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    關(guān)于四面體一個不等式猜想的證明

    2019-02-21 07:44:16
    關(guān)鍵詞:正四面體四面體附屬中學(xué)

    西安交通大學(xué)附屬中學(xué) (郵編:710054)

    設(shè)rij是四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點P到棱AiAj(1≤i

    1997年,樊益武[1]證明了當(dāng)P為四面體的重心時,有

    2000年,唐立華[2]證明了當(dāng)P為四面體的費(fèi)馬點時不等式①成立,同時猜想當(dāng)P為四面體內(nèi)任意一點時不等式①成立.2005年冷崗松在[3]中再次提到這個問題.

    2017年,樊益武在[4]中提出了一個顛覆性猜想:

    猜想設(shè)rij是正四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點P到棱AiAj(1≤i

    當(dāng)且僅當(dāng)P為正四面體A1A2A3A4中心或頂點時取等號.

    本文將證明不等式②成立,從而否定了唐立華提出的猜想.為此我們需要以下引理.

    根據(jù)△ABC的對稱性,不等式③等價于

    下面證明不等式④,為敘述方便記:

    下面對以上五項作估值:

    所以192ABCM-[(3M+C-A-B)2-4AB-12MC]2≥0.證畢.

    不等式②的證明記∠PAiAj=αij(i≠j),則

    +R2(sinα21+sinα23+sinα24)

    +R3(sinα31+sinα32+sinα44)

    +R4(sinα41+sinα42+sinα43)

    順便指出,本文引理即為文[4]第17章《問題與猜想》的第一個猜想.由不等式③還可以證明文[4]中另一個猜想:

    事實上,由于y=sinx在[0,π]上為凸函數(shù),所以

    最后值得一提的是關(guān)于此問題陳計曾猜測:設(shè)rij是四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點P到棱AiAj(1≤i

    據(jù)筆者所知,這個猜測還沒有解決.

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