基于GM-SVR的小樣本條件下化工設(shè)備可靠性預(yù)測*

趙江平，丁 潔，陳敬龍

(西安建筑科技大學(xué) 資源工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

0 引言

化工企業(yè)的生產(chǎn)特點(diǎn)決定了化工設(shè)備可靠性的重要性，準(zhǔn)確預(yù)測設(shè)備可靠性趨勢，制定合理的預(yù)防性維修計(jì)劃，才能保障設(shè)備長期穩(wěn)定運(yùn)行[1]。對(duì)化工設(shè)備進(jìn)行可靠性分析時(shí)，大多數(shù)學(xué)者采用威布爾分布模型來描述化工設(shè)備的壽命。裴峻峰等[2]將威布爾分布應(yīng)用于往復(fù)式壓縮機(jī)壽命建模，對(duì)壓縮機(jī)維修周期進(jìn)行了分析；徐子軍[3]使用威布爾分布擬合離心泵各單元故障分布，預(yù)測了離心泵系統(tǒng)可靠性。但前者所研究的內(nèi)容都是基于樣本數(shù)據(jù)足夠豐富，而在化工企業(yè)實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行中，數(shù)據(jù)樣本常常呈現(xiàn)出小樣本的特征，且較少有人將小樣本數(shù)據(jù)分析方法應(yīng)用到化工設(shè)備的可靠性評(píng)估中。因此，小樣本條件下的化工設(shè)備壽命分布及可靠性預(yù)測存在很大的困難。

對(duì)小樣本數(shù)據(jù)分析的研究在機(jī)械、航空等行業(yè)已有大量研究。宋明順等[4]采用灰色估計(jì)法與貝葉斯方法對(duì)小樣本機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行可靠性估計(jì)；金星等[5]通過蒙特卡羅模擬對(duì)小樣本條件下的近似服從威布爾分布的設(shè)備壽命進(jìn)行了評(píng)估；馬憲民等[6]使用粒子群算法估計(jì)了礦用減速器可靠性壽命。但大量的研究表明，以上方法都或多或少有其應(yīng)用的局限性。Bayes方法受驗(yàn)前信息影響較大；應(yīng)用蒙特卡羅模擬法的前提是必須要保證現(xiàn)場數(shù)據(jù)樣本服從的分布模型是高度精確的[7]；粒子群算法和灰色估計(jì)法在小樣本的情況下預(yù)測精度不高。所以當(dāng)故障樣本為小樣本時(shí)，通過建立化工設(shè)備可靠性模型，研究1種精度較高的參數(shù)估計(jì)方法，對(duì)于預(yù)測設(shè)備可靠性非常重要。

近年來，支持向量機(jī)(SVM)作為1種高度適用于小樣本情況的機(jī)器學(xué)習(xí)規(guī)律理論，在兩參數(shù)威布爾分布參數(shù)的估計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用[8]。支持向量回歸(SVR)在SVM的基礎(chǔ)上引入了損失函數(shù)，使支持向量機(jī)的應(yīng)用拓展到了回歸分析的領(lǐng)域。由于SVR具備SVM適合于小樣本數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，即同樣適合于對(duì)歷史故障數(shù)據(jù)積累不足的化工設(shè)備可靠性分析。此外，雖然灰色估計(jì)法的預(yù)測精度不高，但研究表明其在小樣本數(shù)據(jù)下可以獲得精度較高的位置參數(shù)估計(jì)值，故可通過GM(1，1)模型將三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為兩參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)問題[9]。本文以某化工企業(yè)壓縮機(jī)投運(yùn)以來的部分故障數(shù)據(jù)為實(shí)例，建立了三參數(shù)威布爾模型，用GM(1，1)和SVR對(duì)威布爾分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并與單獨(dú)使用灰色估計(jì)法及最小二乘法的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此來驗(yàn)證GM-SVR模型參數(shù)估計(jì)在化工設(shè)備可靠性預(yù)測中的有效性。

1 化工機(jī)械設(shè)備可靠性模型

1.1 小樣本失效數(shù)據(jù)

在化工企業(yè)生產(chǎn)運(yùn)行期間，隨著科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，化工設(shè)備更新?lián)Q代速度快，許多設(shè)備在短周期運(yùn)行中根本沒有發(fā)生故障，這使得同型號(hào)設(shè)備的故障數(shù)據(jù)更少；此外，由于企業(yè)管理的不足，我國不少化工企業(yè)(尤其是中小型企業(yè))的維修報(bào)告、調(diào)度中心運(yùn)行報(bào)告、臺(tái)賬系統(tǒng)等記錄表易出現(xiàn)缺失的情況，導(dǎo)致積累的故障維修歷史數(shù)據(jù)不足。綜上所述，對(duì)在役化工設(shè)備維修情況調(diào)研獲得的故障壽命數(shù)據(jù)極有可能呈現(xiàn)出比較典型的小樣本特征。

1.2 威布爾分布模型

威布爾分布函數(shù)是由物理學(xué)家Weibull在研究鏈的強(qiáng)度中提出的1種分布函數(shù)，在工程應(yīng)用中常用來擬合機(jī)械、電子、化工等設(shè)備的壽命分布。三參數(shù)威布爾分布模型的分布函數(shù)F(t)和失效率函數(shù)λ(t)的表達(dá)式分別為[10]：

(1)

(2)

式中：t為失效時(shí)間,h；η為尺度參數(shù)，η>0；m為形狀參數(shù)，m>0；r為位置參數(shù)。形狀參數(shù)m的取值大小不同，則對(duì)應(yīng)的設(shè)備失效類型也不同。當(dāng)m<1時(shí)，為早期故障期，隨著設(shè)備的持續(xù)運(yùn)行，失效率逐漸降低，設(shè)備的可靠性程度越來越高；當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)備處于偶然故障期，此時(shí)的失效率是1個(gè)常數(shù)，即此時(shí)的失效率服從指數(shù)分布；當(dāng)m>1時(shí)，設(shè)備處于耗損故障期，隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，設(shè)備逐漸出現(xiàn)老化和劣化。由此可見，威布爾分布可以很好地描述各種失效模式，故可以使用三參數(shù)威布爾分布作為化工機(jī)械設(shè)備的失效分布函數(shù)，可靠度函數(shù)R(t)為[10]：

(3)

2 威布爾分布模型的參數(shù)估計(jì)

為了能夠準(zhǔn)確獲得某個(gè)設(shè)備的失效率模型，根據(jù)該設(shè)備運(yùn)行中產(chǎn)生的故障樣本數(shù)據(jù)建立威布爾分布模型。具體實(shí)現(xiàn)方法是用平均秩次法或中位秩法計(jì)算出F(ti)，采用相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法計(jì)算三參數(shù)威布爾分布的位置參數(shù)r，再將威布爾分布模型線性化，然后采用擬合方法識(shí)別分布參數(shù)。目前的參數(shù)估計(jì)方法有灰色估計(jì)法、最小二乘法、極大似然估計(jì)法等方法。但這些方法對(duì)于小樣本參數(shù)估計(jì)的精度不高?；疑烙?jì)法在小樣本的情形下對(duì)形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η的估計(jì)精度不高，但是對(duì)位置參數(shù)r的估計(jì)精度較高。故本文先使用GM(1，1)模型對(duì)位置參數(shù)r進(jìn)行求解，在r已知的基礎(chǔ)上，再利用SVR估計(jì)形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η。

2.1 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

在對(duì)威布爾分布參數(shù)進(jìn)行回歸分析時(shí)，必須計(jì)算樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。設(shè)某化工設(shè)備失效樣本數(shù)量為n，失效樣本的運(yùn)行時(shí)間分別為t1≤t2≤≤tn(完全樣本)，相應(yīng)的累計(jì)失效概率(經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))為F(t1)≤F(t2)≤≤F(tn)，當(dāng)數(shù)據(jù)樣本為小樣本時(shí)，工程上常使用中位秩公式或平均秩次法對(duì)第i個(gè)產(chǎn)品的累計(jì)失效概率F(ti)進(jìn)行計(jì)算[11]。

平均秩公式為：

(4)

中位秩公式為：

(5)

2.2 基于GM(1，1)的位置參數(shù)估計(jì)

灰色GM(1，1)模型主要用于復(fù)雜系統(tǒng)某一主導(dǎo)因素特征值的擬合和預(yù)測，預(yù)測過程中所需信息較少，迭代快，精度高。在化工設(shè)備運(yùn)行過程中，引起其失效的因素有很多，這使得可靠性預(yù)測和風(fēng)險(xiǎn)研究存在一定的灰色問題，這種情況下，可以依據(jù)故障數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型?；疑獹M(1，1)模型的微分方程為[12]：

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行變形可得：

(7)

令

則式(7)變形為：

xi=b+cexp(-aτi)

(8)

將(xi,τi)視為一般時(shí)間序列，灰色GM(1，1)的時(shí)間響應(yīng)模型為：

(9)

式(6)與式(9)具有相似性，則通過一次對(duì)GM(1，1)模型的求解，即可得到參數(shù)a，u，c的估計(jì)值，使用最小二乘法計(jì)算灰色模型的參數(shù)：

(10)

式中：

(11)

由于本文所研究的故障樣本較少，尺度參數(shù)η和形狀參數(shù)m的估計(jì)效果一般，故只保留位置參數(shù)r的估計(jì)值，并應(yīng)用支持向量機(jī)對(duì)η和m進(jìn)行估計(jì)，令t=x-r，式(1)變形為兩參數(shù)威布爾分布：

(12)

2.3 基于支持向量機(jī)的參數(shù)估計(jì)

2.3.1 威布爾分布模型線性化

分別對(duì)等式(12)兩端取2次對(duì)數(shù)得：

(13)

令

(14)

式(13)可以簡化為y=wx+b，對(duì)參數(shù)η和m的估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)w和b的估計(jì)。如果把x和y看作SVR模型中的訓(xùn)練樣本，T={(xi,yi)}；i為樣本序號(hào)；n為樣本數(shù)量；i=1,2,,n；xi為輸入變量；yi為相應(yīng)的系統(tǒng)輸出變量，就可以使用SVR對(duì)其進(jìn)行回歸分析。

2.3.2ε-支持向量回歸機(jī)方法

ε-支持向量機(jī)估計(jì)回歸函數(shù)(ε-SVR)是通過引入ε線性不敏感損失函數(shù)，將回歸問題轉(zhuǎn)化為最小化結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的問題。即尋找1個(gè)使風(fēng)險(xiǎn)最小的最優(yōu)超平面f(x)=wφ(x)+b=0，w為權(quán)值系數(shù)，b為偏差，φ(x)為非線性映射[13]。

為了使f(x)平坦，引入松弛變量ξi，ξi*和懲罰參數(shù)C建立優(yōu)化模型如下[14]：

(15)

由于高維空間的內(nèi)積運(yùn)算極其復(fù)雜，引入核函數(shù)k(xi,yi)來替代內(nèi)積運(yùn)算。對(duì)于線性樣本，本文采用線性核函數(shù)k(x,y)=x·y作為訓(xùn)練核函數(shù)。式(15)是凸二次規(guī)劃問題，求解該優(yōu)化問題是通過求解它的Lagrange對(duì)偶問題而得到的。引入Lagrange函數(shù)構(gòu)造并求解[15]：

(16)

2.3.3 參數(shù)選擇

(17)

2.3.4 誤差分析

為了驗(yàn)證模型的擬合精度，有必要對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果進(jìn)行誤差分析。本文使用相對(duì)均方根誤差(NRSME)及擬合優(yōu)度(R2)對(duì)數(shù)據(jù)擬合效果進(jìn)行誤差分析[17]。

相對(duì)均方根誤差的計(jì)算公式為：

(18)

擬合優(yōu)度(R2)的計(jì)算公式為：

(19)

3 分析案例

由于某化工企業(yè)進(jìn)行了搬遷，導(dǎo)致某壓縮機(jī)機(jī)組部分運(yùn)行的臺(tái)賬及設(shè)備維修記錄丟失。不考慮預(yù)防性維修，只對(duì)泄漏、停機(jī)、斷裂等嚴(yán)重影響設(shè)備運(yùn)行的故障進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。收集到10臺(tái)同型號(hào)的壓縮機(jī)故障數(shù)據(jù)如表1所示，將其故障時(shí)間數(shù)據(jù)(完全樣本數(shù)據(jù))按從小到大的順序排列，假定該組故障時(shí)間數(shù)據(jù)服從三參數(shù)威布爾分布，采用式(4)和式(5)計(jì)算各失效時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的累計(jì)失效概率，記于表1中。

將失效時(shí)間ti及其對(duì)應(yīng)的累計(jì)失效概率F(ti)作為GM-SVR模型的2組初始樣本集T1={ti,F1(ti)}和T2={ti,F2(ti)}。使用GM(1，1)模型對(duì)初始樣本集進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，保留位置參數(shù)r的估計(jì)值，按式(14)對(duì)初始樣本集進(jìn)行處理，分別得到SVR模型的2組訓(xùn)練樣本集T1′={xi,F1(xi)}和T2′={xi′,F2(xi′)}，將樣本集輸入SVR進(jìn)行訓(xùn)練，采用交叉驗(yàn)證和網(wǎng)格搜索法對(duì)擬合過程中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇。參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果及可靠性分布參數(shù)估計(jì)值如表2所示。

表2中的誤差分析結(jié)果表明，2種經(jīng)驗(yàn)公式的擬合優(yōu)度均大于0.98。一般當(dāng)R2≥0.9時(shí)，就可以說明擬合精度較高。由此可見，該組故障數(shù)據(jù)與中位秩、平均秩

表1 壓縮機(jī)故障記錄及其累計(jì)失效概率Table 1 Operating record of compressor and cumulative failure probability

表2 GM-SVR模型估計(jì)結(jié)果Table 2 Estimation results of GM-SVR

之間存在明顯的線性關(guān)系，所以接受該壓縮機(jī)失效壽命數(shù)據(jù)服從三參數(shù)威布爾分布的假定。當(dāng)選擇平均秩公式時(shí)，相對(duì)均方根誤差及擬合優(yōu)度均優(yōu)于中位秩公式，故選擇平均秩公式作為該壓縮機(jī)壽命數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)更合適。

為檢驗(yàn)GM-SVR模型的有效性，將使用平均秩公式的訓(xùn)練樣本分別運(yùn)用最小二乘參數(shù)估計(jì)法(LSR)、灰色估計(jì)法(GM)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，計(jì)算得出不同方法下的威布爾分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果，分別對(duì)其進(jìn)行誤差分析，對(duì)比估計(jì)效果。估計(jì)結(jié)果及誤差分析分別如表3、表4所示。

表3 各擬合方法參數(shù)估計(jì)值Table 3 Estimated results of parameters of each fitting method

表4 各擬合方法誤差分析Table 4 Error analysis of each fitting method

通過表3和表4對(duì)比參數(shù)估計(jì)及誤差分析可以看出，使用灰色估計(jì)法和GM-SVR這2種方法所得的尺度參數(shù)η和形狀參數(shù)m的估計(jì)值基本一致。GM-SVR的NRSME值為0.045 0，灰色估計(jì)法的誤差為0.050 7，說明GM-SVR可以實(shí)現(xiàn)GM(1，1)的參數(shù)估計(jì)效果，而且精度高于GM(1，1)。由此可見，在小樣本條件下，GM-SVR的參數(shù)估計(jì)精度有明顯優(yōu)越性，而LSR是最差的。圖1為3種估計(jì)方法的威布爾分布函數(shù)與該壓縮機(jī)機(jī)組平均秩擬合曲線對(duì)比圖，從圖1中可以更直觀的看出GM-SVR對(duì)整體數(shù)據(jù)有明顯的擬合優(yōu)勢，可以有效地應(yīng)用于小樣本故障數(shù)據(jù)下的壓縮機(jī)可靠性預(yù)測。

圖1 3種方法的擬合對(duì)比Fig.1 Comparison of the three fitting methods

根據(jù)式(3)及GM-SVR模型估計(jì)參數(shù)，可得該組壓縮機(jī)可靠度函數(shù)為：

通過壓縮機(jī)的可靠性模型，可以計(jì)算出該型號(hào)壓縮機(jī)的平均無故障時(shí)間為：

由可靠度函數(shù)R(t)可以得出該型號(hào)壓縮機(jī)的動(dòng)態(tài)可靠性曲線，如圖2所示。由圖2可知，可靠度隨著運(yùn)行時(shí)間的增長逐漸下降，當(dāng)運(yùn)行了19 118 h后，其可靠度明顯下降。根據(jù)可靠性曲線可以預(yù)測每個(gè)運(yùn)行時(shí)間點(diǎn)的可靠度，本例中，預(yù)測設(shè)備運(yùn)行34 177 h后可靠度為22%，企業(yè)可根據(jù)自身工藝情況對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的接受程度決定是否采取預(yù)防性維修。

圖2 壓縮機(jī)動(dòng)態(tài)可靠性曲線Fig.2 Reliability dynamic curve of compressor

4 結(jié)論

1)通過實(shí)例應(yīng)用證明，三參數(shù)威布爾分布可以用作化工設(shè)備的可靠性建模。通過分析故障樣本數(shù)據(jù)，可以為預(yù)測設(shè)備可靠度及制定設(shè)備維修策略提供依據(jù)，同時(shí)也為化工企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供數(shù)據(jù)支持，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

2)GM-SVR模型可以有效地應(yīng)用于小樣本數(shù)據(jù)條件下的化工機(jī)械設(shè)備可靠性分析，該方法的估計(jì)精度要高于傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)法和灰色估計(jì)法。在參數(shù)估計(jì)過程中，利用程序?qū)崿F(xiàn)回歸分析，可以提高參數(shù)的估計(jì)精度和設(shè)備可靠性分析的效率。