余弦定理 不得不知的奧秘

福建省德化第一中學 (郵編：362500)

1 乘法公式價值高，模型構造威力顯

觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2+c2-a2，變形可得(b+c)2-a2-2bc，由此可利用乘法公式設計構造出平方差公式，再變形構造出余弦公式.命題者不僅可以考查學生是否能夠熟練掌握公式，還可考查學生變形構造公式的能力.

例1已知：在△ABC,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，(sinB+sinC-sinA)(sinB+sinC+sinA)=sinBsinC，求角A的余弦值？

解析利用正弦定理將角轉化為邊可得：(b+c-a)(b+c+a)=bc.

利用平方差公式可得：(b+c)2-a2=bc即b2+c2-a2=-bc.

2 平方關系真給力，夾角范圍確定易

觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2+c2-a2，比較分子與0的大小，可得：

當b2+c2>a2時，cosA>0，此時角A為銳角；

當b2+c2=a2時，cosA=0，此時角A為直角；

當b2+c2

命題者不僅可以利用三邊平方的大小關系來判斷角的范圍，還可進一步用來確定三角形的形狀.

例2在非等邊△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a為最大邊，如果sin2(B+C)

解析由于sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，

所以sin2(B+C)

由正弦得：a20，

又因為△ABC非等邊，且a為最大邊，所以A>60°，

則有60°

3 周長面積“影子”現(xiàn)，相互依存和諧見

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，三角形的面積為2，求b.

(四)在國內產能過剩的情況下，中國光伏“走出去”的步伐將進一步加快，以產融結合、廠商租賃等模式將產能向西方國家以及“一帶一路”沿線國家轉移，將成為中國未來光伏產業(yè)持續(xù)健康發(fā)展的現(xiàn)實選擇。

所以sinB=4(1-cosB)，

又sin2B+cos2B=1，

整理得17cos2B-32cosB+15=0，

解得b2=4,即b=2.

(2)當三角形的周長為6，求其面積.

(2)由于三角形的周長為6，且b=2，所以

4 和、積合作有情意，兩根關系來設計

例5△ABC內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知三角形的兩邊a、b為一元二次方程的x2-3x+1=0的兩個根且夾角C為60o，求三角形的周長.

解析由a、b為一元二次方程的x2-3x+1=0的兩個根，可得a+b=3,ab=1，

5 加法乘法巧聯(lián)系，最值獲取最省力

解析由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2-c2=ab，則有a2+b2-3=-ab，

即3-ab=a2+b2.

由基本不等式可得：3-ab=a2+b2≥2ab,得ab≤1(當且僅當a=b取等號).

當ab取得最大值1時，

(1)求角A；

得2sinCcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，

利用余弦定理豐富的內涵為命題者提供各種各樣的設計思路，學生也可從命題設計的思路來對定理的學習與研究，豐富自已的解題經驗和發(fā)展自已的思維.