的結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料參數(shù)可實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)帶隙的調(diào)控。由此可對帶隙進行優(yōu)化。但是，在此結(jié)構(gòu)中金屬芯體為圓型，基體為正方形，晶胞的大小也有限制，故此填充率與帶狀包覆層的寬度等結(jié)構(gòu)參數(shù)只能有限增加；同時，對于材料的選擇也是有限的。在實際中，材料強度等因素也會對結(jié)構(gòu)的設(shè)計產(chǎn)生限制。綜上所述，在此結(jié)構(gòu)框架下，通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料參數(shù)對帶隙進行的優(yōu)化是有限度的。

5 結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)與透射系數(shù)

建立晶胞組成結(jié)構(gòu)如圖10所示，其中金屬芯體材質(zhì)為金，包覆層材質(zhì)為硅橡膠，基體材質(zhì)為環(huán)氧樹脂。使用comsol有限元計算軟件計算7層晶體結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)與透射系數(shù)。

圖10 3×7晶體模型

分別計算此結(jié)構(gòu)水平方向的反射系數(shù)與透射系數(shù)。其中，透射系數(shù)隨入射聲波頻率的變化如圖11所示。

圖11 透射系數(shù)

由圖11可見，此結(jié)構(gòu)在中低頻段有較低的透射系數(shù)，但在500 Hz、1 kHz附近出現(xiàn)了兩個較大的透射峰，這是因為這里設(shè)置入射波為水平的從左至右的平面波。依據(jù)圖2所示，在這一方向上存在方向帶隙，而在500 Hz、1 kHz附近，這一方向的方向帶隙截止，故此出現(xiàn)透射峰。

反射系數(shù)隨入射聲波頻率的變化如圖12所示。同樣也與圖2相符合。

圖12 反射系數(shù)

6 結(jié)論

1) 提出了一種十字型晶體結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由兩對互相垂直的帶狀包覆層連接金屬芯體和環(huán)氧樹脂基體組成。在中低頻率內(nèi)可以獲得一個完全帶隙。通過調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)可對帶隙進行優(yōu)化。

2) 對不同共振頻率的模態(tài)進行分析，并將該結(jié)構(gòu)簡化為“彈簧-振子”模型，推導(dǎo)出帶隙的估算公式。通過對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行改變(填充率、彈性模量和密度等)，可以調(diào)節(jié)帶隙的上、下限和帶隙的寬度，即減小基體的密度，增加芯體密度和填充率，增加帶狀包覆層的彈性模量，可進一步拓寬帶隙，同時驗證了簡化模型的合理性

3) 計算了模型的透射系數(shù)與反射系數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，此結(jié)構(gòu)在中低頻段有良好的隔聲性能，透射系數(shù)與反射系數(shù)隨入射波頻率變化的趨勢與帶隙圖相符。

4) 這種結(jié)構(gòu)的設(shè)計為獲得彈性波在中低頻率帶隙提供了理論依據(jù)。